江苏省无锡一中2012-2013学年高三数学上学期第一次质量检测试卷 理（解析版）苏教版

1 2012 20132012 2013 学年江苏省无锡一中高三 上 第一次质量检测数学试学年江苏省无锡一中高三 上 第一次质量检测数学试 卷 理科 卷 理科 一 填空题 共一 填空题 共 1414 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 满分分 满分 4242 分 分 1 3 分 2013 松江区一模 集合 A 0 2 a B 1 a2 若 A B 0 1 2 4 16 则 a 的值为 4 考点 并集及其运算 专题 计算题 分析 根据题意 由并集的计算方法 结合 a 与 a2的关系 易得 即可得答案 解答 解 A 0 2 a B 1 a2 A B 0 1 2 4 16 a 4 故答案为 4 点评 本题考查了集合的并集运算 并用观察法得到相对应的元素 从而求得答案 本题 属于容易题 2 3 分 2010 南昌模拟 如图所示的韦恩图中 A B 是非空集合 定义 A B 表示阴影 部分的集合 若 x y R A x y B y y 3x x 0 则 A B 为 x 0 x 1 或 x 2 考点 Venn 图表达集合的关系及运算 专题 计算题 新定义 分析 先分别求出集合 A 和集合 B 然后根据 A B 表示阴影部分的集合得到 A B x x A 或 x B 且 x A B 最后根据新定义进行求解即可 解答 解 A x y 0 2 B y y 3x x 0 1 根据 A B 表示阴影部分的集合可知 A B x x A 或 x B 且 x A B 2 A B x 0 x 1 或 x 2 故答案为 x 0 x 1 或 x 2 点评 本题主要考查了 Venn 图表达集合的关系及运算 同时考查了识图能力以及转化的能 力 属于新颖题型 3 3 分 已知函数 f x x2 6x 8 x 1 a 并且函数 f x 的最小值为 f a 则实数 a 的取值范围是 1 3 考点 函数的最值及其几何意义 二次函数的性质 专题 常规题型 压轴题 分析 由题意知 函数 f x 在区间 1 a 上单调递减 结合二次函数的对称轴求出实数 a 的取值范围 解答 解 函数 f x x2 6x 8 x 3 2 1 x 1 a 并且函数 f x 的最小值为 f a 又 函数 f x 在区间 1 3 上单调递减 1 a 3 故答案为 1 3 点评 本题考查二次函数函数的单调区间 联系二次函数的图象特征 体现转化的数学思 想 4 3 分 若函数 f x 1 x2 2x 1 的定义域为 2 6 则函数 y f x 的单调递减 区间 1 2 考点 二次函数的性质 函数的图象与图象变化 专题 函数的性质及应用 分析 由已知函数 f x 1 x2 2x 1 的定义域为 2 6 可得 2 x 6 进而 1 x 1 7 再利用换元法求得函数的解析式 进而得出函数 y f x 的单调递减 区间 解答 解 函数 f x 1 x2 2x 1 的定义域为 2 6 2 x 6 1 x 1 7 令 x 1 t 则 x t 1 且 1 t 7 f t t 1 2 2 t 1 1 t 2 2 函数 y f x 的单调递减区间是 1 2 故答案为 1 2 点评 本题考查了函数的定义域和单调性 正确理解函数的定义域是自变量的取值范围和 掌握二次函数的单调性是解题的关键 另外利用换元法是解决此类题的常用方法 5 3 分 2011 西山区模拟 设 f x g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 当 x 0 时 f x g x f x g x 0 且 g 3 0 则 f x g x 0 的解集 为 3 0 3 3 考点 函数的单调性与导数的关系 奇函数 偶函数 专题 计算题 分析 先根据 f x g x f x g x 0 可确定 f x g x 0 进而可得到 f x g x 在 x 0 时递增 结合函数 f x 与 g x 的奇偶性可确定 f x g x 在 x 0 时也是增函数 最后根据 g 3 0 可求得答案 解答 解 因 f x g x f x g x 0 即 f x g x 0 故 f x g x 在 x 0 时递增 又 f x g x 分别是定义 R 上的奇函数和偶函数 f x g x 为奇函数 关于原点对称 所以 f x g x 在 x 0 时也是增函 数 f 3 g 3 0 f 3 g 3 0 所以 f x g x 0 的解集为 x 3 或 0 x 3 故答案为 3 0 3 点评 本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系 导 数是一个新内容 也是高考的热点问题 要多注意复习 6 