机械模态分析作业例题

1 题目 完成一个综合作业 What I hear I forgot What I see I remember What I do I understand 作业 如图所示的两自由振动系统 已知 m1 100kg m2 5kg k1 10000N m k2 500N m c2 1N m 1 s F1 t F1ej t 求 1 物理坐标下的振动微分方程 2 频响函数矩阵 3 频响函数的模态展式矩阵 4 脉冲相应函数 5 画出 H11 的幅频特性曲线 相频特性曲线 实频特性曲线 虚频特性曲线 Nyquist 图 Bode 图 6 固有频率 阻尼固有频率 7 画出振型图 8 模态坐标系下的振动微分方程 9 模态参数 复模态质量 复模态刚度 复模态阻尼 解 1 振动微分方程 振动微分方程 对质量 m1 m2绘分离体图 如图 1 1 用牛二定律列分离体在铅垂方向的力平衡方程得 1 1 12212211 111 22122122 Fc xxkxxk xm x c xxkxxm x 将 1 1 整理可得 1 2 1122112211 222222 22 0 00 mxccxkkkxF mcckkx xx 且 m1 100 m2 5 k1 10000 k2 500 c2 1 代入 1 2 得 1111 2 22 10001110500500 05115005000 xxxF x xx 1 3 可以得出此二自由度系统振动微分方程为 M x C xKxf t 其中 图 1 1 系统的分离体 1000 05 M 11 11 C 10500500 500500 K 1 0 F f x 图 2 频响函数矩阵 频响函数矩阵 由书 P25 1 4 58 公式可知 此二自由度系统频响函数矩阵为一 2 2 方阵 其表达式为 其中 21 HKMj C 1000 05 M 11 11 C 10500500 500500 K 2 2 1 写成矩阵形式 2 2 1 2 1112 2 2122 10500 100500 5005005 HHjj H HHjj 3 频响函数的模态展式矩阵 频响函数的模态展式矩阵 1 求解瑞利阻尼矩阵 由于粘性阻尼矩阵 C 无法进行正交性对角化 故不能直接应用坐标变换将 1 3 解耦 由于在该题 中 粘性阻尼相对很小 对于小阻尼振动系统 可以利用瑞利比例阻尼来代替粘性阻尼 以获得可对角 化的阻尼矩阵 1 瑞利比例阻尼系数的确定 瑞利比例阻尼 其中 为瑞利比CMK 1000 05 M 10500500 500500 K 例阻尼系数 瑞利比例阻尼系数存在以下关系 其中为圆频率 为系统固有频率 书中表示为 为阻尼 1 1 1 2 2 2 22 22 i 2 ii f i f 0i i 比 0 i i i 将上式写为矩阵形式 1 11 22 2 1 22 1 22 可得 其中 1 1 11 22 2 1 22 1 22 3 1 2 ii f 0 i i i 由此可知 只要我们确定了一个系统任意两阶 的固有频率及其阻尼比 就可以确定出瑞利比例阻 尼系数 从而得到瑞利比例阻尼矩阵 2 求该二阶系统的一 二阶固有频率及其阻尼 比 利用求解该系统振动微分方程 的特征值来确定固有频率及其阻尼比 由书 P23 1 4 43 1 4 46 公式为求 M x C xKxf t i 3 解步骤 下面利用 Matlab 来计算固有频率和阻尼比 0i i 编写 Matlab 程序 polynomial m 求特征方程 程序如下 syms x m1 100 m2 5 k1 10000 k2 500 c2 1 M m1 0 0 m2 C c2 c2 c2 c2 K k1 k2 k2 k2 k2 y det M x 2 C x K 解以上求得的多项式 p 500 105 102500 10000 5000000 x0 roots p 由特征值可得 22 011 0 03568 94528 9453 1 1 01 0 0356 0 0040 8 9453 22 022 0 069411 178911 1791 2 2 02 0 0694 0 0062 11 1791 3 求瑞利比例阻尼系数及瑞利比例阻尼矩阵 根据公式 3 1 编写 Matlab 程序 rayleigh m 求解特征方程 程序如下 function Cr rayleigh 计算瑞利阻尼系数alpha和 beta xi1 0 0040 xi2 0 0062 f1 8 9453 f2 11 1791 omega1 2 pi f1 omega2 