1978-1999年高考数学试题全国卷.doc

中国大方题库网1978年试题 注意事项:1.理工科考生要求除作（一）-（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）-（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图.（三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AMMN于M点,BNMN于N点,CDAB于D点.求证:1)CD=CM=CN; 2)CD2=AMBN.（四）已知log189=a(a2),18b=5.求log3645.（五）（本题和第（六）题选作一题）已知ABC的三内角的大小成（六）已知、为锐角,且3sin2+2sin2=1,3sin2-2sin2=0.（七）（文科考生不要求作此题）已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.(1)m是什么数值时,y的极值是0?(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等. 1978年试题答案 （一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z).2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2r=a.3.解:lg(2+x)0,2+x1.x-1为所求的定义域.（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）（三）证明:1)连CA、CB,则ACB=90.ACM=ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）,ACD=ABC（同角的余角相等）,ACM=ACD.ACMADC.CM=CD.同理CN=CD.CD=CM=CN.2)CDAB,ACB=90,CD2=ADDB（比例中项定理）.由1),可知AM=AD,BN=BD,CD2=AMBN.（四）解法一:log189=a,18a=9.又18b=5,45=95=18a18b=18a+b,设log3645=x,则36x=45=18a+b,log1836x=log1818a+b但36=218=49,log18(218)=log18(229).即1+log182=2log182+log189=2log182+a.log182=1-a.以下解法同解法一.（五）解:A+B+C=180,又2B=A+C.3B=180,B=60,A+C=120.以下同证法一.（七）解:(1)用配方法得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线,方程中不当m=-1、0、1时,x,y之间的函数关系为分别作出它们的图象P1、P2、P3. 它们的顶点都在直线l1上. (3)设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线.与抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1方程联立求解.消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0.(x+m)2=1-a.因而当1-a0即a1时,直线l与抛物线相交,而1-a1时,直线l与抛物线不相交.即直线l与抛物线两交点横坐标为因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45.直线l被抛物线截出的线段等于而这与m无关.因此直线l被各抛物线截出的线段都相等._中国大方题库网中国大方题库网1983年试题(理工农医类)一、本题共5个小题,每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的.把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)两条异面直线,指的是(A)在空间内不相交的两条直线.(B)分别位于两个不同平面内的两条直线.(C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.(D)不在同一平面内的两条直线.【 】(A)两条相交直线.(B)两条平行直线.(C)两条重合直线.(D)一个点.【 】(3)三个数a,b,c不完全为零的充要条件是(A)a,b,c都不是零.(B)a,b,c中最多有一个是零.(C)a,b,c中只有一个是零.(D)a,b,c中至少有一个不是零.【 】【 】【 】(2)在极坐标系内,方程=5cos表示什么曲线?画出它的图形.(2)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要从小组内选出3名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法.四、计算行列式(要求结果最简):六、如图,在三棱锥SABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于NSC.求证SC垂直于截面MAB.八、已知数列an的首项a1=b(b0),它的前n项的和Sn=a1+a2+an(n1),并且S1,S2,Sn,是一个等比数列,其公比为p(p0且p1).(1)证明a2,a3,an,(即an从第2项起)是一个等比数列.九、(1)已知a,b为实数,并且eaba.(2)如果正实数a,b满足ab=ba,且a(n1).因为当n2时,Sn=a1+a2+an-1+an=Sn-1+an,所以an=Sn-Sn-1=bpn-1-bpn-2=bP n-2(p-1)(n2).因此a2,a3,an,是一个公比为p的等比数列.(2)解法一:当n2时,且由已知条件可知P20,所以f(x)在(0,1)内是增函数.同证法一,证得b1.因此a=b.因此a=b.中国大方题库网1984年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)数集X=(2n+1),n是整数与数集Y=(4k1),k是整数之间的关系是(C)X=Y(D)XY【 】(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么(A)F=0,G0,E0(B)E=0,F=0,G0(C)G=0,F=0,E0(D)G=0,E=0,F0【 】(A)一定是零(B)一定是偶数(C)是整数但不一定是偶数(D)不一定是整数【 】(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是(A)x(0,1(B)x(-1,0)【 】(A)是第一象限角(B)是第三象限角(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角(D)是第二象限角【 】二、只要求直接写出结果.(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).三、本题只要求画出图形.四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.六、(1)设p0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.九、附加题,不计入总分.如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为,直线PC与直线1984年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)x0,1-d0,即c0,d1;c0,1-d0,即c1.