3 分 已知函数若 f f 0 4a 则实数 a 2 考点 函数与方程的综合运用 专题 计算题 分析 给出的是分段函数 根据所给变量的范围确定选用具体的解析式 从而得方程 故 可解 解答 解 由题意 f 0 20 1 2 f 2 4 2a 4a a 2 故答案为 2 点评 本题的考点是函数与方程的综合运用 主要考查分段函数的定义 考查求函数值 有一定的综合性 7 3 分 已知 p q 则 q 是 p 的 必要不充分 条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 计算题 分析 根据题意分别求出命题 p 和 q 再根据充分必要条件的定义 进行判断 4 解答 解 已知 p 解得 0 x q 解得 0 x 1 0 x 0 x 1 q 是 p 的必要不充分条件 故答案为 必要不充分 点评 此题主要考查不等式的解法 以及充分必要条件的定义 是一道基础题 8 3 分 2012 怀柔区二模 当 x 1 2 时 不等式 x 1 2 logax 恒成立 则实 数 a 的取值范围是 1 2 考点 对数函数的单调性与特殊点 专题 计算题 分析 根据二次函数和对数函数的图象和性质 由已知中当 x 1 2 时 不等式 x 1 2 logax 恒成立 则 y logax 必为增函数 且当 x 2 时的函数值不小于 1 由此构造关于 a 的不等式 解不等式即可得到答案 解答 解 函数 y x 1 2在区间 1 2 上单调递增 当 x 1 2 时 y x 1 2 0 1 若不等式 x 1 2 logax 恒成立 则 a 1 且 1 loga2 即 a 1 2 故答案为 1 2 点评 本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点 其中根据二次函数和对数函数的 图象和性质 结合已知条件构造关于 a 的不等式 是解答本题的关键 9 3 分 2012 东莞市模拟 已知函数满足对任意 成立 则 a 的取值范围是 考点 函数单调性的性质 专题 综合题 数形结合 转化思想 综合法 5 分析 对任意成立 说明此函数是一个减函数 由此性质即可判断得出参数所满足的不等式 求解即可 解答 解 对任意成立 函数是一个减函数 由于函数 故解得 a 故答案为 点评 本题考查函数单调性的性质 解题的关键是对 对任意 成立 理解以及在分段函数的端点处函 数值大小比较 即 x 0 时两个端点的函数值的比较 准确理解题意 认真审题是此 类题正解解答的关键 本题易因为忘记比较端点处的函数值的大小比较而导致出 错 做题时要注意转化的等价性 10 3 分 f x 是以 2 为周期的偶函数 且当 x 0 1 时 f x x 若在区间 1 3 内 函数 g x f x kx k 有 4 个零点 则实数 k 的取值范围是 考点 函数与方程的综合运用 函数的周期性 函数的零点 二项式定理 专题 计算题 分析 根据函数是一个偶函数且周期是 2 写出函数在 1 0 2 3 1 0 上的 函数解析式 根据 g x 仍为一次函数 有 4 个零点 故在四段内各有一个零 点 分别在这四段上讨论零点的情况 零点的范围 最后求出几种结果的交集 解答 解 x 在 0 1 f x x 由于 f x 是偶函数 x 在 1 0 f x x f x 是周期为 2 的函数 f 2 f 0 0 函数解析式 y x 2 x 在 2 3 时 函数解析式 y x 2 g x 仍为一次函数 有 4 个零点 故在四段内各有一个零 点 x 在 1 0 g x x kx k k 1 x k 令 g x 0 x 1 0 解得 k 0 x 在 0 1 g x x kx k 1 k x k 令 g x 0 x 6 0 1 解的 0 k x 在 1 2 g x x 2 kx k k 1 x 2 k 令 g x 0 x 1 2 解的 0 k x 在 2 3 g x x 2 kx k 1 k x 2 k 令 g x 0 x 2 3 解的 0 k 综上可知 k 的取值范围为 0 k 故答案为 0 点评 学生知识经验已较为丰富 智力发展已到了形式运演阶段 具备了较强的抽象思维 能力和演绎推理能力 所以本题符合这类学生的心理发展特点 从而促进思维能力 的进一步发展 11 3 分 函数 f x sin3x x5 x 3 在 2 2 上最大值与最小值之和为 6 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 计算题 函数的性质及应用 导数的概念及应用 分析 构造 g x sin3x x5 x 确定函数是奇函数 从而可求函数 f x sin3x x5 x 3 在 2 2 上最大值与最小值之和 解答 解 令 g x sin3x x5 x 则 g x sin3x x5 x