第03章抽样误差

31 第第 3 章章 抽样误差抽样误差 3 1 抽样误差的概念 医学科研中通常采用抽样研究的方法 从某总体中随机抽取一个样本来进行研究 而所得样本统计量与总体参数常不一致 这种由抽样引起的样本统计量与总体参数间的 差异属于抽样误差 sampling error 这在抽样研究中是不可避免的 例如 假设某地成年男子血红蛋白的总体均数 为 13 76 g 100ml 随机抽查了 360 名男子 算得平均血红蛋白含量 13 45 g 100ml 若用此作为该地区成年男子血红XX 蛋白的总体均数 的一个估计值 则 13 76 13 45 0 31 g 100ml 此差值属于抽样误差 抽样误差有两种表现形式 其一是 样本统计量与总体参数间的差异 如样本均数 与总体均数间的差异 其二是 不同样本的统计量间的差异 如从同一总体中抽取含量 相等的两样本得到的两个样本均数之间的差异 从理论上讲 若进行 K 次抽样 所得的 K 个样本统计量 例如 则很可能各不相同 X 若将这些样本统计量编制成频率分布表或绘制成频率分布图 则可看出样本统计量的抽 样分布是有规律的 3 2 抽样误差产生的条件 抽样误差产生的两个必备条件 1 抽样研究 抽样研究是产生抽样误差的必备条件之一 只有对总体中的部分个 体进行研究 才可能导致样本指标与总体指标的不一致 而且在从同一总体进行抽样的 的研究中 样本含量越少的研究 理论上抽样误差必然越大 2 个体变异 个体变异是产生抽样误差的另一必备条件 在医学科研领域 许多 被研究对象都存在着变异现象 如血压 疗效 药物反应等 在抽样方法和样本含量不 变的条件下 变异大的研究样本其抽样误差也大 反之则小 以上是产生抽样误差的必备条件 缺一不可 若进行普查 则被研究对象的个体变 异将不会产生抽样误差 若个体间无变异 当然无需作抽样研究 也无抽样误差可言 32 3 3 均数的抽样误差及标准误 虽然均数的抽样误差可表现为样本均数与总体均数之差值 但由于总体均数往往是 未知的 故这个差值实际上是得不到的 只能估计 均数的抽样误差也可用多个样本均 数间的离散度表示 但由于对同一问题很少做多次同样的抽样研究 所以这个离散度一 般也是得不到的 那么 如何衡量抽样误差的大小 揭示抽样误差的规律呢 这就要应 用数理统计中的中心极限定理 central limit theorem 了 中心极限定理的涵义 1 从均数为 标准差为 的正态总体中独立 重复 随机抽取含量为 n 的样本 样本均数的分布仍为正态分布 其均数为 标准差为 X 2 即使从非正态总体 均数为 标准差为 中独立 重复 随机抽取含量为 n 的样 本 只要样本含量足够大 如 n 50 样本均数也近似服从均数为 标准差为的正态 X 分布 3 1 n X 在统计理论上将样本统计量的标准差称为统计量的标准误 standard error SE 用来 衡量抽样误差的大小 据此 样本均数的标准差称为均数的标准误 简称标准误 由 X 上式可见 此标准误与个体变异 成正比 与样本含量 n 的平方根成反比 实际工作中 往往是未知的 一般可用样本标准差 s 代替 求得的估计值 X 即 X s 3 2 n s sX 因为标准差 s 随样本含量的增加而趋于稳定 故增加样本含量可以降低抽样误差 为了形象地展示中心极限定理 表 3 1 设计了 4 个非正态分布的总体 其中 总体 A 是偏三角分布 总体 B 是均匀分布 总体 C 是指数分布 总体 D 为双峰分布 分别从 各总体中抽取 10000 个样本含量为 n 的样本 计算每个样本的均数 并根据 10000 个样 本均数绘制频率分布图 图 3 1 由图可见 样本均数的分布不再显示原来的非正态分布之特征 且随着样本含量 n 的增大 样本均数的分布很快接近正态分布 并显示均匀分布接近正态分布的速度快于 偏态分布 单峰分布快于双峰分布 因此 根据中心极限定理 即使对于总体的精确分 布并不清楚 这种情况在分析实际资料时较为常见 我们也可以利用这一特性对样本均数 的抽样误差进行各种分析 33 表 3 1 4 个总体不同样本含量时 10000 个模拟样本的均数和标准误 与相应理论值的比较 10000 个样本理论值 均数 标准误 SEX 均数 标准误 X 总体 A n 21 3340 0 33571 3333 0 3333 