湖南省2013年高考数学第二轮复习 专题七 概率与统计 文

1 专题七专题七 概率与统计概率与统计 真题试做真题试做 1 2012 课标全国高考 文 3 在一组样本数据 x1 y1 x2 y2 xn yn n 2 x1 x2 xn不全相等 的散点图中 若所有样本点 xi yi i 1 2 n 都在 直线y x 1 上 则这组样本数据的样本相关系数为 1 2 A 1 B 0 C D 1 1 2 2 2012 陕西高考 文 3 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计 得到样本的 茎叶图 如图所示 则该样本的中位数 众数 极差分别是 A 46 45 56B 46 45 53 C 47 45 56D 45 47 53 3 2012 辽宁高考 文 11 在长为 12 cm 的线段AB上任取一点C 现作一矩形 邻边 长分别等于线段AC CB的长 则该矩形面积大于 20 cm2的概率为 A B C D 1 6 1 3 2 3 4 5 4 2012 湖南高考 文 17 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名 员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据 如下表所示 一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上 顾客数 人 x3025y10 结算时间 分钟 人 11 522 53 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55 1 确定x y的值 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值 2 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率 将频率视为概率 考向分析考向分析 从近三年的高考试题来看 概率统计一般是 1 1 的模式 一大一小 几何概型是高考 一个新的热点 并且它是一个重要的知识交会点 通常会把几何概型与线性规划 解析几何 以及其他数学知识综合起来进行考查 且重点考查 长度型 和 面积型 主要以填空题 选择题的形式出现 试题难度为中 低档 所占分值为 5 分左右 古典概型是考查的热点 经常在解答题中与统计一起考查 属中 低档题 以考查基本概念为主 同时注重运算能力 与逻辑推理能力的考查 而对于统计方面的考查 主要是考查分层抽样 系统抽样的有关计 算或三种抽样方法的区别以及茎叶图 频率分布表 频率分步直方图的识图及运用 考查概 率与统计知识点的高考试题 既有自身概念的思想体现 如 样本估计总体的思想 假设检 验的思想 又有必然与或然思想 函数与方程思想和数形结合思想 热点例析热点例析 热点一 随机抽样和用样本估计总体 例 1 2012 四川高考 文 3 交通管理部门为了解机动车驾驶员 简称驾驶员 对某 新法规的知晓情况 对甲 乙 丙 丁四个社区做分层抽样调查 假设四个社区驾驶员的总 2 人数为N 其中甲社区有驾驶员 96 人 若在甲 乙 丙 丁四个社区抽取驾驶员的人数分别 为 12 21 25 43 则这四个社区驾驶员的总人数N为 A 101 B 808 C 1 212 D 2 012 例 2 2012 山东高考 文 14 如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温 单位 数据得到的样本频率分布直方图 其中平均气温的范围是 20 5 26 5 样本数据的分组 为 20 5 21 5 21 5 22 5 22 5 23 5 23 5 24 5 24 5 25 5 25 5 26 5 已知样本中平均气温低于 22 5 的城市个数为 11 则样本中平均气温不低 于 25 5 的城市个数为 规律方法规律方法 1 解答与抽样方法有关的问题的关键是深刻理解各种抽样方法的特点 适 用范围和实施步骤 熟练掌握系统抽样中被抽个体号码的确定方法 掌握分层抽样中各层人 数的计算方法 2 与频率分布直方图 茎叶图有关的问题 应正确理解图表中各个量的意义 通过图 表掌握信息是解决该类问题的关键 3 在做茎叶图或读茎叶图时 首先要弄清楚 茎 和 叶 分别代表什么 正确求出 数据的众数和中位数 方差越小 数据越稳定 特别提醒 频率分布直方图中的纵坐标为 而不是频率值 频率 组距 变式训练变式训练 1 1 2012 湖南高考 文 13 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得 