等差数列基础习题(附详细答案)

1 等差数列基础习题精选等差数列基础习题精选 一 选择题 共一 选择题 共 26 小题 小题 1 已知等差数列 an 中 a3 9 a9 3 则公差 d 的值为 A B 1C D 1 2 已知数列 an 的通项公式是 an 2n 5 则此数列是 A 以 7 为首项 公差为 2 的等差数列B 以 7 为首项 公差为 5 的等差数列 C 以 5 为首项 公差为 2 的等差数列D 不是等差数列 3 在等差数列 an 中 a1 13 a3 12 若 an 2 则 n 等于 A 23B 24C 25D 26 4 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S3 6 a4 8 则公差 d A 一 1B 2C 3D 一 2 5 两个数 1 与 5 的等差中项是 A 1B 3C 2D 6 一个首项为 23 公差为整数的等差数列 如果前六项均为正数 第七项起为负数 则它的公差是 A 2 B 3 C 4 D 5 7 2012 福建 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 则数列 an 的公差为 A 1B 2C 3D 4 8 数列的首项为 3 为等差数列且 若 则 A 0B 8C 3D 11 9 已知两个等差数列 5 8 11 和 3 7 11 都有 100 项 则它们的公共项的个数为 A 25B 24C 20D 19 2 2 10 设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 若满足 an an 1 2 n 2 且 S3 9 则 a1 A 5B 3C 1 D 1 11 2005 黑龙江 如果数列 an 是等差数列 则 A a1 a8 a4 a5B a1 a8 a4 a5C a1 a8 a4 a5D a1a8 a4a5 12 2004 福建 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 若 A 1B 1 C 2D 13 2009 安徽 已知 an 为等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 则 a20等于 A 1 B 1C 3D 7 14 在等差数列 an 中 a2 4 a6 12 那么数列 的前 n 项和等于 A B C D 15 已知 Sn为等差数列 an 的前 n 项的和 a2 a5 4 S7 21 则 a7的值为 A 6B 7C 8D 9 16 已知数列 an 为等差数列 a1 a3 a5 15 a4 7 则 s6的值为 A 30B 35C 36D 24 17 2012 营口 等差数列 an 的公差 d 0 且 则数列 an 的前 n 项和 Sn取得最大值时的 项数 n 是 A 5B 6C 5 或 6D 6 或 7 18 2012 辽宁 在等差数列 an 中 已知 a4 a8 16 则该数列前 11 项和 S11 A 58B 88C 143D 176 3 3 19 已知数列 an 等差数列 且 a1 a3 a5 a7 a9 10 a2 a4 a6 a8 a10 20 则 a4 A 1 B 0C 1D 2 20 理 已知数列 an 的前 n 项和 Sn n2 8n 第 k 项满足 4 ak 7 则 k A 6B 7C 8D 9 21 数列 an的前 n 项和为 Sn 若 Sn 2n2 17n 则当 Sn取得最小值时 n 的值为 A 4 或 5B 5 或 6C 4D 5 22 等差数列 an 中 an 2n 4 则 S4等于 A 12B 10C 8D 4 23 若 an 为等差数列 a3 4 a8 19 则数列 an 的前 10 项和为 A 230B 140C 115D 95 24 等差数列 an 中 a3 a8 5 则前 10 项和 S10 A 5B 25C 50D 100 25 设 Sn是公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和 且 S1 S2 S4成等比数列 则等于 A 1B 2C 3D 4 26 设 an 2n 21 则数列 an 从首项到第几项的和最大 A 第 10 项B 第 11 项C 第 10 项或 11 项D 第 12 项 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 小题 27 如果数列 an 满足 28 如果 f n 1 f n 1 n 1 2 3 且 f 1 2 则 f 100 4 4 29 等差数列 an 的前 n 项的和 则数列 an 的前 10 项之和为 30 已知 an 是一个公差大于 0 的等差数列 且满足 a3a6 55 a2 a7 16 求数列 an 的通项公式 若数列 an 和数列 bn 满足等式 an n 为正整数 求数列 bn 的前 n 项 和 Sn 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 26 小题 小题 1 