湖北省武汉市吴家山中学2014届高中数学复习 排、组、二综合篇

1 排列 组合 二项式定理之三排列 组合 二项式定理之三 综合篇综合篇 排列 组合 二项式定理既是近代组合数学 概率统计的基础 又是每年高考必考内 容之一 每年高考的排列组合试题大多以应用题形式出现 且具有容知识性与趣味性 能 力型与应用性于一体 小 巧 活 新的特点 本部分内容公式不多却运用广泛 题型多 变且解法灵活 是考察抽象思维能力 逻辑推理能力 数学应用意识和实践能力的较好素 材 因此 在学习过程中应熟练掌握和运用化归与转化 分类讨论等数学思想 掌握常见 题型的常用解法 以提高综合解决问题的能力 对排列组合的综合问题 常用方法是 先选之 再排之 在分清分类与分步的标准与 方式的基础上 遵循两个原则 按元素的性质分类和按事情发生的过程分步 在具体应用中 要注意 类 与 类 间的独立性与并列性 步 与 步 间的连续性 这要求我们要有 周密的逻辑思维能力和准确的计数能力 以及灵活 正确运用基础知识的能力 例 1 一种玩掷骰子放球的游戏 规则是 若掷出 1 点 甲盒中放一球 若掷出 2 点 或 3 点 乙盒中放一球 若掷出 4 点或 5 点或 6 点 丙盒中放一球 设掷次后 甲 乙 n 丙各盒内的球数分别为 若 3 且 成等差数列 则不同的掷法有 xyznxyz 种 若 6 且 成等比数列 则不同的掷法有 种 nxyz 解 3 即掷了三次 此时甲 乙 丙三个盒子中总共有三个球 由于三个盒中n 的球数成等差数列 故有且只有以下三种情形 此即表示掷三次 0 x1 y2 z 1 次出现 2 点或 3 点 2 次出现 4 点或 5 点或 6 点 有种掷法 此即表 C 1 3 1 zyx 示掷三次 1 次出现 1 点 1 次出现 2 点或 3 点 1 次出现 4 点或 5 点或 6 点 有种掷 A 3 3 法 此即表示掷三次 2 次出现 1 点 1 次出现 2 点或 3 点 有2 x1 y0 z 种掷法 故符合条件的掷法共有 12 种 C 1 3C 1 3A 3 3C 1 3 6 即掷了六次 此时甲 乙 丙三个盒子中总共有 6 个球 由于三个盒中的球n 数成等比数列 故只有一种情形 共有掷法 与顺序有关 902 zyx CCC 2 2 2 4 2 6 种 例 2 三个学校分别有 1 名 2 名 3 名学生获奖 这 6 名学生排成一排合影 则同校 的任何两名学生都不能相邻的排法有 种 解 由题意可分两类 先在 6 个位置上排第一个学校的三名学生 两两不相邻 如 图 3 名学生每两名隔一个空位有 2 种排法 剩下 的三个空位中再选 2 个排第二个学校的 2 名同学 最后一名同学自动确定位子 此时有 种排法 第一个学校的 3 名同学中有两名中间隔两个位子的有两种排法 232 323 272 CAA 剩下的 3 个位子中 挨着的两个不能同时选 如图 所以从另外两个中选 最后一名同学自动确定位 子 此时有种排法 故满足题设条件的排法共有 120 种排法 132 322 248 CAA 2 例 3 在某次商品的有奖销售活动中 有 4 个人获三等奖 三等奖的奖品共nn 有四种 每个获奖者随意从四种奖品中挑选了一种 结果有一种奖品无人挑选的选法有 种 解 有一种奖品无人挑选 即有 3 种奖品均有人选 可作如下思考 仅有 1 种奖品被选 即个人都选同一种奖品 显然有种不同的结果 n4 1 4 C 有 2 种奖品被选 即个人都选这二种奖品 从4 种奖品中选择 2 种奖品的方法共n 有种 针对此 2 种奖品 个人的不同选择结果有种 但必须去掉仅有 1 种奖品的 C 2 4 n n 2 2 种情况 所以有 2 种奖品被选的不同选择结果有种 122622 2 4 nn C 有 3 种奖品被选 即个人都选这三种奖品 从 4 种奖品中选择 3 种奖品的方法共n 有种 针对此 3 种奖品 个人的不同选择结果有种 但必须去掉仅有 1 种奖品的 C 3 4 n n 3 2 种情况和仅有两种奖品的种情况 所以有 3 种奖品被选的不同选择结果有 22 2 3 n C 种 1221234 3223 2 3 3 4 nnnn CC 例 4 7 个人站成一排 其中 A B 不能相邻 C D 必须排在一起 且 C 要求在 A 的右 侧 则共有站法 种 解 把 C D 捆绑起来看作一个元素 元素 A 只能排在从左至右的前 5 个位置 故对 A 的位置分类 A 在左起第一个位置时 有种 A 在左起第二个位置时 192 2 2 4 4 1 4 AAA 有种 A 