分数的茎叶图 则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 注 方差s2 x1 2 x2 2 xn 2 其中 为x1 x2 xn的平均 1 nxxxx 数 热点二 变量的相关性和统计案例 例 3 2012 福建高考 文 18 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价 将该 产品按事先拟定的价格进行试销 得到如下数据 单价x 元 88 28 48 68 89 销量y 件 908483807568 1 求回归直线方程 x 其中 20 y b a b a y b x 2 预计在今后的销售中 销量与单价仍然服从 1 中的关系 且该产品的成本是 4 元 件 为使工厂获得最大利润 该产品的单价应定为多少元 利润 销售收入 成本 规律方法规律方法 解决线性回归问题的关键是 1 正确理解计算 的公式并准确的计算 b a 若对数据作适当的预处理 可避免对大数字进行运算 2 分析两个变量的相关关系时 可 根据样本数据作散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系 若具有线性相关关系 则可 通过线性回归方程估计和预测变量的值 变式训练变式训练 2 2 某地最近十年粮食需求量逐年上升 下表是部分统计数据 年份 20022004200620082010 需求量 万吨 236246257276286 1 利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 x y b a 2 利用 1 中所求出的直线方程预测该地 2013 年的粮食需求量 3 热点三 古典概型与几何概型 例 4 2012 湖北高考 文 10 如图 在圆心角为直角的扇形OAB中 分别以OA OB 为直径作两个半圆 在扇形OAB内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率是 A B 1 2 1 1 C 1 D 2 2 规律方法规律方法 1 解决古典概型问题的关键是 正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数 P A 既是古典概型的定义 又是求概率的计算公式 应熟练掌握 m n 2 解决几何概型的关键是寻找试验的全部结果构成的区域和事件发生时构成的区域 有时需要设出变量 在坐标系中表示所需要的区域 3 若事件正面情况比较多 反面情况较少 则一般利用对立事件进行计算 对于 至 少 至多 等事件的概率计算 往往用这种方法求解 变式训练变式训练 3 3 1 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参 加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 2 如图 矩形ABCD中 点E为边CD的中点 若在矩形ABCD内部随机取一个点Q 则 点Q取自 ABE内部的概率等于 A B C D 1 4 1 3 1 2 2 3 热点四 概率统计综合问题 例 5 2012 北京高考 文 17 近年来 某市为了促进生活垃圾的分类处理 将生活 垃圾分为厨余垃圾 可回收物和其他垃圾三类 并分别设置了相应的垃圾箱 为调查居民生 活垃圾分类投放情况 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾 数据统计如 下 单位 吨 厨余垃圾 箱 可回收物 箱 其他垃圾 箱 厨余垃圾 400100100 可回收物 3024030 其他垃圾 202060 1 试估计厨余垃圾投放正确的概率 2 试估计生活垃圾投放错误的概率 3 假设厨余垃圾在 厨余垃圾 箱 可回收物 箱 其他垃圾 箱的投放量分别为 a b c 其中a 0 a b c 600 当数据a b c的方差s2最大时 写出a b c的值 结论不要求证明 并求此时s2的值 注 s2 x1 2 x2 2 xn 2 其中 为数据x1 x2 xn的平均数 1 nxxxx 规律方法规律方法 1 抽样方法和概率问题的综合一般是从分层抽样开始 设置分层抽样中的一 些计算问题 然后就分层抽样中各个层设置一个古典概型计算问题 虽然此类题目所考查的 知识横跨两部分 但是分解开来后 并不难解决 4 由于此类题目多与实际问题联系紧密 题干较长 信息量大 且会有图表 因此要认真 审题并要掌握解答题目所需的知识 要做到 1 分层抽样中的公式运用要准确 抽样比 样本容量 个体总量 各层样本容量 各层个体总量 层 1 的数量 层 2 的数量 层 