n 41 3328 0 23551 3333 0 2357 n 101 3322 0 14931 3333 0 1491 n 251 3325 0 09371 3333 0 0943 总体 B n 20 4965 0 20420 5000 0 2041 n 40 5007 0 14540 5000 0 1443 n 100 5013 0 09190 5000 0 0913 n 250 5002 0 05760 5000 0 0577 总体 C n 20 9992 0 70651 0000 0 7071 n 41 0001 0 50411 0000 0 5000 n 101 0026 0 31541 0000 0 3162 n 250 9962 0 19851 0000 0 2000 总体 D n 21 0069 0 54861 0000 0 5477 n 41 0074 0 39451 0000 0 3873 n 100 9965 0 24721 0000 0 2450 n 250 9997 0 15601 0000 0 1549 表 3 1 中 12 个抽样分布的均数及标准误与理论值均非常接近 实际工作中 常用 表示某指标的均数及其抽样误差 同时 中心极限定理通过图 3 1 显示 从不同SEX 分布类型的总体抽样时 达到样本均数趋向正态分布所需的最小样本含量之参考数 一 般而言 样本含量大于 10 时 其均数分布趋向正态的效果已经比较明显 本节描述了来自不同总体的样本均数之抽样误差和抽样分布规律 事实上 任何一 个样本统计量均有其抽样分布规律 如来自正态分布总体的样本方差服从 2分布 方差 之比服从 F 分布 相关系数作适当变换后近似服从正态分布 率的分布与样本含量 n 和 率的大小有关 在样本含量较小时服从二项分布 在 n 足够大时 近似服从正态分布 等 统计量的抽样分布规律是进行统计推断的理论基础 下面介绍从正态分布总体中随机抽样 均数和方差的有关抽样分布 34 x X x x 总体分布 B 图 3 1 中心极限定理图示 a n 2 n 4 n 25 的抽样分布X的抽样分布X 总体分布 A x X x x x n 10 n 25 x n 10 n 2 n 4 35 X xx X 总体分布 D n 2 n 2 n 4n 4 总体分布 C 图 3 1 中心极限定理图示 b x 的抽样分布X x n 25 x x 的抽样分布X n 25 n 10 x n 10 x 36 3 4 t 分布 中心极限定理表明 从任何总体中随机抽样 当样本含量较大时 其均数的抽样分 布将趋于正态分布 如果是从正态分布总体中抽样 英国统计学 W S Gosset 1908 导出 了样本均数的确切分布 设从正态分布 N 2 中随机抽取含量为 n 的样本 样本均数和标准差分别为和X s 且 3 3 ns X s X t X 则 t 值服从自由度为 n 1 的 t 分布 t distribution Gosset 于 1908 年在 Biometrika 生物 统计 杂志 1908 年第 6 期卷第 1 期上发表了题为 The probable error of a mean 平均数的 概率误差 的论文 当时用的是笔名 Student 故 t 分布又称 Student t 分布 t 分布曲线可用图 3 2 表示 图 3 2 自由度分别为 1 5 时的 t 分布 t 分布有以下的特征 1 t 分布为一簇单峰分布曲线 2 t 分布以 0 为中心 左右对称 3 t 分布与自由度 有关 自由度越小 t 分布的峰越低 而两侧尾部翘得越高 自 由度逐渐增大时 t 分布逐渐逼近标准正态分布 当自由度为无穷大时 t 分布就是标准 正态分布 每一自由度下的 t 分布曲线都有其自身分布规律 这个规律可见于 t 界值表 附表 2 表中横标目为自由度 纵标目为概率 P 表中数据为相应的 t 界值 常记为 t f t 标准正态曲线 5 1 0 1 0 2 4 3 2 101234 0 3 t 37 t 分布表明 从正态分布总体中随机抽取的样本 由样本计算的 t 值接近 0 的可能性 较大 远离 0 的可能性较小 t0 05 10 2 228 表明 从正态分布总体中抽取样本含量为 n 11 的样本 则由该样本计算的 t 值大于等于 2 228 的概率为 