2 pi f2 A 1 2 omega1 omega1 2 1 2 omega2 omega2 2 xi xi1 xi2 4 x inv A xi alpha x 1 1 beta x 2 1 计算瑞利阻尼矩阵Cr 2 2 m1 100 m2 5 k1 10000 k2 500 M m1 0 0 m2 K k1 k2 k2 k2 k2 Cr alpha M beta K 可知 瑞利比例阻尼系数 0 3004 4 2 3741 10 瑞利比例阻尼矩阵 27 5422 0 1187 0 1187 1 3830 C 2 求解模态矩阵 及特征矢量矩阵 书P23已说明根据粘性比例阻尼振动系统的微分方 程所求得的特征矢量与该系统无阻尼振动下求得的特 征矢量相等 因此 我们可以利用求此二阶系统在无 阻尼振动下的微分方程的特征矢量更简单的得出模态 矩阵 改写Matlab程序polynomial m求解此二阶系统在无 阻尼振动下的微分方程的特征方程 程序如下 syms x m1 100 m2 5 k1 10000 k2 500 M m1 0 0 m2 K k1 k2 k2 k2 k2 y det K x 2 M 解以上求得的多项式 p 500 102500 5000000 x0 roots p 可知 将其分别代入回 可得 2 01 80 2 02 125 2 0KM 5 3 2 11 21 2500500 0 500100 12 22 2000500 0 500125 求得模态矩阵 1112 12 2122 11 54 3 求解频响函数的模态展式矩阵 1 求模态质量矩阵 模态刚度矩阵和模态阻尼矩阵 151000112250 1405540180 T i diag mM 151050050011180000 1450050054022500 T i diag kK 15 27 5422 0 11871163 30420 000963 30420 14 0 1187 1 3830540 000948 7206048 7206 T i diag cC 2 由此可得频响函数的模态展式为 3 3 2 2 1 T ii i iii H kmj c 写成矩阵形式为 22 111221112212 2222 1112221112221112 22 2122 211122122122 2222 111222111222 kmj ckmj ckmj ckmj cHH H HH kmj ckmj ckmj ckmj c 将所求 代入 i diag m i diag k i diag c 11122121 2122 1514 1800022563 3042 22500 18048 7206 525416 HH Hjj HH 4 脉冲响应函数 脉冲响应函数 对 3 3 作傅立叶逆变换 得到脉冲响应函数矩阵 4 1 2 1 sin i T t ii di i idi h tet m 5 的幅频 相频 实频 虚频特性曲线以及导纳图和博德图的幅频 相频 实频 虚频特性曲线以及导纳图和博德图 11 H 1 的幅频特性曲线 与的关系 11 H 11 H 6 其中 为阻尼比 代入可 11 22222222 11112222 11 1 4 1 4 H kk 01 i 得 11 2222 2222 11 18000 1 4 0 004 22500 1 4 0 0062 8080125125 H 5 1 编写 Matlab 程序 figure1 m 画图 程序如下 omega 5 01 15 o1 omega sqrt 80 o2 omega sqrt 125 k1 18000 k2 22500 xi1 0 0040 xi2 0 0062 y11 1 k1 sqrt 1 o1 2 2 2 xi1 o1 2 1 k2 sqrt 1 o2 2 2 2 xi2 o2 2 plot omega y11 LineWidth 2 grid on xlabel 频率 Hz ylabel 幅值 mm title m1的一阶幅频特性 输出图形 2 的相频特性曲线 与的关系 11 H 11 代入可得 1122 11 22 12 22 arctanarctan 11 7 5 2 1122 2 0 0042 0 0062 8 945311 1791 arctanarctan 11 80125 编写 Matlab 程序 figure2 m 画图 程序如下 omega 5 01 15 o1 omega sqrt 80 o2 omega sqrt 125 k1 18000 