3 的数量 样本 1 的容量 样本 2 的容量 样本 3 的容 量 2 在计算古典概型概率时 基本事件的总数要计算准确 2 频率分布与概率的综合主要有两种形式 1 题目中给出了样本的频率分布表 它反映了样本在各个组内的频数和频率 要求根 据频率分布表画出频率分布直方图 并根据样本在各组的频数 设置分层抽样和概率计算 等 2 利用频率与概率的关系 频率近似于概率 给出某类个体中的一个个体被抽中的概 率 从而求出样本容量及其他类个体的数量 在解决此类问题时 可将题目中所给概率作为 此类个体被抽中的频率 从而求解 变式训练变式训练 4 4 某河流上的一座水力发电站 每年六月份的发电量Y 单位 万千瓦时 与 该河上游在六月份的降雨量X 单位 毫米 有关 据统计 当X 70 时 Y 460 X每增加 10 Y增加 5 已知近 20 年X的值为 140 110 160 70 200 160 140 160 220 子 200 110 160 160 200 140 110 160 220 140 160 1 完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70110140160200220 频率 1 20 4 20 2 20 2 假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同 并将频率视为概 率 求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时 或超过 530 万千瓦时 的概 率 思想渗透思想渗透 数形结合思想 解决有关统计问题 1 通过频率分布直方图和频数条形图研究数据分布的总体趋势 2 根据样本数据散点图确定两个变量是否存在相关关系 解答时注意的问题 1 频率分布直方图中的纵坐标为 而不是频率值 频率 组距 2 注意频率分布直方图与频数条形图的纵坐标的区别 为了解学生身高情况 某校以 10 的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查 测得身高情况的统计图如下 5 1 估计该校男生的人数 2 估计该校学生身高在 170 185 cm 之间的概率 3 从样本中身高在 180 190 cm 之间的男生中任选 2 人 求至少有 1 人身高在 185 190 cm 之间的概率 解 解 1 样本中男生人数为 40 由分层抽样比例为 10 估计全校男生人数为 400 2 由统计图知 样本中身高在 170 185 cm 之间的学生有 14 13 4 3 1 35 人 样本容量为 70 所以样本中学生身高在 170 185 cm 之间的频率f 0 5 故由f估计 35 70 该校学生身高在 170 185 cm 之间的概率P1 0 5 3 样本中身高在 180 185 cm 之间的男生有 4 人 设其编号为 样本 中身高在 185 190 cm 之间的男生有 2 人 设其编号为 从上述 6 人中任取 2 人的树 状图为 故从样本中身高在 180 190 cm 之间的男生中任选 2 人的所有可能结果数为 15 至少有 1 人身高在 185 190 cm 之间的可能结果数为 9 因此 所求概率P2 9 15 3 5 1 2012 湖南高考 文 5 设某大学的女生体重y 单位 kg 与身高x 单位 cm 具有 线性相关关系 根据一组样本数据 xi yi i 1 2 n 用最小二乘法建立的回归方程 为 0 85x 85 71 则下列结论中不正确的是 y A y与x具有正的线性相关关系 B 回归直线过样本点的中心 xy C 若该大学某女生身高增加 1 cm 则其体重约增加 0 85 kg D 若该大学某女生身高为 170 cm 则可断定其体重必为 58 79 kg 2 2012 湖南师大附中模拟 4 高一 1 班有学生 52 人 现将所有学生随机编号 用 系统抽样方法 抽取一个容量为 4 的样本 已知 6 号 32 号 45 号学生在样本中 则样本 中还有一个学生的编号是 A 19 B 16C 12 D 3 3 2012 湖北高考 文 2 容量为 20 的样本数据 分组后的频数如下表 分组 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 频数 234542 则样本数据落在区间 10 40 的频率为 A 0 35 B 0 45 C 0 55 D 0 65 4 原创题 设不等式组Error 表示的平面区域为D 在区域D内随机取一个点 则此点 到坐标原点的距离大于 2 的概率是 A B C D 4 2 2 6 4 4 5 2012 浙江五校联考 文 11 