2012高二数学上册 8.1《向量的坐标表示及其运算》学案 沪教版

1 数乘向量及坐标运算数乘向量及坐标运算 考试目标考试目标 主词填空主词填空 1 实数与向量的积 a a与 a a同向的充要条件是 0 a a与 a a反向的充要条件是 0 a a b b a a b b a a b b a a b b 设a a x y 则 a a x y 2 向量的坐标运算 设a a x1 y1 b b x2 y2 a a b b a a b b a a b bx1 x2且y1 y2 2121 yyxx 2121 yyxx a a b b a a 0 0 b b 0 0 x1y2 x2y1 0 0 3 三点共线的充要条件 A B C三点共线存在 R R 使 ABAC 4 平面向量的基本定理 如果e e1 e e2是同一平面内的两个不共线的向量 那么对于这一平面内的任一向量a a有且 只有一对数 1 2 使a a 1e e1 2e e2 题型示例题型示例 点津归纳点津归纳 例 1 设e e1 e e2是不共线的向量 已知向量 2e e1 ke e2 e e1 3e e2 2e e1 e e2 ABCBCD 若A B D三点共线 求k值 解前点津 因A B D三点共线 故存在实数 使 由此等式可得关于ABBD k的方程组 从而可求得k值 规范解答 由条件得 2e e1 e e2 e e1 3e e2 e e1 4e e2 BDCDCB 因A B D三点共线 故存在实数 使 所以 2e e1 ke e2 e e1 e e2 2 且k ABBD 4 k 8 解后归纳 利用两个向量共线的充要条件列方程是常用方法 例 2 一艘船以 5 km h 速度向垂直于对岸方向行驶 航船实际航行方 向与水流方向成 30 角 求水流速度与船的实际速度 解前点津 用向量分别表示水流速度 船向垂直于对岸行驶的速度 船实际速度 将这三个向量的始点归结在一处 利用图形特点求解 规范解答 如图 表示水流速度 表示船向垂直于对岸行驶的OAOB 速度 表示船实际速度 AOC 30 5 km h OCOB OACB为矩形 cot30 cot30 5 8 66 km h OAACOB3OC 10km h 2 3 35 30cos OB 所以 水流速度为 8 66km h 船实际速度为 10km h 解后归纳 有些物理量本身就可用向量表示 熟悉物理知识背景 数形结合 是应 用向量工具的一项基本功 例 3 1 证明 三个两两不平行的向量a a b b c c可以构成一个三角形 每个向量的始点 例 2 题图 2 重合于别处二个向量中的一个向量的终点 的充要条件是 a a b b c c 0 0 2 证明三角形的三个中线向量可以构成一个三角形 解前点津 利用 1 的结论证明 2 用三条边所在的向量分别表示三条中线 通过运 算可获结论 规范解答 1 充分性 a a b b c c 0 0 a a b b c c根据三角形法则 三个两两不平行的向 量a a b b c c可以构成一个三角形 必要性 向量a a b b c c可以构成一个三角形 不妨设在 ABC中 a a b b c c 根据多边形法则 ABBCCA 0 0 ABBCCAAA a a b b c c 0 0 2 如图 D E F分别是 ABC中三边的中点 因为 DADCCA 2 1 BCCA EBEAAB 2 1 CAAB BC FCFBBC 2 1 AB 将上述三式相加得 0 0 0 0 DAEBFC 2 3 ABBCCA 2 3 解后归纳 熟练应用 三角形 法则以及 多边形法则 是必须具备的一项 基 本功 例 4 用向量法证明 三角形三中线交于一点 解前点津 在 ABC中 G是AD与BE的交点 连接AB的中点F与G及GC 欲证三中 线共点 只须证明 G在中线CF上 从而只须证明与共线 GCGF 规范解答 CG 2 1 CB 3 1 DACG 2 1 CA 3 1 EB CG 4 1 CACB 6 1 DAEB 又 AD 2 1 CBACEB 2 1 ACCB 两式相减得 即 DAEB 2 1 CBCA 4 1 CBCA 2 1 DAEB 代入 消去 得DAEB CG 2 1 DAEB 6 1 DAEB 3 2 DAEB GF 3 2 DA 2 1 ABGF 3 2 EB 2 1 BA 2 GF 3 2 DAGF 比较 得 2 GCGF CGGF C G F在一条直线上 故G在中线AF上 解后归纳 证明 线共点 或 点共线 问题 常转化为向量共线的问题 例 3 题图 例 4 题图 3 对应训练对应训练 分阶提升分阶提升 一 基础夯实 1 设e e1 e e2是同一平面内的两个非零向量 则有 A e e1 e e2 B e e1 e e2 C 同一平面内的任一向量a a 都有a a e e1 e