在左起第三个位置时 有种 A 在144 2 2 3 3 1 4 1 3 AAAA 66 3 3 2 2 1 2 1 2 3 3 1 3 AACAAA 左起第四个位置时 有种 A 在左起第一个位置时 有60 3 3 2 2 3 3 2 2 1 2 1 2 AAAACA 种 所以共有站法 498 种 36 3 3 1 3 2 2 AAA 例 5 某伞厂生产的品牌 太阳伞 伞蓬由太阳光的七种颜色组成 七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内 且恰有一种颜色涂在相对区域 内 则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有 种 A 40320 B 5040 C 20160 D 2520 解 如图 设八个区域分别对应 1 2 3 4 5 6 7 8 八个号码 则用七种颜色对 1 2 3 4 6 7 8 七个区域涂色 其中 5 号与 1 号同色 有 7 种方法 又由于 1 号 与 5 号 2 号与 6 号 3 号与 7 号 4 号与 8 号是对称的 通过旋转后 5 6 7 8 1 2 3 4 与 1 2 3 4 5 6 7 8 是重合的 因此每种染色方法重复 了两次 因此这种图案的伞至多有种 故选 D 2520 2 7 例 6 5 个人有相应的 5 个指纹档案 每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹 并有检测指示灯和检测时的手指按扭 5 个人中某人把手指按在键扭上 若是他的档案 则 指示灯出现绿色 否则出现红色 现在这 5 人把手指按在 5 个指纹档案的按扭上去检测 规 定一个人只能在一个档案上去检测 且两个人不能在同一档案上去检测 此时指示灯全部 出现红色的情况共有 种 3 解 此题相当于 5 个编号为 1 2 3 4 5 的球放入编号为 1 2 3 4 5 的盒中 要求每个盒中只放一球 且号码均不相同 求放法总数 的问题 设这种情况有个号码时的方法数为 第一步是安排第 1 号球 共有 1 种方n n an 法 此时不妨设 1 号球安排在了第号位置 再安排第 号球的位置 有两种情况 i 1 ii 第 号球在 1 号位置 此时剩余的 2 个球要放在 2 个盒中的要求依然是号码均不inn 相同 故有种方法 第 号球不安排在 1 号位置 此时如同 1 个球放入 1 个 2 n ainn 盒中且号码均不相同 故方法数有 所以 当时 1 n a 1 12 nnn aana2 n 当时 当时 当时 1 2 a3 n2 3 a4 n9 4 a5 n44 5 a 例 7 已知 设的展开式中项的系 21 21 21 21 32 xxxxxf n n xfnx 数为 求的表达式 设的展开式中项的系数为 求证 n a n a xfn 2 x n b 是否存在常数 使对一切 n n nn abb 1 1 2ab 2 12 3 8 1 bab nn n 2 n 恒成立 如果存在 求出 的值 如果不存在 说明理由 Nn ab 解 由多项式乘法运算法则 得 222222 132 nn n a 因为 分别是的展开式中项 项的系数 可设 n a n b xfnx 2 x 则 2 1 xbxaxf nnn 21 1 21 121 1 xxbxaxxfxf n nn n nn 又 211 2 2 1xabxa n n n n n 2 111 1 xbxaxf nnn n n nn abb 1 1 2 假设存在 使得对一切 恒成立 则ab 2 12 3 8 1 bab nn n 2 nNn 即 2 12 3 8 2 2 bab 2 8 3 4bba 又 即 2 12 3 8 32 3 bab 3 8 1 8bba 由 得 从而 22 2 861 21 21 xxxxxf 6 2 a8 2 b562 2 3 23 abb 代入 得 解得 猜想 用数 78 34 ba ba 1 1 b a 12 12 3 8 1 nn n b2 n 学归纳法证明 略 例 8 A B C 三队进行围棋擂台赛 每队 9 人 规则如下 每场由两队各出 1 人参 加比赛 胜者守擂 负者被淘汰 并由另一队派一人攻擂 首先由 A B 两队各派 1 人开始 比赛 并依次进行下去 若有某队 9 人已全部被淘汰 则剩下的两队继续比赛 直到又有 一队全部被淘汰为止 最后一场比赛的胜者所在的队为冠军 冠军队最少胜多少场 4 若比赛结束时 冠军队胜了 11 场 