g x g x sin3x x5 x 是奇函数 g x sin3x x5 x 在 2 2 上最大值与最小值之和为 0 函数 f x sin3x x5 x 3 在 2 2 上最大值与最小值之和为 6 故答案为 6 点评 本题考查函数的奇偶性 考查学生分析解决问题的能力 属于基础题 12 3 分 给出如下四个命题 x 0 x2 x3 x 0 x ex 函数 f x 定义域为 R 且 f 2 x f x 则 f x 的图象关于直线 x 1 对称 若函数 f x lg x2 ax a 的值域为 R 则 a 4 或 a 0 其中正确的命题是 写出所有正确命题的题号 考点 命题的真假判断与应用 专题 证明题 7 分析 令 x 1 可判断 的真假 构造函数 f x ex x 利用导数法法分析其值域 即可判断 的真假 利用函数对称变换法则 对称变换二倍减 横向减里边 纵向减外边 的口决 可 判断 的真假 根据对数函数的性质 分析出内函数值域 A 0 进而根据二次函数的图象 和性质求出 a 的范围可得 的真假 解答 解 当 x 1 时 x2 x3 1 故 为假命题 令 f x ex x 则 f x ex 1 当 x 0 f x 0 即 f x 在 0 上为增函数 f x f 0 1 恒成立 故 为假命题 根据函数图象对称变换法则 可得若 f 2 x f x 恒成立 则 f x 的图象关 于直线 x 1 对称 故 为真命题 若函数 f x lg x2 ax a 的值域为 R 设函数 y x2 ax a 的值域为 A 则 A 0 即 a2 4a 0 解得 a 4 或 a 0 故 为真命题 故答案为 点评 本题考查的知识点是命题的真假判断 其中熟练掌握幂函数 指数函数 对数函数 及二次函数的图象与性质 函数图象的对称变换法则 是解答的关键 13 3 分 已知定义在 1 上的函数 若 f 3 a2 f 2a 则实数 a 取值范围为 1 考点 函数单调性的性质 分段函数的解析式求法及其图象的作法 专题 函数的性质及应用 分析 由函数的解析式可得函数在 1 0 上是增函数 由 2x 1 在 0 是增函数 且 20 1 3 2 1 可得函数在 1 上是增函数 故由不等式可得 3 a2 2a 1 由此求得 实数 a 取值范围 解答 解 由于 3 故函数在 1 0 上是增函数 再由 2x 1 在 0 是增函数 且 20 1 3 2 1 可得函数在 1 上是 增函数 再由 f 3 a2 f 2a 可得 3 a2 2a 1 解得 a 1 故实数 a 取值范围为 1 点评 本题主要考查函数的单调性的性质 注意 2a 1 这是解题的易错点 属于中档 题 8 14 3 分 已知函数 f x 若 a b c 互不相等 且 f a f b f c 则 lga lgb lgc 的取值范围是 1 2 考点 分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数的零点 专题 函数的性质及应用 分析 画出函数的图象 根据 f a f b f c 不妨 a b c 求出 abc 的范围即 可 解答 解 不妨设 a b c 则由函数的解析式可得 f a f b f c 即 lga lgb c 50 0 1 ab 1 且 0 c 50 1 则 abc c 98 100 1 lgc 2 故 lga lgb lgc lg abc lgc 1 2 作出函数 g x 的图象如图 故答案为 1 2 点评 本题主要考查分段函数 对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力 属于 基础题 二 解答题 共二 解答题 共 1010 小题 满分小题 满分 108108 分 分 15 12 分 若集 A x y x2 mx y 2 0 x R B x y x y 1 0 0 x 2 当 A B 时 求实数 m 的取值范围 考点 集合关系中的参数取值问题 专题 转化思想 分析 由 A B 将问题转化为方程组在 0 2 上有解 即 x2 m 1 x 1 0 在 0 2 上有解 构造函数 f x x2 m 1 x 1 则函数在 0 2 上有零 9 点 结合二次函数的图象和性质及零点存在定理 可得实数 m 的取值范围 解答 解 问题等价于方程组在 0 2 上有解 即 x2 m 1 x 1 0 在 0 2 上有解 令 f x x2 m 1 x 1 则由 f 0 1 知抛物线 y f x 过点 0 1 抛物线 y f x 在 0 2 上与 x 轴有交点等价于 f 2 22 2 m 1 1 0 或 由 得 m 由 得 m 1 实数 m 的取值范围为 1 点评 本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题 方程的根与函数零点之间的关系 