湖南省永州市2013届高三数学第一次模拟考试试题 理 湘教版

1 永州市永州市 20132013 年高考第一次模拟考试试卷年高考第一次模拟考试试卷 数数 学 理科 学 理科 注意事项 1 本试卷分选择题和非选择题两部分 考试时间 120 分钟 满分 150 分 答题前 考 生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 并认真核准条形码上的准 考证号 姓名及科目 在规定的位置贴好条形码 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 写在本试卷上无效 3 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 4 考试结束时 只交答题卡 参考公式 锥体的体积公式V Sh 其中S是锥体的底面积 h是锥体的高 1 3 如果事件A B互斥 那么P A B P A P B 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 则 2 12 1 AxxBx x AB A B 1 1 11 C D 1 2 1 2 2 是 03 x 的3x A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分又非必要条件 3 如图是某几何体的三视图 其中正视图是边长为 2 的等边三角形 俯视图是半圆 则该几何体的体积是 A B C D 3 2 3 2 6 3 6 4 4 0 cos2xdx A B 1C 2D 1 2 3 2 5 甲 乙两人在淘宝网各开一家网店 直销同一厂家的同一种产品 厂家 为考察两人的销售业绩 随机选了 10 天 统计两店销售量 得到如图所 示的茎叶图 由图中数据可知 A 甲网店的极差大于乙网店的极差 B 甲网店的中位数是 46 C 乙网店的众数是 42 D 甲网店的销售业绩好 6 等差数列的前n项和为 等比数列中 n a n S 9 18S 13 52S n b 55 ba 则的值 77 ba 6 b A B C 或D 2 或 22 222 22 2 7 若 则 1 sin 33 cos 2 3 乙 甲 6 0 57 12 1 333 2 2 2 3 4 573 4 22 181 5 8 第 5 题图 第 3 题图 俯 俯 俯 俯 俯 俯 俯 俯 俯 2 A B C D 7 9 1 3 1 3 7 9 8 设函数f x g x ax2 bx a b R a 0 若y f x 的图象与y g x 1 x 的图象有且仅有两个不同的公共点A x1 y1 B x2 y2 则下列判断正确的是 A 当a 0 时 x1 x2 0 y1 y2 0 B 当a 0 时 x1 x2 0 y1 y2 0 C 当a 0 时 x1 x2 0 y1 y2 0 D 当a 0 时 x1 x2 0 y1 y2 0 二 填空题 本大题共 8 小题 考生作答 7 小题 每小题 5 分 满分 35 分 把答案填 在答题卡中对应题号的横线上 一 选做题 请考生在 9 10 11 三题中任选两题作答 如全做则按前两题计分 9 如图 AB是 O的直径 C是AB延长线上一点 CD与 O相切于 点E C 则 AED 6 10 已知x y z R 且 则的最大 222 1xyz 23xyz 值是 11 已知在平面直角坐标系xoy中 圆C的参数方程为 2cos 12sin x y 为参数 与直角坐标系取相同的长度单位 且以原点O为极点 以轴正半 xoyx 轴为极轴建立极坐标系 直线l的极坐标方程为 则圆C截直线l所2 sin 1 3 得的弦长为 二 必做题 12 16 题 12 二男二女共四个学生站成一排照相 两个女生必须相邻的站法有 种 用 数字作答 13 已知A B是圆C C为圆心 上的两点 2 则 AB AB AC 14 双曲线C 的左 右焦点分别为F1 F2 P是C右支上一动点 22 1 97 xy 点Q的坐标是 1 4 则 PF1 PQ 的最小值为 15 执行如图所示的程序框图 则输出的复数z是 D C E OB A 第 9 题图 第 15 题图 开始 n 1 n n 1 输出z 结束 是 否 0 1313 2222 zi zi 0 zzz n 2013 3 16 电脑系统中有个 扫雷 游戏 要求游戏者标出所有的雷 游戏规则 一个方块下面 至多埋一个雷 如果无雷掀开方块下面就标有数字 提醒游戏者此数字周围的方块 至 多八个 中雷的个数 0 常省略不标 如图甲中的 3 表示它的周围八个方块中有且 仅有 3 个埋有雷 图乙是张三玩游戏中的局部 图中有 4 个方块已确定是雷 方块上标 有旗子 则上方左起八个方块中 方块正上方对应标有字母 能够确定一定不是雷的 有 一定是雷的有 请填入方块上方对应字母 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 设 ABC的内角 A B C所对的边分别为 a b