关注三角形的外角

1 第六章第六章 证明 一 证明 一 6 6 关注三角形的外角 关注三角形的外角 银川十八中郭国平银川十八中郭国平 一 学生知识状况分析一 学生知识状况分析 学生技能基础 学生技能基础 学生在前面的几何学习中 已经学习过平行线的判定定理与平行线的 性质定理以及它们的严格证明 学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用 有相 关知识的基础 并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯 为今天的学习奠定了良 好的基础 活动经验基础 活动经验基础 本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流相 结合 实践和理性证明相结合的学习方式 学生具有较熟悉的活动经验 二 教学任务分析二 教学任务分析 在前面的学习中 学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已 经有了深入的了解 为今天的学习奠定了知识基础 并且他们已经具有初步的几何意 识 形成了一定的逻辑思维能力和推理能力 本节课安排 关注三角形的外角 旨在 利用已经学习过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题 为此 本 节课的教学目标是 知识与技能目标 知识与技能目标 1 掌握三角形外角的两条性质 2 进一步熟悉和掌握证明的步骤 格式 方法 技巧 3 灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题 数学能力目标 数学能力目标 进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力 培养学生的几何意识 情感与态度目标 情感与态度目标 通过在数学活动中进行教学 使学生能自主地 做数学 特别是培 养有条理的想象和探索能力 从而做到强化基础 激发学习兴趣 三 教学过程分析三 教学过程分析 本节课的设计分为四个环节 情境引入 探索新知 反馈练习 课堂反思 与小结 2 第一环节 情境引入第一环节 情境引入 活动内容 活动内容 在证明三角形内角和定理时 用到了把 ABC 的一边 BC 延长得到 ACD 这个角叫 做什么角呢 下面我们就给这种角命名 并且来研究它的性质 活动目的活动目的 引出三角形外角的概念 并对其进行研究 激发学生学习兴趣 注意事项 注意事项 教师应在学生充分展示自己的意见之后 有意识地引导学生从三角形的外角的角度进 行思考 第二环节 探索新知第二环节 探索新知 活动内容 活动内容 三角形的外角定义 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角 叫做三角形的外 角 结合图形指明外角的特征有三 1 顶点在三角形的一个顶点上 2 一条边是三角形的一边 3 另一条边是三角形某条边的延长线 两个推论及其应用 由学生探讨三角形外角的性质 问题 1 如图 ABC 中 A 70 B 60 ACD 是 ABC 的一个外角 能由 A B 求出 ACD 吗 如果能 ACD 与 A B 有什么关系 问题 2 任意一个 ABC 的一个外角 ACD 与 A B 的大小会有什么关系呢 3 由学生归纳得出 推论 1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的 和 推论 2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内 角 例 1 已知 BAF CBD ACE 是 ABC 的三个外角 求证 BAF CBD ACE 360 分析 把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证 证明 略 例 2 已知 D 是 AB 上一点 E 是 AC 上一点 BE CD 相交于 F A 62 ACD 35 ABE 20 求 1 BDC 度数 2 BFD 度数 解 略 活动目的 活动目的 通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论 引导学生从内和外 相等和 不等的不同角度对三角形作更全面的思考 注意事项 注意事项 新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上 教师切勿越俎代庖 第三环节 课堂练习第三环节 课堂练习 活动内容 活动内容 已知 如图 在三角形 ABC 中 AD 平分外角 EAC B C 求证 AD BC 分析 要证明 AD BC 只需证明 同位角相等 即需证明 DAE B 证明 EAC B C 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 B C 已知 4 B EAC 等式的性质 2 1 AD 平分 EAC 已知 DAE EAC 角平分线的定义 2 1 DAE B 等量代换 AD BC 同位角相等 两直线平行 想一想 还有没有其他的证明方法呢 这个题还可以用 内错角相等 两直线平行 来证 证明 EAC B C 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 B C 已知 C EAC 等式的性质 2 1 AD 平分 EAC 已知 DAC EAC 角平分线的定义 2 1 DAC C 等量代换 AD BC 内错角相等 两直线平行 还可以用 同旁内角互补 两直线平行 来证 证明 EAC B C 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 B C 已知 C EAC 等式的性质 2 1 AD 平分 EAC 已知 DAC EAC 2 1 DAC C 等量代换 B BAC C 180 B BAC DAC 180 即 B DAB 180 B A C D E 5 AD BC 同旁内角互补 两直线平行 已知 如图 在三角形 ABC 中 1 是它的一个外角 E 为 边 AC 上一点 延长 BC 到 D 连接 DE 求证 1 2 证明 1 是 ABC 的一个外角 已知 1 ACB 三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角 ACB 是 CDE 的一个外角 已知 ACB 2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 1 2 不等式的性质 如图 求证 1 BDC A 2 BDC B C A 如果点 D 在线段 BC 的另一侧 结论会怎样 分析 通过学生的探索活动 使学生进一步了解辅助线的作法及重要性 理解 掌握三角形的内角和定理及推论 证法一 1 连接 AD 并延长 AD 如图 则 1 是 ABD 的一个外角 2 是 ACD 的一个外角 1 3 A B C D E 1 F 2 6 2 4 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 1 2 3 4 不等式的性质 即 BDC BAC 2 连结 AD 并延长 AD 如图 则 1 是 ABD 的一个外角 2 是 ACD 的一个外角 1 3 B 2 4 C 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 1 2 3 4 B C 等式的性质 即 BDC B C BAC 证法二 1 延长 BD 交 AC 于 E 或延长 CD 交 AB 于 E 如图 则 BDC 是 CDE 的一个外角 BDC DEC 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 DEC 是 ABE 的一个外角 已作 DEC A 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 BDC A 不等式的性质 2 延长 BD 交 AC 于 E 则 BDC 是 DCE 的一个外角 BDC C DEC 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 DEC 是 ABE 的一个外角 DEC A B 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 BDC B C BAC 等量代换 活动目的 活动目的 让学生接触各种类型的几何证明题 提高逻辑推理能力 培养学生的证明思路 特别 7 是不等关系的证明题 因为学生接触较少 因此更需要加强练习 注意事项 注意事项 学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生 因此有必要在证明第 2 小题中 要 引导学生找到一个过渡角 ACB 由 1 ACB ACB 2 再由不等关系的传递 性得出 1 2 第四环节 课堂反思与小结第四环节 课堂反思与小结 活动内容 活动内容 由学生自行归纳本节课所学知识 推论 1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论 2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 活动目的 活动目的 复习巩固所学知识 理清思路 培养学生的归纳概括能力 注意事项 注意事项 学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解 课后练习 课本第 244 页的随堂练习第 1 题 习题 6 7 题第 1 2 3 题 思考题 课本 245 页第 4 题 给学有余力的同学做 四 教学反思四 教学反思 教学中 帮助学生找三角形的外角是难点 特别是当一个角是某个三角形的内角 同时又是另一个三角形的外角时 困难就更大 解