已知等差数列 an 中 a3 9 a9 3 则公差 d 的值为 A B 1C D 1 考点 等差数列 专题 计算题 分析 本题可由题意 构造方程组 解出该方程组即可得到答案 解答 解 等差数列 an 中 a3 9 a9 3 5 5 由等差数列的通项公式 可得 解得 即等差数列的公差 d 1 故选 D 点评 本题为等差数列的基本运算 只需构造方程组即可解决 数基础题 2 已知数列 an 的通项公式是 an 2n 5 则此数列是 A 以 7 为首项 公差为 2 的等差数列B 以 7 为首项 公差为 5 的等差数列 C 以 5 为首项 公差为 2 的等差数列D 不是等差数列 考点 等差数列 专题 计算题 分析 直接根据数列 an 的通项公式是 an 2n 5 求出首项 再把相邻两项作差求出公差即可得出结论 解答 解 因为 an 2n 5 所以 a1 2 1 5 7 an 1 an 2 n 1 5 2n 5 2 故此数列是以 7 为首项 公差为 2 的等差数列 故选 A 点评 本题主要考查等差数列的通项公式的应用 如果已知数列的通项公式 可以求出数列中的任意一项 3 在等差数列 an 中 a1 13 a3 12 若 an 2 则 n 等于 A 23B 24C 25D 26 考点 等差数列 专题 综合题 分析 根据 a1 13 a3 12 利用等差数列的通项公式求得 d 的值 然后根据首项和公差写出数列的通项公式 让 其等于 2 得到关于 n 的方程 求出方程的解即可得到 n 的值 解答 解 由题意得 a3 a1 2d 12 把 a1 13 代入求得 d 则 an 13 n 1 n 2 解得 n 23 故选 A 点评 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值 是一道基础题 4 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S3 6 a4 8 则公差 d A 一 1B 2C 3D 一 2 6 6 考点 等差数列 专题 计算题 分析 根据等差数列的前三项之和是 6 得到这个数列的第二项是 2 这样已知等差数列的 两项 根据等差数 列的通项公式 得到数列的公差 解答 解 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn S3 6 a2 2 a4 8 8 2 2d d 3 故选 C 点评 本题考查等差数列的通项 这是一个基础题 解题时注意应用数列的性质 即前三项的和等于第二项的三 倍 这样可以简化题目的运算 5 两个数 1 与 5 的等差中项是 A 1B 3C 2D 考点 等差数列 专题 计算题 分析 由于 a b 的等差中项为 由此可求出 1 与 5 的等差中项 解答 解 1 与 5 的等差中项为 3 故选 B 点评 本题考查两个数的等差中项 牢记公式 a b 的等差中项为 是解题的关键 属基础题 6 一个首项为 23 公差为整数的等差数列 如果前六项均为正数 第七项起为负数 则它的公差是 A 2 B 3 C 4 D 5 考点 等差数列 专题 计算题 分析 设等差数列 an 的公差为 d 因为数列前六项均为正数 第七项起为负数 所以 结合 公差为整数进而求出数列的公差 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d 所以 a6 23 5d a7 23 6d 又因为数列前六项均为正数 第七项起为负数 所以 7 7 因为数列是公差为整数的等差数列 所以 d 4 故选 C 点评 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式 并且结合正确的运算 7 2012 福建 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 则数列 an 的公差为 A 1B 2C 3D 4 考点 等差数列的通项公式 专题 计算题 分析 设数列 an 的公差为 d 则由题意可得 2a1 4d 10 a1 3d 7 由此解得 d 的值 解答 解 设数列 an 的公差为 d 则由 a1 a5 10 a4 7 可得 2a1 4d 10 a1 3d 7 解得 d 2 故选 B 点评 本题主要考查等差数列的通项公式的应用 属于基础题 8 数列的首项为 3 为等差数列且 若 则 A 0B 8C 3D 11 考点 等差数列的通项公式 专题 计算题 分析 先确定等差数列的通项 再利用 我们可以求得的值 解答 解 为等差数列 bn b3 n 3 2 2n 8 b8 a8 a1 数列的首项为 3 2 8 8 a8 3 a8 11 8 8 故选 D 点评 本题考查等差数列的通项公式的应用 由等差数列的任意两项 我们可以求出数列的通项 是基础题 9 已知两个等差数列 5 8 11 和 3 7 11 都有 100 项 则它们的公共项的个数为 A 25B 24C 20D 19 考点 等差数列的通项公式 专题 计算题 分析 法一 根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列 