气体分子运动论

10 气体分子运动论气体分子运动论 学习指导学习指导 1 重点内容 理想气体在平衡态下的性质 压强公式的推导 温度的统计解释 能量均分定理 麦 克斯韦速率分布律 碰撞频率和平均自由程 2 难点内容 气体分子热运动的基本图象 用统计方法去解释宏观概念 及有关的计算 3 解题指导 气体分子运动论的习题概括的说 可以有以下几种类型 1 应用理想气体状态方程求解步骤 a 根据题目所给条件并考虑到便于计算 选取研究对象 即某种理想气体系统 b 明确系统所处的平衡态 确定宏观状态参量 P V T 的值并统一单位制 c 列方程 代入已知数据 求解 2 应用压强公式与温度公式解题 公式中涉及的各物理量 有宏观量 有微观量 宏观量描述系统整体状态 微观量描 述单个分子的运动状态 对题目所给条件 应分清哪些是宏观量 哪些是微观量 选用适 当公式将二者联系起来 还应熟悉各公式之间的转换关系 这样在解题时才能灵活应用 3 应用平衡态下气体分子速率分布律解题 关键是明确各种函数表现形式的物理意义 特别是速率分布函数 f v 的理解 由速率分布律得出的气体分子热运动的三种特征速率 它们的应用场合是不同的 在 讨论理想气体的速率分布时 要用到最可几速率 V 在计算分子运动走过的平均路程时 P 要用平均速率 例如平均自由程 在计算分子的平均平动动能时 就应该用方均根速率V 2 V 4 典型例题 典型例题 例 1 试由理想气体状态方程及压强公式 推导出气体温度与气体分子热运动的平均 平动动能之间的关系式 解 理想气体状态方程 PV M M RT 其中 M Nm M Nm 故可写成 molmolA PV Nm N m RT NR N T NkT 其中 k R N是玻尔兹曼常量 由此得 AAA P N V kT nkT 1 理想气体的压强公式 2 3 2 wn p 比较 1 2 两式可得 kTvmw 2 3 2 1 2 例 2 一容器内贮有氧气 其压强为 P 1 0atm 温度为 27 C 求 0 1 单位体积内分子数 2 氧气的密度 3 氧分子的质量 4 分子间的平均距离 5 分子的平均平动动能 解 1 n p kT 1 013 10 1 38 10 300 2 45 10m 523 253 2 由 PV M RT 得 PU RT 1 013 10 32 10 8 31 300 1 30Kg m 53 1 3 由 nm 得 m n 1 30 2 45 10 5 31 10Kg 2526 4 分子间的平均距离 S 是指二个分子中心间的平均距离 它与分子数密度 n 的关系 为 m n S 9 325 3 1044 3 1045 2 11 5 JkT k 21 1021 6 2 3 例 3 容器中装有质量为 M 的理想气体 容器在以高速 u 运动过程中突然停下来 设气体 全部定向运动的动能都转化为内能 试求 1 气体的温度上升多少 2 气体的压强增 加多少 解 1 当容器已高速 u 运动时 每个气体分子在热运动的速度上都叠加一个定向运动的 速度 u 于是气体具有定向运动的机械能为 1 2 Mu 当容器突然停止后 定向运动消 2 失 转化为分子的热运动 使气体内能增加 从而温度升高 设容器停止前后气体的温度 分别为 T T 若机械能全部转化为气体内能 则 12 1 2 M u E M i 2 R T T 2 21 得 T T T Mu iR 21 2 2 容器中的气体温度升高 T 但因容积没变 故由 PV M RT 得 P V M R T 所以 P MR V T M Vi i P 为气体密度 22 例 4 假定大气层各处温度相同均为 T 空气的摩尔质量为 M 试跟据玻耳兹曼分布 mol 律 KTEP enn 0 证明大气压强 P 与高度 H 从海平面算起 的关系是 h RT Mg ln p p mol0 证 设空气分子的质量为 m 则在离海平面高度为 h 处 空气分子的势能为 E mgh 于 P 是有 h RT gM h Ktn mgN h kT mg mol H A enenenn 000 那么 由 RT ghM RT ghM MOLMOL epkTennkTp 00 取对数 ln p p Mgh RT h RTln p p Mg 0mol0mol 例 5 容器内有 11Kg 二氧化碳和 2Kg 氢气 两种气体均是为刚性分子的理想气体 已知 混合气体的内能是 8 1 10 J 求 6 1 混合气体的温度 2 两种气体分子的平均动能 解 JkT JkT KR M Mi M Mi ET RT M Mi RT M Mi E molmol molmol 20 2 20 1 2 22 1 11 2 22 1 11 1004 1 2 5 1024 1 2 6 2 300 22 22 1 例 6 有 N 个粒子 其速率分布函数为 f v dN Ndv c v v 0 f v 0 v v 00 1 作速率分布曲线 2 由 N 和 v 求常数 C 0 3 求粒子的平均速率 4 求粒子的方均根速率 解 1 速率分布曲线如图 2 速率分布函数必须满足归一化条件即 1 0 00 0 CVCdVdVVf V 所以 c 1 由几何图形直接算出它的面积等于 c 1 也可得到 0 V 0 V c 1 0 V 3 根据算术平均速率的定义可得 0 0