c 已知3 a 4 b 2 cos 3 C 1 求的面积 ABC 2 求的值 sin BC 18 本小题满分 12 分 永州市举办科技创新大赛 某县有 20 件科技创新作品参赛 大赛 组委会对这 20 件作品分别从 创新性 和 实用性 两个方面进行评分 每个方面评 分均按等级采用 3 分制 最低 1 分 最高 3 分 若设 创新性 得分为 实用性 x 得分为 得到统计结果如下表 若从这 20 件产品中随机抽取 1 件 y 1 求事件A x 2 且y 2 的概率 2 设 为抽中作品的两项得分之和 求 的数学期望 创 新 性 1 分2 分3 分 1 分 202 2 分 141 实 用 性 3 分 226 x y 作品数 甲 A B C D E F G 乙 第 16 题图 4 19 本小题满分 12 分 如图所示 直角梯形ABCD中 A D 90o AD 2 AB 3 CD 4 P在线段AB上 BP 1 O在CD上 且 OP AD 将图甲沿OP折叠使得平面OCBP 底面ADOP 得到一个多面体 如图乙 M N分别是AC OP的中点 1 求证 MN 平面ACD 2 求平面ABC与底面OPAD所成角 锐角 的余弦值 20 本小题满分 13 分 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 一般情况 下 大桥上的车流速度v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当 车流密度不超过 50 辆 千米时 车流速度为 30 千米 小时 研究表明 当 50 x 200 时 车流速度v与车流密度x满足 当桥上的车流密度达到 200 辆 40 250 k v x x 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 千米 小时 1 当 0 x 200 时 求函数v x 的表达式 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上观测点的车辆数 单位 辆 小时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到个位 参考数据 52 236 21 本小题满分 13 分 在直角坐标系xoy中 椭圆 C1 的离心率 22 22 1 0 yx ab ab 3 2 e F是抛物线C2 y2 4x的焦点 C1与C2交于 M N两点 M在第一象限 且 MF 2 1 求点M的坐标及椭圆C1的方程 2 若过点N且斜率为k的直线l交C1于另一点P 交C2于另一点Q 且MP MQ 求k的值 乙 甲 第 19 题图 AB C D O P M N O P B C A D l Q P F N M O y x 第 21 题图 5 22 本小题满分 13 分 已知函数 ln 1 f xxpx 1 若函数在定义域内为减函数 求实数的取值范围 f xp 2 如果数列满足 试证明 n a 1 3a 1 22 11 1 1 4 nn n aa nn 当时 2n 3 4 44 n ae 永州市 2013 年高考第一次模拟考试 数学 理科 参考答案及评分标准 一 选择题 每小题 5 分 共 40 分 ACDA DCAB 二 填空题 每小题 5 分 共 35 分 一 选做题 9 11 题 考生只能从中选做 2 题 如果多做则按前两题计分 9 10 11 4 3 14 二 必做题 12 16 题 12 12 13 2 14 11 15 16 1 A C E 2 B D F G 13 22 i 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 12 分 解 在 ABC中 2 cos 3 C 2 分 22 25 sin1 cos1 33 CC 5 1 sin2 5 2 ABC SabC 分 由余弦定理可得 222 2cos9 16 169cababC 7 分3c 又由正弦定理得 sinsin cb CB 9 分 5 4 sin4 5 3 sin 39 bC B c 10 分 222 1 cos 29 acb B ac 12 分 4 52157 5 sin sincoscossin 939327 BCBCBC 6 18 本小题满分 12 分 解 1 从表中可以看出 事件A x 2 且 y 2 的作品数量为 7 件 故 x 2 且y 2 的概率为 7 0 35 20 5 分 2 方法一 由表可知 创新性 得分有 分 分 分三个等级 每个等级分y123 别有 5 件 6 件 9 件 创新性 得分的分布列为 x 则 创新性 得分的数学期望为 8 分Ex 13911 1232 2 410205 实用性 得分有 分 分 分三个等级 每个等级分别有 4 件 6 件 10 件 y123 实用性 得分的分布列为 y 故 实用性 得分的数学期望为 Ey 13123 1232 3 510210 10 分 所以 数学期望E E x