竖直方向上的弹簧振子

竖直方向上的弹簧振子竖直方向上的弹簧振子 周峰 1 竖直方向上的简谐运动模型 由简谐运动的定义可知 要证明物体做简谐运动可从两方面入手 回复力大小跟物体偏离 平衡位置的位移成正比 回复力方向总指向平衡位置 下面就来证明竖直方向上的弹簧振 子做简谐运动 如图 1 把一个质量为 m 的有孔小球系在劲度系数为 k 的轻弹簧的上端 弹簧的下端固定 小球穿在光滑的竖直杆上 可以在竖直杆上滑动 小球静止在 O 点时 回复力为零 O 点是振动的平衡位置 此时弹簧处于压缩状态 设压 缩量为 则有 把小球拉到平衡位置上方 M 点 偏离平衡位置 O 点的位移为 A 然后释放 则在振动过程 的任意位置 以图中的 P 点和 Q 点为例 设偏离平衡位置的位移分别为和 进行受力 分析 根据牛顿第二定律分别有 在 P 点 若弹簧被拉伸 回复力的大小 若弹簧仍处于压缩状态 回复力的大小 在 Q 点 弹簧处于压缩状态 回复力大小 在此过程中 回复力 F 的方向始终指向平衡位置 因此 竖直方向的弹簧振子做的是简谐 运动 图 2 与图 1 中的情况基本相同 同学们可自行分析 2 与水平方向弹簧振子的比较 分析竖直方向的弹簧振子 要透彻理解平衡位置 振幅 回复力等重要概念 还要准确运 用简谐运动中一些物理量的对称性特点 合理地进行类比 推理 另外 分析弹簧模型的 受力 能量及临界条件也是必不可少的 例 1 一轻弹簧直立在地面上 其劲度系数为 弹簧的上端与盒子 A 连接在 一起 盒子内装物体 B B 的上下表面恰好与盒子接触 A 和 B 的质量 g 10m s2 不计空气阻力 先将 A 向上抬高使弹簧伸长 5cm 后从静止释放 A 和 B 一起上 下运动 已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小 试求 1 A 的振幅 2 B 的最大速率 3 在最高点和最低点 A 与 B 之间的作用力 分析 1 设 A 和 B 做简谐运动的平衡位置为弹簧的压缩量为时的位置 则 得 故 A 的振幅为 10cm 2 当 B 运动到平衡位置时速率最大 在 A 和 B 运动的初始位置和平衡位置 弹簧的伸长 量与压缩量相等 故弹性势能不变 由动能定理得 所以 3 设 A B 一起运动的最大加速度大小为 a 最高点和最低点 由于牛顿第二定律得 得 取 B 为研究对象 在最高点时有 故 A 对 B 的作用力 方向向下 在最低点时有 故 A 对 B 的作用力 方向向上 例 2 如图 3 所示 质量分别为和的 A B 两物块 用劲度系数为 k 的轻弹簧相连后竖直放在水平面上 今用大小为 F 45N 的力把物块 A 向下压 使之处于静 止 突然撤去压力 则 A 物块 B 有可能离开水平面 B 物块 B 不可能离开水平面 C 只要 k 足够小 物块 B 就可能离开水平面 D 只要 k 足够大 物块 B 就可能离开水平面 分析 撤去压力后 物体 A 在竖直方向上做简谐运动 初始位置的回复力最大 为 F 45N 由回复力的对称性特点 当 A 运动到最高点时 回复力也为 45N 方向向下 设此 时弹簧弹力为 有 因为 故物体 B 不可能离开水平面 选 B 例 3 如图 4 所示 弹簧上端固定在 O 点 下端挂一木匣 A 木匣 A 顶部悬挂一木块 B A 和 B 的质量都是 1kg B 距木匣底面 当它们都静止时 弹簧长度为 L 某时刻 悬挂木块 B 的细线突然断开 在木匣上升到速度刚好为零时 B 和 A 的底面相碰 碰撞后 结为一体 当运动到弹簧长度又为 L 时 速度变为 v 1m s 木块 B 可看成质点 求 1 碰撞中的动能损失 2 弹簧的劲度系数 k 3 开始静止时弹簧的弹性势能 分析 1 悬挂木块 B 的细线断开时和弹簧长度又为 L 时弹簧的弹性势能相等 故系统机 械能损失为 碰撞中动能的损失等于系统机械能的损失 即 2 细线断开后 木匣 A 在竖直方向上做简谐运动 到达最高点时弹簧恰好恢复原长 设 开始弹簧的伸长量为 碰撞前 B 的速度为 碰撞后共同速度为 则有 3 细线断开后 A 做简谐运动到最高点时和 B 碰撞 碰撞时弹簧为原长 由机械能守恒 得 练习 如图 5 所示 质量为 m 的物体放在下端固定的弹簧上端 在竖直方向上做简谐运动 当其振幅