其中将集合有公共元素转化为方程组有解 再转化为函数有零点 进而借助函数的 图象和性质进行解答是本题的关键 16 12 分 已知 x 满足 求 的最大值与最小值及相应的 x 的值 考点 对数函数图象与性质的综合应用 专题 函数的性质及应用 分析 由条件求得 化简函数 y 的解析式为 由此 可得 y 最大值与最小值及相应的 x 的值 解答 已知 x 满足 求的最 大值与最小值及相应的 x 的值 解 由题意 解得 又 log2x 1 log2x 2 10 当时 当 log2x 3 时 ymax 2 即当 时 当 x 8 时 ymax 2 点评 本题主要考查二元一次不等式 对数不等式的解法 属于中档题 17 12 分 设函数 y f x 是定义在 R 上的减函数 并且满足 f xy f x f y 1 求 f 1 的值 2 如果 f x f 2 x 2 求 x 的取值范围 考点 函数的值 函数单调性的性质 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 1 利用赋值法 令 x y 1 即可求解 2 利用赋值法可得 f 2 然后结合 f xy f x f y 转化已知不 等式 从而可求 解答 解 1 令 x y 1 则 f 1 f 1 f 1 f 1 0 4 分 2 又由 y f x 是定义在 R 上的减函数 得 解之得 12 分 点评 本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值 及利用函数的单调性求解不等 式 属于函数知识的综合应用 18 12 分 某种商品每件进价 12 元 售价 20 元 每天可卖出 48 件 若售价降低 销售 量可以增加 且售价降低 x 0 x 8 元时 每天多卖出的件数与 x2 x 成正比 已知商 品售价降低 3 元时 一天可多卖出 36 件 11 1 试将该商品一天的销售利润表示成 x 的函数 2 该商品售价为多少元时一天的销售利润最大 考点 函数最值的应用 专题 综合题 函数的性质及应用 分析 1 确定每件商品的利润 每天卖出的商品件数 即可求得该商品一天的销售利润 表示成 x 的函数 2 求导函数 确定函数的极值 从而可得最大利润 解答 解 1 由题意可设 每天多卖出的件数为 k x2 x 36 k 32 3 k 3 又每件商品的利润为 20 12 x 元 每天卖出的商品件数为 48 3 x2 x 该商品一天的销售利润为 f x 8 x 48 3 x2 x 3x3 21x2 24x 384 0 x 8 2 由 f x 9x2 42x 24 3 x 4 3x 2 令 f x 0 可得或 x 4 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 048 0 0 384 极小值 极大值 432 0 当商品售价为 16 元时 一天销售利润最大 最大值为 432 元 点评 本题考查函数模型的构建 考查导数知识的运用 解题的关键是确定函数的解析 式 19 8 分 设函数 f x e2x ex a a 为实数 x R 1 求证 函数 f x 不是奇函数 2 若 g x xa在 0 单调减 求满足不等式 f x a2的 x 的取值范围 3 求函数 f x 的值域 用 a 表示 考点 反证法与放缩法 奇偶性与单调性的综合 其他不等式的解法 专题 计算题 应用题 分类讨论 转化思想 分析 1 利用反证法 假设 f x 是奇函数 则 f x f x 推出矛盾结果 即可证明函数 f x 不是奇函数 2 利用 g x xa在 0 单调减 求出 a 的范围 然后解不等式 f x a2 求出 x 的取值范围 3 通过当 a 0 分别求函数 f x 的值域 用 a 表示 即 可 解答 解 1 证明 假设 f x 是奇函数 则 f x f x 而 x R 则 f 0 0 而 f 0 e0 e0 a 1 1 a 0 故假设不成立 从而函数 f x 不是奇函数 12 2 因 g x xa在 0 单调减 则 a 0 e2x ex a e2x ex a a2 则 ex a ex a 1 0 而 ex a 0 则 ex a 1 于是 x ln a 1 3 设 ex t 则 t 0 y f x t2 t a 当 a 0 时 y f x t2 t a 在 t 0 时单调增 则 f x f 0 a 当时 y f x t2 t a f a a2 当时 故当 a 0 时 f x 的值域为 a 当时 f x 的值域为 a2 当时 f x 的值域为 点评 本题考查函数的单调性的应用 函数的值域的求法 分类讨论思想的应用 考查转 化思想计算能力 20 8 分 已知奇函数 f x ax3 bx2 cx a 0 在 x 1 处取得极大值 2 1 求函数 