k2 22500 xi1 0 0040 xi2 0 0062 y11 atan 2 xi1 o1 1 o1 2 atan 2 xi2 o2 1 o2 2 plot omega y11 LineWidth 2 axis 5 15 2 2 grid on xlabel 频率 Hz ylabel 相位角 title m1的一阶相频特性 输出图形 3 的实频特性曲线 与的关系 11 H 11 R H 代入可得 22 12 11 22 222222 11112222 11 1414 R H kk 8 5 3 22 11 22 2222 22 11 80125 1800014 0 004 2250014 0 0062 8080125125 R H 编写 Matlab 程序 figure3 m 画图 程序如下 omega 5 01 15 o1 omega sqrt 80 o2 omega sqrt 125 k1 18000 k2 22500 xi1 0 0040 xi2 0 0062 y11 1 o1 2 k1 1 o1 2 2 2 xi1 o1 2 1 o2 2 k2 1 o2 2 2 2 xi2 o2 2 plot omega y11 LineWidth 2 grid on xlabel 频率 Hz ylabel 幅值 mm title m1的一阶实频特性 输出图形 4 的虚频特性曲线 与的关系 11 H 11 I H 代入可得 1122 11 22 222222 11112222 22 1414 I H kk 9 11 22 2222 22 2 0 0042 0 0062 8 945311 1791 1800014 0 004 2250014 0 0062 8080125125 I H 5 4 编写 Matlab 程序 figure4 m 画图 程序如下 omega 5 01 15 o1 omega sqrt 80 o2 omega sqrt 125 k1 18000 k2 22500 xi1 0 0040 xi2 0 0062 y11 1 o1 2 k1 1 o1 2 2 2 xi1 o1 2 1 o2 2 k2 1 o2 2 2 2 xi2 o2 2 plot omega y11 LineWidth 2 axis 5 15 0 0035 0 0005 grid on xlabel 频率 Hz ylabel 幅值 mm title m1的一阶虚频特性 输出图形 5 的导纳图 与的关系 11 H 11 R H 11 I H 编写 Matlab 程序 figure5 m 画图 程序如下 omega 0 01 15 o1 omega sqrt 80 o2 omega sqrt 125 k1 18000 k2 22500 xi1 0 0040 xi2 0 0062 yR 1 o1 2 k1 1 o1 2 2 2 xi1 o1 2 1 o2 2 k2 1 o2 2 2 2 xi2 o2 2 yI 2 xi1 o1 k1 1 o1 2 2 2 xi1 o1 2 10 2 xi2 o2 k2 1 o2 2 2 2 xi2 o2 2 plot yR yI LineWidth 2 axis square grid on xlabel 实频幅值 mm ylabel 虚频幅值 mm title m1的一阶Nyquist图 输出图形 6 的博德图 与的关系 11 H 11 lg H lg 编写 Matlab 程序 figure6 m 画图 程序如下 omega 5 01 15 o1 omega sqrt 80 o2 omega sqrt 125 k1 18000 k2 22500 xi1 0 0040 xi2 0 0062 y11 log 1 k1 sqrt 1 o1 2 2 2 xi1 o1 2 1 k2 sqrt 1 o2 2 2 2 xi2 o2 2 plot log omega y11 LineWidth 2 grid on xlabel 频率取对数 ylabel 幅值取对数 title m1的一阶Bode图 输出图形 11 6 固有频率和阻尼固有频率 固有频率和阻尼固有频率 1 固有频率 特征值的模 i Hz 22 0111 0 03568 94528 9453 Hz 22 0222 0 069411 178911 1791 2 阻尼固有频率 特征值的虚部 i Hz Hz 1 8 9452 d 2 11 1789 d 7 振型图 振型图 根据 3 2 求得的模态矩阵 可以画出系统一 二阶主振型图