2012高考数学热点集中营 热点15 组合体问题 新课标

用心 爱心 专心1 两年真题重温两年真题重温 2011 新课标全国理 15 已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上 且 6AB 2 3BC 则棱锥OABCD 的体积为 答案 8 3 答案 1 3 答案 B 解析 命题意图 本题主要考查空间几何体中位置关系 球和正棱柱的性质以及相应的 用心 爱心 专心2 运算能力和空间形象能力 根据题意条件可知三棱柱是棱长都为的正三棱柱 则其外接球的半径为a 球的表面积为 应选 B 222 7 22sin6012 aa Ra 2 22 77 4 123 a Ra 2010 新课标全国文 7 设长方体的长 宽 高分别为 2a a a 其顶点都在一个球面 上 则该球的表面积为 A 3a2 B 6a2 C 12a2 D 24a2 答案 B 解析 本题考查长方体的外接球问题 22222 6 2 2 6 46 2 a RaaaaRSRa 命题意图猜想命题意图猜想 最新考纲解读最新考纲解读 1 认识柱 锥 台 球及其简单组合体的结构特征 并能运用这些特征描述现实生活中简 单物体的结构 2 了解球 棱柱 棱锥 台的表面积和体积的计算公式 不要求记忆 回归课本整合回归课本整合 4 侧面积 直截面 与各侧棱都垂直相交的截面 周长 侧棱长 特别地 直棱柱的S 侧面积 底面周长 侧棱长 全面积 也称表面积 是各个表面面积之和 故棱柱的全面S 积 侧面积 2 底面积 用心 爱心 专心3 4 棱柱 棱锥与球的体积 6 圆柱 圆锥 圆台 1 圆柱 圆锥 圆台的概念 分别以矩形的一边 直角三角形一条直角边 直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴 其余各 边旋转而形成的曲面围成的几何体分别叫做圆柱 圆锥 圆台 用心 爱心 专心4 7 简单几何体与球的综合问题 解得 与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半 araR 12 6 4 6 2 4 ra 2 正方体与球 1 正方体的内切球 截面图为正方形 EFGH 的内切圆 如图所示 设正方体的棱长为 则a 2 a OJr 2 与正方体各棱相切的球 截面图为正方形 EFGH 的外接圆 则 2 2 GORa C B A D S O E A1 1 F E G H OJ C C1 AB D D1 B1 用心 爱心 专心5 3 正方体的外接球 截面图正方形 ACA1C1的外接圆 则 1 3 2 AORa 2 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等 则可以补形为一个长方体 它的外接球的 球心就是三棱锥的外接球的球心 L 为长方体的体对角线长 2222 44 abcl R 5 各面均为直角三角形三棱锥与球 如右图 SA面 ABC ABBC 则可推出 SBBC 即此三棱锥的四个面全是直角三角形 取 SC 的中点为 O 由直角三角形的性质可得 OA OS 0B OC 所以 O 点为三棱锥的外接球的 球心 2 SC R 方法技巧提炼方法技巧提炼 B C C1 A1 A D1 E E1 D D O B1 C B A S O 用心 爱心 专心6 如图 球是正三棱锥的内切球 到正三棱锥四个面的距离都是球的半OABCP O 径 R 是正三棱锥的高 即 是边中点 在上 的边长为 PH1 PHEBCHAEABC 62 262 6 3 HE3 PE 可以得到 23 2 1 PEBCSSS PBCPACPAB 36 62 4 3 2 ABC S 由等体积法 ABCOPBCOPACOPABOABCP VVVVV RR 36 3 1 323 3 1 136 3 1 用心 爱心 专心7 得 26 332 32 R 625 8 26 44 22 RS球 33 26 3 4 3 4 RV球 cos2 cos2 cos2 2 3 3 正棱锥 正棱锥 如果一个棱锥的底面是正多边形 且顶点在底面的射影是底面的中心 这样 的棱锥叫正棱锥 正棱锥的各侧棱相等 各侧面都是全等的等腰三角形 各等腰三角形底边上的高 叫侧 高 也相等 正棱锥的高 斜高 斜高在底面的射影 底面的内切圆的h h 半径 侧棱 侧棱在底面的射影 底面的外接圆的半径 rR 