且公差为原来两个公差的 最小公倍数求解 法二 由条件可知两个等差数列的通项公式 可用不定方程的求解方法来求解 解答 解法一 设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为 an 则 a1 11 数列 5 8 11 与 3 7 11 公差分别为 3 与 4 an 的公差 d 3 4 12 an 11 12 n 1 12n 1 又 5 8 11 与 3 7 11 的第 100 项分别是 302 与 399 an 12n 1 302 即 n 25 5 又 n N 两个数列有 25 个相同的项 故选 A 解法二 设 5 8 11 与 3 7 11 分别为 an 与 bn 则 an 3n 2 bn 4n 1 设 an 中的第 n 项与 bn 中的第 m 项相同 即 3n 2 4m 1 n m 1 又 m n N 可设 m 3r r N 得 n 4r 1 根据题意得 1 3r 100 1 4r 1 100 解得 r r N 从而有 25 个相同的项 故选 A 点评 解法一利用了等差数列的性质 解法二利用了不定方程的求解方法 对学生的运算能力及逻辑思维能力的 要求较高 10 设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 若满足 an an 1 2 n 2 且 S3 9 则 a1 A 5B 3C 1 D 1 考点 等差数列的通项公式 9 9 专题 计算题 分析 根据递推公式求出公差为 2 再由 S3 9 以及前 n 项和公式求出 a1的值 解答 解 an an 1 2 n 2 an an 1 2 n 2 等差数列 an 的公差是 2 由 S3 3a1 9 解得 a1 1 故选 D 点评 本题考查了等差数列的定义 以及前 n 项和公式的应用 即根据代入公式进行求解 11 2005 黑龙江 如果数列 an 是等差数列 则 A a1 a8 a4 a5B a1 a8 a4 a5C a1 a8 a4 a5D a1a8 a4a5 考点 等差数列的性质 分析 用通项公式来寻求 a1 a8 与a4 a5的关系 解答 解 a1 a8 a4 a5 2a1 7d 2a1 7d 0 a1 a8 a4 a5 故选 B 点评 本题主要考查等差数列通项公式 来证明等差数列的性质 12 2004 福建 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 若 A 1B 1 C 2D 考点 等差数列的性质 专题 计算题 分析 充分利用等差数列前 n 项和与某些特殊项之间的关系解题 解答 解 设等差数列 an 的首项为 a1 由等差数列的性质可得 a1 a9 2a5 a1 a5 2a3 1 故选 A 点评 本题主要考查等差数列的性质 等差数列的前 n 项和公式以及等差中项的综合应用 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 则有如下关系 S2n 1 2n 1 an 13 2009 安徽 已知 an 为等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 则 a20等于 10 10 A 1 B 1C 3D 7 考点 等差数列的性质 专题 计算题 分析 根据已知条件和等差中项的性质可分别求得 a3和 a4的值 进而求得数列的公差 最后利用等差数列的通 项公式求得答案 解答 解 由已知得 a1 a3 a5 3a3 105 a2 a4 a6 3a4 99 a3 35 a4 33 d a4 a3 2 a20 a3 17d 35 2 17 1 故选 B 点评 本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用 解题的关键是利用等差数列中等差中项的 性质求得 a3和 a4 14 在等差数列 an 中 a2 4 a6 12 那么数列 的前 n 项和等于 A B C D 考点 数列的求和 等差数列的性质 专题 计算题 分析 求出等差数列的通项 要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列 利用错位相减法求出数 列的前 n 项的和 解答 解 等差数列 an 中 a2 4 a6 12 公差 d an a2 n 2 2 2n 的前 n 项和 11 11 两式相减得 故选 B 点评 求数列的前 n 项的和 先判断通项的特点 据通项的特点选择合适的求和方法 15 已知 Sn为等差数列 an 的前 n 项的和 a2 a5 4 S7 21 则 a7的值为 A 6B 7C 8D 9 考点 等差数列的性质 专题 计算题 分析 由 a2 a5 4 S7 21 根据等差数列的性质可得 a3 a4 a1 a6 4 根据等差数列的前 n 项和公式可得 联立可求 d a1 代入等差数列的通项公式可求 解答 解 等差数列 an 中 a2 a5 4 S7 21 根据等差数列的性质可得 a3 a4 a1 a6 4 根据等差数列的前 n 