解法二:原对数方程有解的充要条件是:(1)x0,cx2+d=1.因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:(1)x0,(5)x1,这个不等式仅在以下两种情形下成立:c0,1-d0,即c0,d1; c0,1-d0,即c1.再由条件(1),(5)及(6),可知c1-d.六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.(1)解法一:因为p,q为实数,p0,z1,z2为虚数,所以(-2p)2-4qp20.由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的短轴长=2b=z1+z2=2p=2p,解法二:同解法一,得qp20.根据实系数一元二次方程的求根公式,得可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴.即这就是所求的轨迹方程.七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.a=6,b=8.如图,设ABC的内切圆圆心为O,切点分别为D,E,F,则如图建立坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上,所以0x4.于是S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72.解法二:同解法一,得ABC是直角三角形,且r=2.内切圆的参数方程为所以圆上动点P的坐标为(2+2cos,2+2sin).从而因为02,所以S最大值=80+8=88,S最小值=80-8=72.八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.(1)证明:先证明xn2(n=1,2,).用数学归纳法.由条件2及x1=知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式(xk-2)20成立,所以不等式xk+12也成立.从而不等式xn2对于所有的正整数n成立.数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:所以不等式xn2(n=1,2,)成立.也可以这样证:对所有正整数n有还可以这样证:由于对所有正整数n有(2)证法一:用数学归纳法.由条件x1=3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k1)时成立.当n=k+1时,由条件及xk2知证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知再由xk2及归纳假设可得x1x2xnxn+13.因此,由上面证明的结论及x1=可得若xn3,则由第(1)小题可知xn+1xn,从而有xn+13,则由第(1)小题可知x1x2xn3.由此式及上面证明的结论,可得九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解得中国大方题库网1985年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)如果正方体ABCD-ABCD的棱长为a,那么四面体A-ABD的体积是【 】(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要的条件【 】(A)y=x2(xR)(B)y=sinx(xR)(C)y=cos2x(xR)(D)y=esin2x(xR)【 】(4)极坐标方程=asin(a0)的图象是【 】(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有(A)96个(B)78个(C)72个(D)64个【 】二、只要求直接写出结果.(2)设a1,求arccosa+arccos(-a)的值.(3)求曲线y2=-16x+64的焦点.(5)设函数f(x)的定义域是0,1,求函数f(x2)的定义域.三、(1)解方程log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).四、如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45,P为面AC内的一点,Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上.又设PQ与平面BD所成的角为,CMQ=(090)线段PM的长为a.求线段PQ的长.五、设O为复平面的原点,Z1和Z2为复平面内的两个动点,并且满足:(2)OZ1Z2的面积为定值S.求OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.(1)证明不等式对所有的正整数n都成立.八、设a,b是两个实数,A=(x,y)x=n,y=na+b,n是整数,B=(x,y)x=,m,y=3m2+15,m是整数,C=(x,y)x2+y2144是平面XOY内的点集合.讨论是否存在a和b使得(2)(a,b)C同时成立.九、(附加题,不计入总分)已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于x0,2的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值.1985年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D;(2)A;(3)B;(4)C;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2);(3)(0,0);(4)64(或26);(5)-1,1(或x-1x1,或-1x1).三、本题考查对数方程、无理不等式的解法和分析问题的能力.(1)解法一:由原对数方程得因为log0.25a=-log4a,上式变成由此得到解这个方程,得到x1=0,x2=7.检验:把x=0代入原方程,左右两边都等于0;故x=0是原方程的根.但当x=7时,由于3-x0,1-xx2+2x+1,x24,即-2x2.但由条件x-1,因此-1x2也是原不等式的解.综合(i),(ii),得出原不等式的解集是四、本题考查三垂线定理、二面角、斜线与平面所成的角、解三角形、空间想象能力和综合运用知识的能力.解法一:自点P作平面BD的垂线,垂足为R,由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以R在MQ上,过R作BC的垂线,设垂足为N,则PNBC.(三垂线定理)因此PNR是所给二面角的平面角,所以PNR=45.由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以PQR=.在RtPNR中,NR=PRctg45,所以NR=PR.又已知00,以及sin2(因六、本题考查直线方程、两点间的距离公式、参数方程以及轨迹方程的求法.2.当a0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y),由(2)式得将上述两式代入(1)式,得整理得x2-y2+2x-2y+8=0,(*)当a=-2或a=-1时,直线PA和QB仍然相交,并且交点坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点的轨迹方程.解法二:设直线PA和QB的交点为M(x,y).