y f x 的解析式 2 对于区间 2 2 上任意两个自变量的值 x1 x2都有 f x1 f x2 c 求实 数 c 的最小值 3 若关于 p 的一元二次方程 p2 2mp 4 0 两个根均大于 1 求函数 的单调区间 考点 导数在最大值 最小值问题中的应用 利用导数研究函数的极值 专题 导数的概念及应用 分析 1 根据奇函数的性质 f x f x 已知条件函数 f x ax3 bx2 cx a 0 在 x 1 处取得极大值 2 可以推出 f 1 0 和 f 1 2 代 入即可求得函数 y f x 的解析式 2 根据题意对于区间 2 2 上任意两个自变量的值 x1 x2都有 f x1 f x2 c 将问题转化为 f x1 f x2 f x max f x min 求 出 f x 的最大值和最小值即可 3 已知关于 p 的一元二次方程 p2 2mp 4 0 两个根均大于 1 根据根与系数的关 系求出 m 的范围 利用导数研究函数 g x 的单调性 解答 解 1 奇函数 f x ax3 bx2 cx a 0 在 x 1 处取得极大值 2 奇函数 f x f x 解得 b 0 可得 f x 3ax2 c 13 由题 解得 f x x3 3x 2 f x1 f x2 f x max f x min 4 根据 1 可得 f x x3 3x 求导得 f x 3x2 3 3 x2 1 令 f x 0 可得 x 1 或 1 当 f x 0 即 1 x 1 f x 为增函数 当 f x 0 时即 x 1 或 x 1 f x 为减函数 f x 在 x 1 处取极大值 f 1 2 在 x 1 处取得极小值 f 1 2 f 2 2 f 2 2 f x max 2 f x min 2 要使对于区间 2 2 上任意两个自变量的值 x1 x2都有 f x1 f x2 c f x1 f x2 f x max f x min 4 故 c 的最小值为 4 3 p2 2mp 4 0 两个根均大于 1 则求得 g x x2 3 mlnx 则 x 0 而 则时 g x 0 故是 g x 的单调增区间 时 g x 0 故 是 g x 的单调减区间 点评 此题主要考查利用导数研究函数的单调性 考查的知识点比较全面是一道中档题 这类题是高考的热点问题 21 10 分 已知 a b R 若所对应的变换 TM把直线 L 2x y 3 变换为自 身 求实数 a b 并求 M 的逆矩阵 考点 逆变换与逆矩阵 专题 计算题 选作题 分析 首先分析题目已知所对应的变换 TM把直线 L 2x y 3 变换为自身 故可根据变换的性质列出一组方程式求解出 a b 即可得到矩阵 M 再根据 MM1 E 求得 M 的逆矩阵即可 解答 解 设 P x y 为直线 2x y 3 上任意一点其在 M 的作用下变为 x y 14 则 代入 2x y 3 得 b 2 x 2a 3 y 3 其与 2x y 3 完全一样 故得 则矩阵 又因为 MM1 E 则 点评 此题主要考查矩阵变换的问题 其中涉及到逆矩阵的求法 题中是用一般方法求解 也可根据取特殊值法求解 具体题目具体分析找到最简便的方法 22 10 分 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点 Ox 方向为极轴 选择相同的长度单位建立极坐标系 得曲线 C 的极坐标方程 为 1 求直线 l 的倾斜角 2 若直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 求 AB 考点 圆的参数方程 直线与圆相交的性质 直线的参数方程 专题 计算题 分析 1 根据直线参数方程中的意义 求出直线 l 的倾斜角 2 把曲线 C 的极坐标方程化为普通方程 可知曲线是圆 根据点到直线的距离公 式和 圆被直线所截得的弦长公式进行计算 解答 解 1 直线参数方程可以化 根据直线参数方程的意义 这条经过点 倾斜角为 60 的直线 2 l 的直角坐标方程为 的直角坐标方程为 15 所以圆心到直线 l 的距离 点评 本题考查直线的参数方程 圆的极坐标方程 这两个方程是坐标系与参数方程中的 重点 经过点 P0 x0 y0 倾斜角为 的直线的参数方程是其中 t 为参 数 直线上的点 P 处的参数 t 的几何意义是有限线段的数量 以及点到直线的 距离公式的应用 23 10 分 甲 乙两名乒乓球运动员进行比赛 采用五局三胜制 若每一局比赛甲获胜 的概率为 乙获胜的概率为 现已完成一局比赛 乙暂时以 1 0 领先 1 求甲获得这次比赛胜利的概率 2 设比赛结束时比赛的局数为 X 求随机变量 X 的概率分布列和数学期望 考点 互斥事件的概率加法公式 离散型随机变量及其分布列 专题 压轴题 分析 1 甲获得这次比赛胜利 包括甲以 3 1 获胜和甲以 3 2