数列通项公式、前n项和求法总结(全)

第 1 页 一一 数列通项公式求法总结 数列通项公式求法总结 1 1 定义法定义法 直接利用等差或等比数列的定义求通项 直接利用等差或等比数列的定义求通项 特征 适应于已知数列类型 等差或者等比 例 1 等差数列是递增数列 前 n 项和为 且成等比数列 求数列的通项公式 n a n S 931 aaa 2 55 aS n a 变式练习 变式练习 1 等差数列中 求的通项公式 n a 7199 4 2 aaa n a 2 在等比数列中 且为和的等差中项 求数列的首项 公比及前项和 n a 21 2aa 2 2a 1 3a 3 a n an 2 2 公式法公式法 求数列的通项可用公式求解 n a n a 2 1 1 1 nSS nS a nn n 特征 已知数列的前项和与的关系n n S n a 例 2 已知下列两数列的前 n 项和sn的公式 求的通项公式 n a n a 1 2 1 3 nnSn 1 2 nsn 第 2 页 变式练习 变式练习 1 已知数列的前 n 项和为 且 2n2 n n N 数列满足 4log2 3 n N 求 n a n S n S b nn a n b n a n b 2 已知数列的前 n 项和 且 Sn的最大值为 8 试确定常数 k 并求 n a 2 1 2 n Snkn kN n a 3 已知数列的前项和 求数列的通项公式 n an Nn nn Sn 2 2 n a 3 3 由递推式求数列通项法由递推式求数列通项法 类型 1 特征 递推公式为 1 nfaa nn 对策 把原递推公式转化为 利用累加法累加法求解 1 nfaa nn 例 3 已知数列满足 求 n a 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 n a 第 3 页 变式练习 变式练习 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 2 已知数列 求通项公式 类型 2 特征 递推公式为 nn anfa 1 对策 把原递推公式转化为 利用累乘法累乘法求解 1 nf a a n n 例 4 已知数列满足 求 n a 3 2 1 a nn a n n a 1 1 n a 变式练习 变式练习 1 已知数列中 求通项公式 n a 1 2a 1 3n nn aa n a 11 12n nn aaa 第 4 页 2 设是首项为 1 的正项数列 且 1 2 3 求数列的通项公式是 n a 22 11 10 nnnn nanaaa n n a 类型 3 特征 递推公式为 其中 p q 均为常数 qpaa nn 1 对策 利用构造法构造法消去 q 把原递推公式转化为由得两式相减并整理得qpaa nn 11 2 nn apaq n 构成数列以为首项 以为公比的等比数列 求出的通项再转化 1 1 nn nn aa p aa 1nn aa 21 aa p 1nn aa 为类型 1 累加法 便可求出 n a 例 5 已知数列中 求 n a1 1 a32 1 nn aa n a 变式练习 变式练习 1 数列 a 满足 a 1 求数列 a 的通项公式 n1 073 1 nn aa n 第 5 页 2 已知数列满足 1 证明是等比数列 并求的通项公式 n a 1 a 1 31 nn aa 1 2 n a n a 类型 4 特征 递推公式为 其中 p 为常数 1 nn apaf n 对策 利用构造法消去 p 两边同时除以可得到 令 则 再转 1n p 1 11 nn nnn aaf n ppp n n n a b p 1 1 nn n f n bb p 化为类型 1 累加法 求出之后得 n b n nn ap b 例 6 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 11 24 31 n nn aaa n a 变式练习 变式练习 已知数列满足 求 n a1 1 a 1 23 n n n aa 2 n n a 第 6 页 二二 数列的前数列的前 n n 项和的求法总结项和的求法总结 1 1 公式法公式法 1 等差数列前 n 项和 1 1 1 22 n n n aan n Snad 2 等比数列前 n 项和 q 1 时 1n Sna 1 1 1 1 n n aq qS q 例 1 已知 求的前 n 项和 3log 1 log 2 3 x n xxxx 32 变式练习 变式练习 1 设等比数列的前项和为 已知求和 n an n S 2 6 a 13 630 aa n a n S 2 设是等差数列 是各项均为正数的等比数列 且 n a n b 11 1ab 35 21ab 53 13ab 1 求 n a n b 2 求数列的前 n 项和 n n b a n S 第 7 页 2 2 错位相减法错位相减法 若数列为等差数列 数列为等比数列 则数列的求和就要采用此法 n a n b nn ab 将数列的每一项分别乘以的公比 然后在错位相减 进而可得到数列的前项和 nn ab n b nn ab n 例 2 求的和 231 1234 n xxxnx 变式练习 1 已知数列的前 n 项和为 且 2 2nn n N 数列满足n N n a n S n S n b 2 4log3 n b n a 1 求 n a n b 2 求数列的前 n 项和 nn ab n T 2 若公比为 c 的等比数列的首项为 且满足 n a 1 1a 12 3 4 2 nn n aa an 1 求 c 的值 2 求数列的前 n 项和 n na n S 第 8 页 3 3 倒序相加法倒序相加法 如果一个数列 与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和 则可用把正着写与倒着写的两个和式相加 n a 就得到了一个常数列的和 这种求和方法称为倒序相加法 特征 121 nn aaaa 把数列的各项顺序倒写 再与原来顺序的数列相加 Saaaa Saaaa nnn nnn 121 121 相加 2 1211 Saaaaaa nnnn 例 3 已知 则f x x x fffffff 2 2 1 12 1 2 3 1 3 4 1 4 变式练习 变式练习 1 求的和 2222 22222222 12310 1102938101 2 求的值 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 第 9 页 4 4 裂项相消法裂项相消法 一般地 当数列的通项 时 往往可将变成两项的差 采用裂 12 n c a anbanb 12 a b b c为常数 n a 项相消法求和 可用待定系数法进行裂项 设 通分整理后与原式相比较 根据对应项系数相等得 从而可得 12 n a anbanb 21 c bb 122112 11 cc anbanbbbanbanb 常用裂项形式有 111 1 1n nnn 11 11 n nkk nnk 22 11111 1211kkkk 2 1111111 1 1 1 1kkkkkkkkk 1111 1 2 2 1 1 2 n nnn nnn 212 2 1 2 1 11 nnnn nnnnn 例 4 求数列 31 1 42 1 53 1 2 1 nn 的前 n 项和 S 变式练习 1 在数列 an 中 又 求数列 bn 的前 n 项的和 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b 第 10 页 2 等比数列的各项均为正数 且 n a 2 12326 231 9 aaaa a I 求数列的通项公式 n a II 设 求数列的前项和 31323 logloglog nn baaa 1 n b 5 5 分组求和法分组求和法 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等差 等比或常见的数 列 然后分别求和 再将其合并即可 一般分两步 找通向项公式 由通项公式确定如何分组 例 5 求数列 的前项和 1 1111 2462 48162n n n n S 变式练习 变式练习 1 求数列的前 n 项和 1111 1 2 3 4 392781 第 11 页 2 若数列的通项公式 求的前 n