项和公式可得 所以 a1 a7 6 可得 d 2 a1 3 所以 a7 9 故选 D 点评 本题主要考查了等差数列的前 n 项和公式及等差数列的性质的综合应用 属于基础试题 16 已知数列 an 为等差数列 a1 a3 a5 15 a4 7 则 s6的值为 A 30B 35C 36D 24 考点 等差数列的性质 专题 计算题 分析 利用等差中项的性质求得 a3的值 进而利用 a1 a6 a3 a4求得 a1 a6的值 代入等差数列的求和公式中求 得答案 解答 解 a1 a3 a5 3a3 15 a3 5 a1 a6 a3 a4 12 12 12 s6 6 36 故选 C 点评 本题主要考查了等差数列的性质 特别是等差中项的性质 17 2012 营口 等差数列 an 的公差 d 0 且 则数列 an 的前 n 项和 Sn取得最大值时的 项数 n 是 A 5B 6C 5 或 6D 6 或 7 考点 等差数列的前 n 项和 等差数列的通项公式 专题 计算题 分析 由 知 a1 a11 0 由此能求出数列 an 的前 n 项和 Sn取得最大值时的项数 n 解答 解 由 知 a1 a11 0 a6 0 故选 C 点评 本题主要考查等差数列的性质 求和公式 要求学生能够运用性质简化计算 18 2012 辽宁 在等差数列 an 中 已知 a4 a8 16 则该数列前 11 项和 S11 A 58B 88C 143D 176 考点 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 专题 计算题 分析 根据等差数列的定义和性质得 a1 a11 a4 a8 16 再由 S11 运算求得结果 解答 解 在等差数列 an 中 已知 a4 a8 16 a1 a11 a4 a8 16 S11 88 故选 B 点评 本题主要考查等差数列的定义和性质 等差数列的前 n 项和公式的应用 属于中档题 19 已知数列 an 等差数列 且 a1 a3 a5 a7 a9 10 a2 a4 a6 a8 a10 20 则 a4 A 1 B 0C 1D 2 考点 等差数列的通项公式 等差数列的前 n 项和 专题 计算题 13 13 分析 由等差数列得性质可得 5a5 10 即 a5 2 同理可得 5a6 20 a6 4 再由等差中项可知 a4 2a5 a6 0 解答 解 由等差数列得性质可得 a1 a9 a3 a7 2a5 又 a1 a3 a5 a7 a9 10 故 5a5 10 即 a5 2 同理可得 5a6 20 a6 4 再由等差中项可知 a4 2a5 a6 0 故选 B 点评 本题考查等差数列的性质及等差中项 熟练利用性质是解决问题的关键 属基础题 20 理 已知数列 an 的前 n 项和 Sn n2 8n 第 k 项满足 4 ak 7 则 k A 6B 7C 8D 9 考点 等差数列的通项公式 等差数列的前 n 项和 专题 计算题 分析 先利用公式 an 求出 an 再由第 k 项满足 4 ak 7 建立不等式 求出 k 的值 解答 解 an n 1 时适合 an 2n 9 an 2n 9 4 ak 7 4 2k 9 7 k 8 又 k N k 7 故选 B 点评 本题考查数列的通项公式的求法 解题时要注意公式 an 的合理运用 属于基础 题 21 数列 an的前 n 项和为 Sn 若 Sn 2n2 17n 则当 Sn取得最小值时 n 的值为 A 4 或 5B 5 或 6C 4D 5 考点 等差数列的前 n 项和 专题 计算题 14 14 分析 把数列的前 n 项的和 Sn看作是关于 n 的二次函数 把关系式配方后 又根据 n 为正整数 即可得到 Sn取 得最小值时 n 的值 解答 解 因为 Sn 2n2 17n 2 又 n 为正整数 所以当 n 4 时 Sn取得最小值 故选 C 点评 此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力 是一道基础题 22 等差数列 an 中 an 2n 4 则 S4等于 A 12B 10C 8D 4 考点 等差数列的前 n 项和 专题 计算题 分析 利用等差数列 an 中 an 2n 4 先求出 a1 d 再由等差数列的前 n 项和公式求 S4 解答 解 等差数列 an 中 an 2n 4 a1 2 4 2 a2 4 4 0 d 0 2 2 S4 4a1 4 2 4 3 4 故选 D 点评 本题考查等差数列的前 n 项和公式的应用 是基础题 解题时要认真审题 注意先由通项公式求出首项和 公差 再求前四项和 23 若 an 为等差数列 a3 4 a8 19 则数列 an 的前 10 项和为 A 230B 140C 115D 95 考点 等差数列的前 n 项和 专题 综合题 分析 分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式 得到 和 联立即可求出首项和公差 然后利用 求出的首项和公差 根据公差数列的前 n 项和的公式即可求出数列前 10 项的和 解答 解 a3 a1 2d 4 a8 a1 7d 19 15 15 