y Ex Ey 2 2 2 3 4 5 12 分 方法二 作品的总得分 的可能取值为 2 分 3 分 4 分 5 分 6 分 由表中可知对应的作品数量分别为 2 件 1 件 8 件 3 件 6 件 8 分 则作品的总得分 的分布列为 10 分 所以 数学期望为 E 112339 234564 5 1020520102 12 分 19 本小题满分 12 分 证明 1 取CD的中点为Q 连接MQ OQ OQ CD 依题意知 面OCD 底面OPAD AD OD AD 平面OCD 而OQ面OCD AD OQ 又CD AD D 所以OQ面ACD MQ是ACD的中位线 故MQ NO 1 2 AD 1 2 AD 则 所以MN OQ MQNO x123 p 1 4 3 10 9 20 y 123 p 1 5 3 10 1 2 23456 P 1 10 1 20 2 5 3 20 3 10 Q M N O P B C A D 7 故MN 平面ACD 5 分 2 方法一 如图所示 分别以OP OD OC为x轴 y轴 z 轴建立空间直角坐标系 B 2 0 1 A 2 2 0 C 0 0 2 底面OPAD的一个法向量 0 0 1 m 设平面ABC的法向量为 nx y z 7 分 0 2 1 2 0 1 ABCB 依题知 020 200 n ABxyz n CBxyz 即 20 20 yz xz 令x 1 则y 1 z 2 1 1 2 n 26 cos 316 m n 故平面ABC与底面OPAD所成角的余弦值为 12 分 6 3 方法二 延长CB交OP于E 连接AE 则AE是面ABC与底面OPAD的交线 过O作OF AE于F 连CF 则 CFO就是二面角C AE O的平面角 4 2 2 2 2 2 OEAP OF AE 22 2 3CFOFOC CFO 2 26 32 3 OF CF 故平面ABC与底面OPAD所成角的余弦值为 12 分 6 3 20 本小题满分 13 分 解 1 由题意 当 0 x 50 时 v x 30 当 50 x 200 时 由于 40 250 k v x x 再由已知可知 当x 200 时 v 0 0 代入解得k 2000 故函数v x 的表达式为 5 分 30050 2000 4050200 250 x v x x x 2 依题意并由 1 可得 30050 2000 4050200 250 xx f x x xx x 当 0 x 50 时 f x 30 x 当x 50 时取最大值 1500 8 分 当 50 x 200 时 z y x D A C B P O N M F E M N O P B C A D A A A 8 2 20002000 250 2000250 4040 250 40250 250250 500000500000 12000 40 250 1200040 250 250250 120004000 51200040002 2363056 xx xx xx xx xx f x 取等号当且仅当 500000 40 250 250 x x 即时 f x 取最大值 1225050 5138x 分 这里也可利用求导来求最大值 综上 当车流密度为 138 辆 千米时 车流量可以达到最大 最大值约为 3056 辆 小时 13 分 21 本题满分 13 分 解 1 抛物线C2 y2 4x 2p 4 p 2 设M x0 y0 MF x0 0 12 2 p x x0 1 y0 2 椭圆C1 的离心率 22 22 1 0 yx ab ab 3 2 c e a 得 2 2 3 4 c a 2 2 1 4 b a 2ab 椭圆C1 过点M 1 2 22 22 1 4 yx bb 求得 2b 2 2a 椭圆C1的方程是 6 22 1 82 yx 分 2 点N 1 2 直线l的方程为y 2 k x 1 与 C1 22 48yx 联立消去y得 4 22 2 8xkxk 整理得 i 222 4 2 2 440kxk kxkk 设P x1 y1 易知 1 x1是方程 i 的两根 x1 2 2 44 4 kk k 代入直线l的方程得 8 2 1 2 288 4 kk y k 分 y 2 k x 1 与y2 4x联立消去x得 ii 2 4480kyyk 显然k 0 设点 Q x2 y2 易知 2 y2是方程 i 的两根 2y2 48k k 得 代入抛物线得 10 2 24k y k 2 2 2 2 k x k 分 故 M 1 2 222 222 44 288 2 24 44 kkkkkk PQ kkkk l Q P F N M O y x 9 222 4881644 4 44 kkk MPMQ kkkk 由MP MQ有 11 分0MP MQ 即 222 48 44 4 816 0 4 4 kkk kkk 整理得 求得 13 2 520kk 517 2 k 分 22 本题满分 13 分 解 1 函数的定义域为 0 ln 1 f xxp x 2 12 1 122 1 pxpx fx xxxx 分 依题意