为了分析某同学在班级中的数学学习情况 统计了该 同学在 6 次月考中的数学名次 用茎叶图表示如图所示 则该组数据的中位数为 6 2012 安徽高考 文 18 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1 mm 时 则视为合格品 否则视为不合格品 在近期一次产品抽样检查中 从某厂生产的此种产品中 随机抽取 5 000 件进行检测 结果发现有 50 件不合格品 计算这 50 件不合格品的直径长与 标准值的差 单位 mm 将所得数据分组 得到如下频率分布表 分组频数频率 6 3 2 0 10 2 1 8 1 2 0 50 2 3 10 3 4 合计 501 00 1 将上面表格补充完整 2 估计该厂生产的此种产品中 不合格品的直径长与标准值的差落在区间 1 3 内的概 率 3 现对该厂这种产品的某个批次进行检查 结果发现有 20 件不合格品 据此估算这批 产品中的合格品的件数 7 2012 湖南长沙模拟 文 18 甲 乙两位同学参加数学竞赛培训 现分别从他们在 培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 5 次 绘制成茎叶图如图 1 现要从中选派一人参加数学竞赛 从统计学的角度考虑 你认为选派哪位学生参加 合适 请说明理由 2 若在茎叶图中的甲 乙预赛成绩中各任取 1 次成绩分别记为a和b 求满足a b的 概率 参考答案参考答案 命题调研命题调研 明晰考向明晰考向 真题试做真题试做 1 D 解析 解析 样本相关系数越接近 1 相关性越强 现在所有的样本点都在直线 y x 1 上 样本的相关系数应为 1 1 2 2 A 解析 解析 由茎叶图可知中位数为 46 众数为 45 极差为 68 12 56 故选 A 3 C 解析 解析 此概型为几何概型 由于在长为 12 cm 的线段AB上任取一点C 因此总的 几何度量为 12 满足矩形面积大于 20 cm2的点在C1与C2之间的部分 如图所示 因此所求概率为 即 故选 C 8 12 2 3 4 解 解 1 由已知得 25 y 10 55 x 30 45 所以x 15 y 20 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所收集的 100 位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本 顾客一次购物的结算时间的平均值可 用样本平均数估计 其估计值为 1 9 分钟 1 15 1 5 30 2 25 2 5 20 3 10 100 2 记A为事件 一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟 A1 A2 A3分别表示事 件 该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟 该顾客一次购物的结算时间为 1 5 分钟 该顾 客一次购物的结算时间为 2 分钟 将频率视为概率得 P A1 P A2 P A3 15 100 3 20 30 100 3 10 25 100 1 4 因为A A1 A2 A3 且A1 A2 A3是互斥事件 所以P A P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 3 20 3 10 1 4 7 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 7 10 精要例析精要例析 聚焦热点聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 B 解析 解析 四个社区抽取的总人数为 12 21 25 43 101 由分层抽样可知 解得N 808 故选 B 96 12 N 101 例 2 9 解析 解析 由于组距为 1 则样本中平均气温低于 22 5 的城市频率为 0 10 0 12 0 22 平均气温低于 22 5 的城市个数为 11 所以样本容量为 50 11 0 22 而平均气温高于 25 5 的城市频率为 0 18 所以 样本中平均气温不低于 25 5 的城市个数为 50 0 18 9 变式训练 1 6 8 解析 解析 11 x 8 9 10 13 15 5 s2 8 11 2 9 11 2 10 11 2 13 11 2 15 11 2 5 6 8 例 3 解 解 1 由于 x1 x2 x3 x4 x5 x6 8 5 x 1 6 y1 y2 y3 y4 y5 y6 80 y 1 6 所以 80 20 8 5 250 从而回归直线方程为 