得 5d 15 解得 d 3 把 d 3 代入 求得 a1 2 所以 S10 10 2 3 115 故选 C 点评 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值 是一道基础题 24 等差数列 an 中 a3 a8 5 则前 10 项和 S10 A 5B 25C 50D 100 考点 等差数列的前 n 项和 等差数列的性质 专题 计算题 分析 根据条件并利用等差数列的定义和性质可得 a1 a10 5 代入前 10 项和 S10 运算求得 结果 解答 解 等差数列 an 中 a3 a8 5 a1 a10 5 前 10 项和 S10 25 故选 B 点评 本题主要考查等差数列的定义和性质 以及前 n 项和公式的应用 求得 a1 a10 5 是解题的关键 属于基 础题 25 设 Sn是公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和 且 S1 S2 S4成等比数列 则等于 A 1B 2C 3D 4 考点 等差数列的前 n 项和 专题 计算题 分析 由 S1 S2 S4成等比数列 根据等比数列的性质得到 S2 2 S1S4 然后利用等差数列的前 n 项和的公式分别 表示出各项后 代入即可得到首项和公差的关系式 根据公差不为 0 即可求出公差与首项的关系并解出 公差 d 然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后 把公差 d 的关系式代入即可求出比值 解答 解 由 S1 S2 S4成等比数列 2a1 d 2 a1 4a1 6d d 0 d 2a1 16 16 3 故选 C 点评 此题考查学生掌握等比数列的性质 灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值 是一道综 合题 26 设 an 2n 21 则数列 an 从首项到第几项的和最大 A 第 10 项B 第 11 项C 第 10 项或 11 项D 第 12 项 考点 等差数列的前 n 项和 二次函数的性质 专题 转化思想 分析 方法一 由 an 令 n 1 求出数列的首项 利用 an an 1等于一个常数 得到此数列为等差数列 然后根据求 出的首项和公差写出等差数列的前 n 项和的公式 得到前 n 项的和与 n 成二次函数关系 其图象为开口向 下的抛物线 当 n 时 前 n 项的和有最大值 即可得到正确答案 方法二 令 an大于等于 0 列出关于 n 的不等式 求出不等式的解集即可得到 n 的范围 在 n 的范围中找 出最大的正整数解 从这项以后的各项都为负数 即可得到正确答案 解答 解 方法一 由 an 2n 21 得到首项 a1 2 21 19 an 1 2 n 1 21 2n 23 则 an an 1 2n 21 2n 23 2 n 1 n N 所以此数列是首项为 19 公差为 2 的等差数列 则 Sn 19n 2 n2 20n 为开口向下的抛物线 当 n 10 时 Sn最大 所以数列 an 从首项到第 10 项和最大 方法二 令 an 2n 21 0 解得 n 因为 n 取正整数 所以 n 的最大值为 10 所以此数列从首项到第 10 项的和都为正数 从第 11 项开始为负数 则数列 an 从首项到第 10 项的和最大 故选 A 点评 此题的思路可以先确定此数列为等差数列 根据等差数列的前 n 项和的公式及二次函数求最值的方法得到 n 的值 也可以直接令 an 0 求出解集中的最大正整数解 要求学生一题多解 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 小题 17 17 27 如果数列 an 满足 考点 数列递推式 等差数列的通项公式 专题 计算题 分析 根据所给的数列的递推式 看出数列是一个等差数列 根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项 根据等差数列的通项公式写出数列 进一步得到结果 解答 解 根据所给的数列的递推式 数列 是一个公差是 5 的等差数列 a1 3 数列的通项是 故答案为 点评 本题看出数列的递推式和数列的通项公式 本题解题的关键是确定数列是一个等差数列 利用等差数列的 通项公式写出通项 本题是一个中档题目 28 如果 f n 1 f n 1 n 1 2 3 且 f 1 2 则 f 100 101 考点 数列递推式 等差数列的通项公式 专题 计算题 分析 由 f n 1 f n 1 x N f 1 2 依次令 n 1 2 3 总结规律得到 f n n 1 由此能够 求出 f 100 解答 解 f n 1 f n 1 x N f 1 2 f 2 f 1 1 2 1 3 f 3 f 2 1 3 1 4 f 4 f 3 1 4 1 5 f n n 1 f 100 100 1 101 故答案为 101 点评 本题考查数列的递推公式的应用 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答