那么整个比赛最少进行了多少场 解 考虑到冠军队最后获胜时 另外两队的 18 人已全部被淘汰 由于 C 队后派人上 场比赛 因而 C 队获冠军时可以少胜一场 为了使 C 队胜场最少 需要 A B 两队尽快地互 相淘汰 因为 A B 两队互相淘汰时 每相邻两人之间必有 1 名 C 队成员 而 C 队最多被淘 汰 8 人 所以 A B 两队互相淘汰的人数至少 9 人 即 C 队至少胜 9 场 另一方面 当 A1依次胜 B1 C1 B2 C2 B8 C8 B9 接下去 C9胜 A1 A2 A9 则 C 队恰好胜 9 场 若冠军队胜了 11 场 则 A B 两队的 18 中 有 11 人负于冠军队 而另外 7 人是 A B 两队互相比赛中被淘汰的 从而 C 队有 6 人被淘汰 所以整个比赛至少要胜 24 场 另一方面 当 A1依次胜 B1 C1 B2 C2 B6 C6 B7 然后 C7依次胜 A1 B8 A2 B9 A3 A4 A9 则 C 队恰好胜 11 场 故整个比赛进行了 24 场 例 9 自然数按下表的规律排列 则上起第 2008 行 左起第 2009 列的数为 解 观察可知此表的排列特点 第一列的每一个数都是平方数 且 恰好等于它所在行数的平方 即第行的第一个数为 第一行第个n 2 nn 数为 第行中从第一个数至第个数依次递减 第列中1 1 2 nnnn 从第一个数至第个数依次递增 1 故上起第 2008 行 左起第 2009 列的n 数 应是第 2009 列的第 2008 个数 即为 200920082008 1 12009 2 例 10 若等差数列的首项为 公差是展开 n a 11 222 1 11 35 mm mm a CA mN 32 52 25 n x x 式中的常数项 其中为除以 19 的余数 则 n 77 7715 n a 解 由题意 又 2 51121113 11 32275 mm m mm mN m 又 73 1 510 100a CA 77 7715 0177 7777 777777 19 4 1 15 19 4 19 4 15 CCC 1277 76 777777 19 4 19 4 19 4 1 5 CCC 除以 19 的余数为 5 即 5 77 7715 n 又 令 515 3 3525 2 1 55 525 1 252 r rr rrrr r Txx x CC 5150 3rr 3 5 63 5 5 1 4 2 d C 1 1 1044 n aandn 试题集粹 试题集粹 1 有两个同心圆 在外圆上有相异的 6 个点 内圆上有相异的 3 个点 由这 9 个点 所确定的直线最少可有 条 A 15 B 21 C 36 D 3 2 如图 在 5 5 的正方形表格中尚有 21 个空格 若在每一个空 格中填入一个正整数 使得每一行 每一列及两条对角线上的数都分别 成等比数列 则字母所代表的正整数是 a A 4 B 8 C 16 D 64 5 3 设是等差数列 从 中任取 3 个不同的数 使这 3 个 n a 1 a 2 a 3 a 20 a 数仍成等差数列 则这样不同的等差数列最多有 个 A 90 B 120 C 180 D 200 4 的展开式中系数大于 1 的项共有 项 5 5 2 y x A 5 B 4 C 3 D 2 5 函数的最大值是 1 6 1 2 1 2 4 2 3 5 2 1 2 CCC A x x Cxx xf A 20 B 10 C 20 D 10 6 的展开式经合并同类项后至少有 2008 项 则正整数的最小值为 n yxxy 1 n A 43 B 44 C 2 005 D 2006 7 某仪表显示屏上一排有七个小孔 每个小孔可显示 0 或 1 若每次显示其中三个孔 但相邻两孔不能同时显示 则这个显示屏可以显示不同信号的种数有 种 用数字作答 8 若在的展开式中的系数为 20 则 24 1 1 axx 2 xa 9 在有 52 名同学的班级中选举班委会干部 则添加条件 才可使完成事件的不同方法数为 ACC 4 4 2 6 6 52 10 在二项式中 且它的展开式中最大系数是 12 nm bxax ab N 02 nm 常数项 则的取值范围是 b a 11 已知 则被 49 除的余数为 nn n a86 84 a 12 在杨辉三角中 第 行会出现三个相邻的数 它们的比是 3 4 5 13 在如图的倒三角形数表中 1 x 1 y 14 学校在星期日开设 A 语 数 外 理 实验 B 音 体 美 演讲 共九种课 外兴趣活动 由于时间和场地限制 语