20 x 250 a y b x y 2 设工厂获得的利润为L元 依题意得 L x 20 x 250 4 20 x 250 20 x2 330 x 1 000 20 2 361 25 x 33 4 当且仅当x 8 25 时 L取得最大值 故当单价定为 8 25 元时 工厂可获得最大利润 变式训练 2 解 解 1 由所给数据看出 年需求量与年份之间是近似直线上升 下面 来求回归直线方程 为此对数据预处理如下 年份 2006 4 2 024 需求量 257 21 11 01929 对预处理后的数据 容易算得 0 3 2 xy 6 5 b 4 21 2 11 2 19 4 29 4 2 2 2 22 42 260 40 3 2 a y b x 由上述计算结果 知所求回归直线方程为 257 x 2 006 6 5 x 2 006 3 2 y b a 即 6 5 x 2 006 260 2 y 2 利用直线方程 可预测 2013 年的粮食需求量为 6 5 2 013 2 006 260 2 6 5 7 260 2 305 7 万吨 306 万吨 例 4 C 解析 解析 设OA OB 2R 连接AB 如图所示 由对称性可得 阴影的面积就 等于直角扇形拱形的面积 S阴影 2R 2 2R 2 2 R2 S扇 R2 故所求的 1 4 1 2 8 概率是 1 2 R2 R2 2 变式训练 3 1 A 解析 解析 记三个兴趣小组分别为 1 2 3 甲参加 1 组记为 甲 1 则基本事件为 甲 1 乙 1 甲 1 乙 2 甲 1 乙 3 甲 2 乙 1 甲 2 乙 2 甲 2 乙 3 甲 3 乙 1 甲 3 乙 2 甲 3 乙 3 共 9 个 记事件A为 甲 乙两位同学参加同一个兴趣小组 则事件A包含 甲 1 乙 1 甲 2 乙 2 甲 3 乙 3 共 3 个 因此P A 3 9 1 3 2 C 解析 解析 由题意知 可设事件A为 点Q取自 ABE内 构成试验的全部结果为矩 形ABCD内所有点 事件A为 ABE内的所有点 又因为E是CD的中点 所以S ABE AD AB S矩形ABCD AD AB 所以P A 1 2 1 2 例 5 解 解 1 厨余垃圾投放正确的概率约为 厨余垃圾 箱里厨余垃圾量 厨余垃圾总量 400 400 100 100 2 3 2 设生活垃圾投放错误为事件A 则事件 表示生活垃圾投放正确 A 事件 的概率约为 厨余垃圾 箱里厨余垃圾量 可回收物 箱里可回收物量与 其他 A 垃圾 箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量 即P 约为 0 7 A 400 240 60 1 000 所以P A 约为 1 0 7 0 3 3 当a 600 b c 0 时 s2取得最大值 因为 a b c 200 x 1 3 所以s2 600 200 2 0 200 2 0 200 2 80 000 1 3 变式训练 4 解 解 1 在所给数据中 降雨量为 110 毫米的有 3 个 为 160 毫米的有 7 个 为 200 毫米的有 3 个 故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70110140160200220 频率 1 20 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20 解析 解析 2 P 发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时 P Y 490 或Y 530 P X 130 或X 210 P X 70 P X 110 P X 220 1 20 3 20 2 20 3 10 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时 或超过 530 万千瓦时 的概率 为 3 10 创新模拟创新模拟 预测演练预测演练 1 D 解析 解析 D 选项中 若该大学某女生身高为 170 cm 则可断定其体重约为 0 85 170 85 71 58 79 kg 故 D 不正确 2 A 3 B 解析 解析 样本数据落在区间 10 40 的频数为 2 3 4 9 故所求的频率为 0 45 9 20 9 4 D 解析 解析 题目中表示的区域为如图所示的正方形 而动点D可以存在的 02 02 x y 位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分 因此 故选 D 2 2 22 4 4 2 24 P 5 18 5 解析 解析 由茎叶图知中间两位数为 18 和 19 所以中位数为 18