当点M与点P及点Q都不重合时,直线PM的方程是(x+2)(Y-2)=(y-2)(X+2),直线QM的方程是x(Y-2)=(y-2)X.由方程组解得直线PM和直线l的交点A的坐标为由方程组解得直线QM和直线l的交点B的坐标为根据题意,线段AB两端点A,B的横坐标有如下关系:从而得x2-y2+2x-2y+8=0,(*)即又因点M与点P或点Q重合时,M点的坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点M的轨迹方程.七、本题考查数列和极限的基础知识,证明不等式的基本方法.(1)证法一:用数学归纳法.假设当n=k(k1)时不等式成立,即当n=k+1时,可得即也成立.从而不等式对所有的正整数n都成立.证法二:直接证明.由于不等式对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n1)求和,得到又因以及因此不等式对所有的正整数n都成立.(2)由(1)及bn的定义知于是八、本题考查集合的基本知识,不等式的证明以及分析问题的能力.解法一:如果实数a和b使得(1)成立,于是存在整数m和n使得(n,na+b)=(m,3m2+15),即由此得出,存在整数n使得na+b=3n2+15,或写成na+b-(3n2+15)=0.这个等式表明点P(a,b)在直线l:nx+y-(3n2+15)=0上,记从原点到直线l的距离为d,于是当且仅当时上式中等号才成立.由于n是整数,因此n23,所以上式中等号不可能成立.即d12.所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.解法二:如果实数a和b使得(1),(2)同时成立.同解法一,由于(1)成立,知存在整数n使得na+b=3n2+15,即b=3n2+15-an.(*)由(2)成立,得a2+b2144.把(*)式代入上式,得关于a的不等式(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-1440.(*)它的判别式=4n2(3n2+15)2-4(1+n)2(3n2+15)2-144=-36(n2-3)2.但n是整数,n2-30,因而0,故(*)式不可能有实数解a,这就表明,不存在实数a和b使得(1)、(2)同时成立.解法三:如果实数a和b使(1)、(2)同时成立.同解法一,由(1)成立知,必存在整数n使得3n2-an-(b-15)=0.(*)于是,它的判别式非负,即=a2+12b-1800,(*)由(*)得12b-180-a2.由(2)成立知a2+b2144,(*)即-a2b2-144.因此,12b-180b2-144,即(b-6)20,由此得出b=6.把b=6代入判别式(*),得出a2108,但把b=6代入(*),得出a2108,因而必有a2=108.此时,从(*)式可解出所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.九、(本题分数不计入总分)本题考查导数的几何意义,利用导数解决函数的最大值、最小值问题的能力.解:已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6,因此y=3x2-12x+11.在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是点P处切线方程是设这切线与y轴的截距为r,则根据题意,要求r(它是以x0为自变量的函数)在区间0,2上的最小值.因为当0x00,因此r是增函数,故r在区间0,2的左端点x0=0处取到最小值.即在点P(0,-6)处切线在y轴上的截距最小.这个最小值是r最小值=-6.中国大方题库网1986年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是【 】(2)函数y=(0.2)-x+1的反函数是(A)y=log5x+1(B)y=logx5+1(C)y=log5(x-1)(D)y=log5x-1【 】(A)一条平行于x轴的直线(B)一条垂直于x轴的直线(C)一个圆(D)一条抛物线【 】【 】(5)给出20个数8791948893918987928690928890918689929588它们的和是(A)1789(B)1799(C)1879(D)1899【 】(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件【 】(7)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(A)D=E(B)D=F(C)E=F(D)D=E=F【 】(8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S-EFG中必有(A)SGEFG所在平面(B)SDEFG所在平面(C)GFSEF所在平面(D)GDSEF所在平面【 】(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab0)的图象只可能是【 】(10)当x-1,0时,在下面关系式中正确的是【 】二、只要求直接写出结果.(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点.求证:平面PAC垂直于平面PBC.四、当sin2x0时,求不等式log0.5(x2-2x-15)log0.5(x+13)的解集.五、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使ACB取得最大值.六、已知集合A和集合B各含有12个元素,AB含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:七、过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.九、(附加题不计入总分)(1)求y=xarctgx2的导数.1986年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B;(6)D;(7)A;(8)A;(9)D;(10)C.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.证明:设圆O所在平面为.由已知条件,PA平面,又BC在平面内,因此 PABC.因此BCA是直角,因此BCAC.而PA与AC是PAC所在平面内的相交直线,因此BCPAC所在平面.从而证得PBC所在平面与PAC所在平面垂直.四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.解:满足sin2x0的x取值范围是而由log0.5(x2-2x-15)log0.5(x+13)以及对数函数的定义域及性质得到x2-2x-150,x+130,解不等式得:-4x7,解不等式及得-13x5.综合、及,可知所求的解集为(-,-3)(2,7).五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.解:设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),0b0.记BCA=,OCB=,则OCA=+.六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.解法一:因为A、B各含12个元素,AB含4个元素,因此,AB元素的个数是12+12-4=20.解法二:由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.