0 025 小于等于 2 228 的 概率亦为 0 025 可表示为 P t 2 228 P t 2 228 0 05 或 P 2 228 t 2 228 1 0 05 0 95 3 5 2 分布 设从正态分布 N 2 中随机抽取含量为 n 的样本 样本均数和标准差分别为和X s 且 3 4 2 2 2 1 sn 则 2值服从自由度为 n 1 的 2分布 2 distribution 是小写希腊字母 读作 chi 可见 2分布是方差的抽样分布 统计学家 Karl Pearson 在研究定性资料时指出 可以用 2分布近似描述具有某种属性 的实际频数 Ai与理论频数 Ti之间的抽样误差 即 3 5 i ii T TA 2 2 并指出 如果样本含量和理论频数均较大 如 n 40 Ti 5 或自由度大于 1 时 近似程 度较好 因此 2分布除用于方差的抽样分布研究外 还可用于样本分布与理论分布的 拟合优度检验 见第 9 章 率或构成比的比较 见第 7 章 等 2分布有以下的特征 1 2分布为一簇单峰正偏态分布曲线 2取值范围为 0 1 时分布最为偏斜 随 的逐渐加大 分布趋于对称 图 3 3 给出了 6 个不同自由度时的 2分布 2 自由度为 的 2分布 其均数为 方差为 2 3 1 时 2分布实际上是标准正态分布变量之平方 自由度为 的 2分布实际上 是 个标准正态分布变量之平方和 可表示为 2 u12 u22 uv2 3 6 其中 ui为标准正态变量 该性质说明 2分布具有可加性 4 每一自由度下的 2分布曲线都有其自身分布规律 这个规律可见于 2界值表 附 表 3 表中横标目为自由度 纵标目为概率 P 表中数据为相应的 2界值 常记为 2 当自由度 确定后 2与 P 的关系如该表右上角插图所示 图中阴影部分表示大于 2 的 尾部面积的百分数 即概率 例如 自由度为 1 时 20 05 1 3 84 表示当 1 右侧 0 05 时 2的界值为 3 84 也即按 2分布规律 1 时 理论上 2 3 84 的概率为 0 05 2分布说明 从正态分布的总体中随机抽样 所得样本的方差 s2接近于总体方差 2 38 的可能性大 远离总体方差的可能性小 即 2值接近其均数 n 1 的可能性大 远离 n 1 的 可能性小 自由度 10 时 20 025 10 20 48 20 975 10 3 25 说明 从正态分布的总体中 随机样本含量为 n 11 的样本 得到的 2值大于等于 20 48 的概率为 0 025 小于等于 3 25 的概率亦为 0 025 可表示为 P 2 3 25 P 2 20 48 0 05 或 P 3 25 2 20 48 1 0 05 0 95 4 3 5 2 024681012 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 f 2 1 2 6 图 3 3 2分布曲线 自由度为 1 6 3 6 F 分布 设从两个方差相等的正态分布 N 1 2 和 N 2 2 总体中随机抽取含量分别为 n1和 n2 的样本 样本均数和标准差分别为 s1和和 s2 且 1 X 2 X 3 7 2 2 2 1 s s F 则 F 值服从自由度为 n1 1 n2 1 的 F 分布 F distribution F 分布有两个自由度 F 取值 范围为 0 可见 F 分布是方差比的分布 常用于方差齐性检验 方差分析等 见第 6 章 F 分布有以下的特征 1 F 分布为一簇单峰正偏态分布曲线 与两个自由度有关 图 3 4 给出了 4 组不同 自由度时的 F 分布 2 若 F 服从自由度为 1 2 的 F 分布 则其倒数 1 F 服从自由度为 2 1 的 F 分布 39 f F 1 5 2 10 1 1 2 10 f F 1 10 2 1 10 2 1 3 自由度为 1 2 的 F 分布 其均数为 2 2 2 与第一自由度无关 4 第一自由度 1 1 时 F 分布实际上是 t 分布之平方 第二自由度 2 时 F 分布实际上等于 2分布 5 每一对自由度下的 F 分布曲线下的面积分布规律 见方差分析用 F 界值表 附表 4 表中横标目为第一自由度 纵标目为第二自由度 表中分别给出了右侧尾部概率为 0 05 和 0 01 时的 F 界值 记为 12 F 012