e2 R R D 若e e1与e e2不共线 则同一平面内的任一向量a a 都存在实数 使a a e e1 e e2 2 已知a a e e1 2e e2 b b 2e e1 e e2 且e e1 e e2是不共线的非零向量 则a a b b与c c 6e e1 2e e2的关系是 A 不共线 B 共线 C 相等 D 无法确定 3 已知向量e e1 e e2不共线 实数x y满足 3x 4y e e1 2x 3y e e2 6e e1 3e e2 则x y的值等于 A 3 B 3 C 0 D 2 4 若a a b b不共线 且 a a b b 0 0 R R 则 A 1 B 1 C 0 D 不确定 5 已知a a b b不共线 且c c 1a a 2b b 1 2 R R 若c c b b共线 则 1 A 2 B 1 C 1 D 0 6 若O A B为平面上三点 C为线段AB的中点 则 A B OCOBOA OC 2 1 OBOA C 2 D ABOCOC 2 1 OBOA 7 已知 x y 点B的坐标为 2 1 则的坐标为 ABOA A x 2 y 1 B x 2 y 1 C 2 x 1 y D x 2 y 1 8 已知a a 3 1 b b 1 2 则 3a a 2b b等于 A 7 1 B 7 1 C 7 1 D 7 1 9 已知点B的坐标为 m n 的坐标为 i j 则点A的坐标为 AB A m i n j B i m j n C m i n j D m n i j 二 思维激活 10 已知平行四边形ABCD的顶点 A 1 2 B 3 1 C 5 6 则第四个顶点D的坐标是 11 已知向量a a 3 2 b b 2 1 c c 7 4 若c c a a b b 则 12 已知a a 1 2 b b 3 2 若 ka a b b a a 3b b 则实数k 13 已知 i i 2j j i i m j j 其中i i j j分别是x轴 y轴正方向上的单位向量 若ABBC A B C三点共线 则实数m 三 能力提高 14 在平行四边形ABCD中 1 设对角线 a a b b 求 ACBDABBCCDDA 2 设边和的中点为M N 且 p p q q 求 BCCDAMANBCCD 4 15 设a a B 1 0 b b 3 4 c c 1 1 且a a 3b b 2c c 求点A的坐标 AB 16 用向量证明 平行四边形对角线互相平分 17 在平行六面体ABCD EFGH中 证明 2 ACAFAHAG 第 17 题图 5 第 2 课 数乘向量及坐标运算习题解答 1 D 直接使用平面向量基本定理 2 B a a b b 3e e1 e e2 c c 2 1 3 A 由条件 3x 4y 6 且 3 2x 3y 解之 x 6 且y 3 故x y 3 4 C 5 D 令c c x b b则由x b b 1a a 2b b得x 2且 1 0 6 B 如图所示 OBOABCACOBOAOC ACOAOC BCOBOC 2 OC 2 1 OBOA 7 C 所以 2 1 x y 2 x 1 y OAOBAB OAOBAB 8 B 3a a 2b b 3 3 1 2 1 2 9 3 2 4 7 1 9 A m n i j m i n j OAOBAB 10 设D x y 1 2 3 1 x y 5 6 故 4 1 x 5 y 6 BACD 由 得 故D点坐标是 1 5 16 45 y x 5 1 y x 11 由 7 4 3 2 2 1 得 7 3 2 且 4 2 解之 1 2 12 ka a b b k 1 2 3 2 k 3 2k 2 a a 3b b 1 2 3 3 2 10 4 10 2k 2 4 k 3 k 3 1 13 因 1 m 故由 得 2 m即m 2 2 1 ABBCABBC 14 1 如图 1 记平行四边形ABCD的对角线交点为 0 因平行四边形对角线互相平分 所以 a a b b ABAOOB 2 1 2 1 b b a a BCBOOC 2 1 2 1 a a b b CDCOOD 2 1 2 1 b b a a DADODA 2 1 2 1 2 如图 2 所示 q q q q BCBAANNCCD 2 1 CD 2 1 CD 又 p p p p CDCMMAAD 2 1 BCBC 2 1 BC 解 构成的方程组得 q q p p q q p p BC 3 4 3 2 CD 3 2 3 4 15 设A x y 则 1 x y 代入a a 3b b 2c c得 AB 1 x y 3 3 4 2 1 1 故 10 8 10 71 y x y x 第 6 题图解 第 14 题图解 1 第 14 题图解 2 6 16 如图 AC与BD是平行四边形ABCD的两对角线 O是其交点 设A 0 0 B a 0