广东省梅州东山中学08-09学年高二下学期期中考试（数学理）

广东梅县东山中学 2008 2009 学年度第二学期中段考试试卷 高二理科数学 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 8 8 小题 每题小题 每题 5 5 分 共分 共 4040 分分 1 函数 y f x 在区间上的最大值是 M 最小值是 N 若 M N 则 fx A 等于 0 B 大于 0 C 小于 0 D 以上都有可能 2 已知复数 z 1 i 则等于 2 2 1 ZZ Z A 2i B 2i C 2 D 2 3 已知曲线 则等于 1 1 x f x x 3 f A 2 B C D 2 1 2 1 2 4 函数在区间 1 1 上的最大值是 32 32f xxx A 2 B 0 C 2 D 4 5 设 则等于 2 0 1 2 12 xx f x xx 2 0 f x dx A B C C D 不存在 3 4 5 6 4 5 6 若在上是减函数 则 b 的取值范围是 2 1 ln 2 2 f xxbx 1 A B C D 1 1 1 1 7 曲线 y ex在点 2 e2 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 A B e2 C D 2 e2 2 1 2 e 2 3 2 e 8 已知函数y f x y g x 的导函数的图象如下图 那么y f x y g x 的图象可能是 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每题小题 每题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 若复数 z 4 ai 满足条件 z 3 2 则实数 a 的取值范围是 10 观察下列式子 则可归纳出 222222 131151117 1 1 1 222332344 11 若曲线与直线相切 则常数 a 3 2yxxa 1yx 12 在中 若 则的外接圆半径 将此ABC ACBCACb BCa ABC 22 2 ab r 结论拓展到空间 可得出的正确结论是 在四面体中 若两两互相垂SABC SASBSC 直 则四面体的外接球半径 SAa SBb SCc SABC R 13 如图 曲线所围成的图形的面积 图中的阴影sin cos 42 yx yxxx 与直线 部分 是 14 向高为 8m 底面边长为 8m 的倒置正四棱锥形的容器内注水 其速度为每分钟m3 则 8 3 当水深为 5m 时 水面上升的速度为每分钟 m 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 合计小题 合计 8080 分分 15 14 分 设函数 f x ln 2x 3 x2 1 求 f x 的单调区间 2 求 f x 在区间的极值 3 1 4 4 16 14 分 已知 都是正实数 且cba 1 cabcab 求证 3 cba 17 14 分 某商品每件成本 9 元 售价 30 元 每星期卖出 432 件 如果降低价格 销售量可 以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x 单位 元 0 x 30 的平方成正比 已知商品单价降低 2 元时 一星期多卖出 24 件 1 将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 18 14 分 已知函数 f x的导数 2 33 fxxax 0 fb a b为实数 12a 若 f x在区间 1 1 上的最小值 最大值分别为2 1 求a b的值 在 的条件下 求经过点 2 1 P且与曲线 f x相切的直线l的方程 19 12 分 一种计算装置 有一数据入口 A 和一个运算出口 B 按照某种运算程序 当 从 A 口输入自然数 1 时 从 B 口得到 记为 当从 A 口输入自然数 1 3 1 1 3 f 时 在 B 口得到的结果是前一个结果的倍 2n n f n 1f n 211 213 n n 1 当从 A 口分别输入自然数 2 3 4 时 从 B 口分别得到什么数 试猜想的关 f n 系式 并证明你的结论 2 记为数列的前项的和 当从 B 口得到 16112195 的倒数时 求此时对应的 n S f nn 的值 n S 20 12 分 已知函数 1 ln 1 0 x f xx x 1 试判断函数在上单调性并证明你的结论 f x 0 2 若恒成立 求整数的最大值 1 k f x x k 3 求证 23 1 1 2 12 3 1 1 n n ne 2008 2009 学年度第二学期学年度第二学期 广东梅县东山中学高二理科数学中段考试参考答案广东梅县东山中学高二理科数学中段考试参考答案 一 选择题 每题一 选择题 每题 5 5 分 共分 共 8 8 题 题 题题 号号 1 12 23 34 45 56 67 78 8 答答 案案 A B CC B CAD 二 填空题二 填空题 每题每题 5 5 分 共分 共 6 6 题题 9 10 33a 1 12 1 1 3 1 2 1 