解:由已知条件可知,直线l1的方程是y=k(x+1),把代入抛物线方程y2=4x,整理后得到k2x2+(2k2-4)x+k2=0,因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:(2k2-4)2-4k2k20,及k0.解出与得到k(-1,0)(0,1).今记l1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及得定义域是(-1,0)(0,1).注:可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f(k)的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.证明:首先,由于x10,由数列xn的定义可知xn0,(n=1,2)那么当n=k+1时从而对一切自然数n都有xn+1xn.(ii)若x11,同理可证,对一切自然数n都有xn+1xn.九、(附加题,不计入总分)本题主要考查导数的运算及几何意义.中国大方题库网1987年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)X(B)T(C)(D)S【 】【 】(3)设a,b是满足aba-b(B)a+ba-b(C)a-ba-b(D)a-ba+b【 】(4)已知E,F,G,H为空间中的四个点,设命题甲:点E,F,G,H不共面.命题乙:直线EF和GH不相交.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件.(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件.(C)甲是乙的充要条件.(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.【 】(5)在区间(-,0)上为增函数的是【 】【 】(7)极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是(A)直线(B)圆(C)双曲线(D)抛物线【 】【 】二、只要求写出结果.(3)若(1+x)n的展开式中,x3的系数等于x的系数的7倍,求n.(5)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短.(6)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.(7)一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高.三、求sin10sin30sin50sin70的值.四、如图,三棱锥P-ABC中,已知PABC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.五、设对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围.六、设复数z1和z2满足关系式其中A为不等于0的复数.证明:(1)z1+Az2+A=A2;七、设数列a1,a2,an,的前n项的和Sn与an的关系是其中是b与n无关的常数,且b-1.(1)求an和an-1的关系式;(2)写出用n和b表示an的表达式;八、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M.求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.九、(附加题,不计入总分)(2)设y=xln(1+x2),求y. 1987年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D(2)C(3)B(4)A(5)B(6)D(7)B(8)A二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果.三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.解法一:sin10sin50sin70sin10sin30sin50sin70解法二:sin10sin50sin70,.解法三:sin10sin30sin50sin70=四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.证明:连结AD和PD.BCPA，BCED，PA与ED相交，BC平面PAD,三棱锥B-PAD体积同理,三棱锥C-PAD的体积三棱锥P-ABC体积V=V1+V2,若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立.五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.解:由题意得化简为z(6-z)6,或z0,z3,综合,得z0,解，得a的取值范围：0a1.六、本题考查复数知识和运算以及推理能力.解法一:(1)由已知的关系式得z1+Az2+A由证得z1+Az2+A=A2=A2.(2)A0,由得z1+A0,由此得由得解法二:(1)由题设所以证得(2)以(1)中的结果代入得解法三:(1)由已知的关系式得令z1+A=r(cos+isin),z2+A=s(cos+isin),由于A0,我们有r0,s0.由得rscos(-)+isin(-)=A2,于是rscos(-)=A2,sin(-)=0,cos(-)=1,rs=A2,而z1+Az2+A=rs,所以证得z1+Az2+A=A2.解法四:(1)z1+Az2+A=A2.(2)由A0和(1)的结论知z2+A0.利用(1)的结果七、本题考查数列、极限等知识和运算以及推理能力.解法一:(1)an=Sn-Sn-1由此解得由此推得把代入得0b1时所以当0by2,由得解法二:设A(x1,y1)和B(x2,y2),那么32=(x2-x1)2+(y2-y1)2.AB中点M(x,y)到y轴的距离由得整理得4(y1y2)2+2y1y2+32-4x2-2x=0,因y1y2为实数,故=4-44(32-4x2-2x)0,由此得16x2+8x+1432,(4x+1)2432,因为x0,所以4x+16,由,可解得y1,y2,由即得相应x1,x2,故AB中点M距y轴最短距离为且相应中点坐标为解法三:同解法二得,由此得以下同解法二.九、本题考查极限和导数运算.中国大方题库网1988年试题(理工农医类) 一、本题每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)1(B)-1(C)I(D)-i【 】(2)设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么(A)点P在直线L上,但不在圆M上(B)点P在圆M上,但不在直线L上(C)点P既在圆M上,又在直线L上(D)点P既不在圆M上,也不在直线L上【 】(3)集合1,2,3的子集总共有(A)7个(B)8个(C)6个(D)5个【 】(A)10(B)5【 】(5)在的展开式中,x6的系数是【 】(6)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是(A)(B)2【 】(7)方程的解集是【 】(A)圆(B)双曲线右支(C)抛物线(D)椭圆【 】(9)如图,正四棱台中,AD所在的直线与BB所在的直线是(A)相交直线(B)平行直线(C)不互相垂直的异面直线(D)互相垂直的异面直线【 】【 】(11)设命题甲:ABC的一个内角为60.命题乙:ABC的三个内角的度数成等差数列.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【 】(12)复平面内,若复数z满足z+1=z-i,则z所对应的点Z的集合构成的图形是(