湖南省2013年高考数学第二轮复习 专题升级训练5 函数与方程及函数的应用 文

1 专题升级训练专题升级训练 5 5 函数与方程及函数的应用函数与方程及函数的应用 时间 60 分钟 满分 100 分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 1 函数f x a的零点为 1 则实数a的值为 2 3x 1 A 2 B C D 2 1 2 1 2 2 已知a是函数f x 2x 的零点 若 0 x0 a 则f x0 的值满足 1 2 log x A f x0 0 B f x0 0 C f x0 0 D f x0 的符号不确定 3 函数f x 2x x 的一个零点所在的区间是 2 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 4 已知A B两地相距 150 千米 某人开汽车以 60 千米 时的速度从A地到达B地 在 B地停留 1 时后再以 50 千米 时的速度返回A地 汽车离开A地的距离x 千米 与时间t 时 之间的函数表达式是 A x 60t B x 60t 50t C x Error D x Error 5 若关于x的方程x2 mx 1 0 有两个不相等的实数根 则实数m的取值范围是 A 1 1 B 2 2 C 2 2 D 1 1 6 已知f x 是 R R 上最小正周期为 2 的周期函数 且当 0 x 2 时 f x x3 x 则函 数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 A 6 B 7 C 8 D 9 二 填空题 本大题共 3 小题 每小题 6 分 共 18 分 7 若函数f x log2 x 1 1 的零点是抛物线x ay2的焦点的横坐标 则 a 8 已知f x x x 1 若g x f x a的零点个数不为 0 则a的最小值为 9 已知y与x x 100 之间的部分对应关系如下表 x1112131415 y 2 97 1 48 2 95 1 47 2 93 则x和y可能满足的一个关系式是 三 解答题 本大题共 3 小题 共 46 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算 步骤 10 本小题满分 15 分 已知二次函数f x ax2 bx c 1 若f 1 0 试判断函数f x 零点的个数 2 若x1 x2 R R 且x1 x2 f x1 f x2 试证明x0 x1 x2 使f x0 f x1 1 2 f x2 成立 11 本小题满分 15 分 某食品厂进行蘑菇的深加工 每公斤蘑菇的成本为 20 元 并且 每公斤蘑菇的加工费为t元 t为常数 且 2 t 5 设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元 25 x 40 根据市场调查 销售量q与 ex成反比 当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时 日销售量为 100 公斤 1 求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式 2 2 若t 5 当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时 该工厂每日的利润最大 并求最大 值 12 本小题满分 16 分 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在 一般情况下 大桥上的车流速度v 单位 千米 时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函 数 当桥上的车流密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 当车流密度不超 过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 时 研究表明 当 20 x 200 时 车流速度v是车 流密度x的一次函数 1 当 0 x 200 时 求函数v x 的表达式 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 时 3 参考答案参考答案 一 选择题 1 B 解析 解析 由已知得f 1 0 即 a 0 解得a 故选 B 2 31 1 1 2 2 B 解析 解析 分别作出y 2x与y logx的图象如图 当 0 x0 a时 y 2x的图象在 1 2 y logx图象的下方 所以f x0 0 故选 B 1 2 3 B 解析 解析 由f 0 20 0 0 f 1 2 1 0 f 2 22 2 0 根据 222 函数零点性质知函数的一个零点在区间 1 2 内 故选 B 4 D 解析 解析 到达B地需要 2 5 小时 所以当 0 t 2 5 时 x 60t 150 60 当 2 5 t 3 5 时 x 150 当 3 5 t 6 5 时 x 150 50 t 3 5 故选 D 5 C 解析 解析 方程x2 mx 1 0 有两个不相等的实根 m2 4 0 m2 4 即m 2 或m 2 6 B 解析 解析 当 0 x 2 时 令f x x3 x 0 得x 0 或x 1 根据周期函数的性质 由f x 的最小正周期为 2 可知y f x 在 0 6 上有 6 个零点 又f 6 f 3 2 f 0 0 所以y f x 的图象在 0 6 上与x轴的交点个数为 7 二 填空题 7 解析 解析 令f x log2 x 1 1 0 得函数f x 的零点为x 1 于是抛物线 1 4 x ay2的焦点的坐标是 1 0 因为x ay2可化为y2 x 所以Error 解得a 1 a 1 4 8 1 解析 解析 g x 的零点个数不为零 即f x 图象与直线y a的交点个数不为零 画 出f x 的图象可知 a的最小值为 1 9 y 108 x 2 三 解答题 10 1 解 解 f 1 0 a b c 0 b a c b2 4ac a c 2 4ac a c 2 当a c时 0 函数f x 有一个零点 当a c时 0 函数f x 有两个零点 2 证明 证明 令g x f x f x1 f x2 则 1 2 g x1 f x1 f x1 f x2 1 2 f x1 f x2 2 g x2 f x2 f x1 f x2 1 2 f x2 f x1 2 g x1 g x2 f x1 f x2 2 0 f x1 f x2 1 4 g x 0 在 x1 x2 内必有一个实根 即 x0 x1 x2 4 使f x0 f x1 f x2 成立 1 2 11 解 解 1 设日销量q 则 100 k 100e30 k ex k e30 日销量q 100e30 ex y 25 x 40 100e30 x 20 t ex 2 当t 5 时 y y 100e30 x 25 ex 100e30 26 x ex 由y 0 得x 26 由y 0 得x 26 y在 25 26 上单调递增 在 26 40 上单调递减 当x 26 时 ymax 100e4 当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时 该工厂每日的利润最大 最大值为 100e4元 12 解 解 1 由题意 当 0 x 20 时 v x 60 当 20 x 200 时 设v x ax b 再由已知得Error 解得Error 故函数v x 的表达式为v x Error 2 依题意并由 1 可得f x Error 当 0 x 20 时 f x 为增函数 故当x 20 时 其最大值为 60 20 1 200 当 20 x 200 时 f x x 200 x 2 1 3 1 3 x 200 x 2 10 000 3 当且仅当x