底面的半边长可组成四个直角三角形 若正棱锥的侧面与底面所成的角为 则 cosSS 侧底 4 4 正四面体 正四面体 侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体 设正四面体的棱长为 则高为 斜高为 对棱间a 6 3 a 3 2 a 的距离为 体积为 侧棱与底面所成的角为 2 2 a 3 2 12 a 侧面和底面所成的角为 6 arcsin 3 2 2 arcsin 3 正四面体与其截面 如图所示点 E 为 PA 的中点 连接 EB 和 EC 点 F 为 BC 中点 连接 EF 则截面 EBC PA EBC 面PAB EBC 面 PAC EF 为相对棱 的公垂线 其长度为相对棱的距离 正四面体可补形为正方体 如图所示 四面体 B ACD 即为正四面体 各个 P A B C E D F C A DV B 用心 爱心 专心8 棱为正方体的面对角线 正方体的棱长是正四面体棱长的 利用这个补形为解题带来很 2 2 大的方便 考场经验分享考场经验分享 和空间想象能力 尤其是与球相关的内切与外接问题 具有一定的规律和常用的结论 故 总结常用的类型 形成解题的套路和模式 新题预测演练新题预测演练 1 唐山市 2011 2012 学年度高三年级第一学期期末考试 一个几何体的三视图如图所示 其中正视图是一个正三角形 则这个几何体的外接球的表 面积为 A B 2 3 8 3 C D 4 3 16 3 答案 B 解析 根据三视图还原几何体为一个三棱锥 其中面 ADCABC 面 E 为 AC 的中点 则有 DEAC DEABCDEEB 面 22 132 AEECEBDEADAEDEDCDB 设其外接球的球心为 O 则它落在高线 DE 上 2 2 ABBCAC 则有 2222 1 3 AOAEOEOEAODODEOEOE 解得 故球的半径为故答案为 B 2 3 AO 2 2216 3 4 333 S A B C D E O 用心 爱心 专心9 2 唐山市 2011 2012 学年度高三年级第一次模拟考试 3 2012 年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测 在三棱锥 A BCD 中 AB CD 6 AC BD AD BC 5 则该三棱锥的外接球的表面积为 答案 43 5 2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测 二 用心 爱心 专心10 6 北京市朝阳区 2011 2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试 已知正方形的边长为 将沿对角线折起 使平面平面ABCD2 2ABC ACABC 得到如图所示的三棱锥 若为边的中点 分别为线段ACDBACD OACMN 上的动点 不包括端点 且 设 则三棱锥的体DCBOBNCM BNx NAMC 积的函数图象大致是 yf x A B C D 答案 B 解析 由平面平面 为边的中点可知平面 易知ABC ACDOACBO ACD 2BO 故三棱锥的高为的面积为NAMC 2 ONxAMC 1 sin452 2 MC ACx A A D A B A N A M A O A C A 用心 爱心 专心11 8 河北省石家庄市 2012 届高三上学期教学质量检测 一 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直 且 则该三棱锥的外接SABC 2 4SASBSC 球的半径为 A 3 B 6 C 36 D 9 答案 A 解析 以为棱构造长方体 则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球 则 SA SB SC 2 222 224436 3rr 9 河南省南阳市 2012 届高中三年级期终质量评估 用心 爱心 专心12 A 2 B 6 C 4 6 D 24 所以VS ABC VS ABD VC ABD S ABD SC 1 3 由于在直角三角形 SAC中 ASC 30 SC 4 所以AC 2 SA 2 由于 3 用心 爱心 专心13 AD 同理在直角三角形 BSC中也有BD SA CA SC3 SB CB SC3 又AB 所以 ABD为正三角形 3 所以VS ABC S ABD SC 2 sin60