1 222 Nn n n n 11 12 13 14 31aa 或 222 2 abc 21 75 8 三 解答题 三 解答题 2 3 15 2 24622 21 1 1 2 232323 3 0 2 1 0 2 1 0 2 31 1 22 1 2 f x xxxx fxx xxx fx fx fx 解的定义域为 当 x 1时 当 1 x 时 f x 的单调增区间为 和 f x 的单调减区间为 1 2 由 1 可列表如下 x31 42 1 2 1 1 2 4 f x 0 f x 极小值 由上表可知 f x 在区间上的极小值为 13 分 3 1 4 4 11 ln2 24 f 不存在极大值 14 分 16 分析法 证明 要证原不等式成立 只需证 2 分3 2 cba 即证 4 分3 2 222 cabcabcba 又 1 cabcab 只需证 即 6 分1 222 cba01 222 cba 1 cabcab 只需证 10 分 0 222 cabcabcba 只需证 0 2222 222 cabcabcba 即 12 分0 222 accbba 由于任意实数的平方都非负 故上式成立 14 分3 cba 2222 222222 2 222 1 222 2 1 222 222 2 333 1 3 3 abcabcabacbc abacbcabacbc abacbcabacbc abacbc abacbc abc a b c abc 综合法 证明 又 都是正数 17 1 解 设商品单价降低元 则多卖出的商品件数为 1 分x 2 kx 若记一个星期的商品销售利润为 则依题有 f x 4 分 22 309 432 21 432 f xxkxxkx 由题知 解得 5 分 2 242k 6k 7 分 32 61264329072 030 f xxxxx 2 9 分 2 1825243218 2 12 fxxxxx 令得 0fx 12 2 12xx 当或时 10 分02x 1230 x 0fx 当时 11 分212x 0fx 当 取得极大值 12 分12x f x 又 0 9072 12 11264 12 0 ffff 定价为 30 12 18 元时 能使一个星期的商品销售利润最大 14 分 18 解 由已知得 32 3 2 f xxaxb 由 0fx 得 1 0 x 2 xa 1 1 x 12a 当 1 0 x 时 0fx f x递增 当 0 1 x 时 0fx f x 递减 f x在区间 1 1 上的最大值为 0 fb 1b 又 33 1 112 22 faa 33 1 11 22 faa 1 1 ff 由题意得 1 2f 即 3 2 2 a 得 4 3 a 故 4 3 a 1b 为所求 解 由 1 得 32 21f xxx 2 34fxxx 点 2 1 P在曲线 f x上 当切点为 2 1 P时 切线l的斜率 2 4 x kfx l的方程为14 2 yx 即470 xy 当切点P不是切点时 设切点为 00 Q xy 0 2 x 切线l的斜率 0 2 00 34 x x kfxxx l的方程为 2 0000 34 yyxxxx 又点 2 1 P在l上 2 0000 1 34 2 yxxx 322 00000 1 21 34 2 xxxxx 22 00000 2 34 2 xxxxx 22 000 34xxx 即 00 2 2 0 x x 0 0 x 切线l的方程为1y 故所求切线l的方程为470 xy 或1y 19 解 1 由已知得 23 12 21 n f nf nnnN n 当时 1 分2n 43111 21 4 15315 ff 同理可得 3 分 猜想 11 3 4 3563 ff 1 2121 f n nn 下面用数学归纳法证明成立 当时 由上面的计算结果知成立 6 分1 2 3 4n 假设时 成立 即 4 nk kkN 1 2121 f k kk 那么当时 1nk 21211 1 23232121 kk f kf k kkkk 即 1 1 211211 f k kk 当时 也成立 1nk 综合 所述 对 成立 nN 1 2121 f n nn 2 由 1 可得 111 2121161121952 2007 12 2007 1nn 2007n 111 2 2121 f n nn 2007 11111111 1 23355740134015 S 112007 1 240154015 20 解 1 1 分 22 111 1 ln 1 ln 1 11 x fxxx xxxx 2 1 0 0 0 ln 1 0 0 1 xxxfx x 2 分 f x 在 0 上是减函数 2 1 1ln 1 1 kxx f xh xk xx 恒成立即恒成立 即 h x 的最小值大于 k 4 分 2 1 ln 1 1 ln 1 0 xx h xg xxxx x 则 0 0 1 x g xg x x 在上单调递减 又 2 1 ln30 3 32ln20gg 存在唯一实根 a 且满足 0g x 2 3 1ln 1 aaa 当 0 0 xa g xh x 当0 0 0 xa g xh x min 1 1ln 1 1 3 4 aa h xh aa a 故正整数 k 的最大值是 3 6