中考数学综合题专题复习【圆】专题解析

数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 1 中考数学综合题专题复习中考数学综合题专题复习 圆圆 专题解析专题解析 一一 教学内容 教学内容 1 圆的内容包括 圆的有关概念和基本性质 直线和圆的位置关系 圆和圆的位置关系 正多边形和圆 2 主要定理 1 垂径定理及其推论 2 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系定理 3 圆周角定理 弦切角定理及其推论 4 圆内接四边形的性质定理及其推论 5 切线的性质及判定 6 切线长定理 7 相交弦 切割线 割线定理 8 两圆连心线的性质 两圆的公切线性质 9 圆周长 弧长 圆 扇形 弓形面积 10 圆柱 圆锥侧面展开图及面积计算 11 正 n 边形的有关计算 二二 中考聚焦 中考聚焦 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表 内容 圆的有关性质 直线和圆的 位置关系 圆与圆的位置 关系 正多边形和圆 所占分数百分比 5 15 8 16 3 12 2 8 圆的知识在中考中所占的比例大 题型多 常见的有填空题 选择题 计算题或证明 题 近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题 设计型问题 中考的压轴题都综合了圆 的知识 三 知识框图 圆 圆的有关性质 直线和圆的位置关系 圆和圆的位置关系 正多边形和圆 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 2 圆的有关性质 圆的定义 点和圆的位置关系 这是重点 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的有关性质 轴对称性 垂径定理 这是重点 旋转不变性 圆心角 弧 弦 弦心距间的关系 圆心角定理 圆周角定理 这是重点 圆内接四边形 这是重点 直线和圆的位置关系 相离 相交 相切 切线的性质 这是重点 切线的判定 这是重点 弦切角 这是重点 和圆有关的比例线段 这是重点难点 圆和圆的位置关系 外离 内含 相交 相切 内切 这是重点 外切 这是重点 两圆的公切线 正多边形和圆 正多边形和圆 正多边形定义 正多边形和圆 正多边形的判定及性质 正多边形的有关计算 这是重点 圆的有关计算 圆周长 弧长 这是重点 圆 扇形 弓形面积 这是重点 圆柱 圆锥侧面展开图 这是重点 典型例题典型例题 例例 1 1 爆破时 导火索燃烧的速度是每秒 0 9cm 点导火索的人需要跑到离爆破点 120m 以外的安全区域 这个导火索的长度为 18cm 那么点导火索的人每秒钟跑 6 5m 是否 安全 分析 分析 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心 以 120m 为半径的圆的外部 如图所示 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 3 O 120m 爆破中心 安全区域 解 解 导火索燃烧的时间为 18 09 20 s 相同时间内 人跑的路程为2065130 m 人跑的路程130120mm 点导火索的人非常安全 例例 2 2 已知梯形 ABCD 内接于 O AB CD O 的半径为 4 AB 6 CD 2 求梯形 ABCD 的面积 分析 分析 要求梯形面积必须先求梯形的高 即弦 AB CD 间距离 为此要构造直角三角形 利用勾股定理求高 为了便于运用垂径定理 故作 OE CD 于 E 延长 EO 交 AB 于 F 证 OF AB 此题容易出现丢解的情况 要注意分情况讨论 解 解 分两种情况讨论 1 当弦 AB CD 分别在圆心 O 的两侧时 如图 1 过 O 作 OE CD 于 E 延长 EO 交 AB 于 F 连 OC OB 则 CE DE AB CD OE CD OF AB 即 EF 为梯形 ABCD 的高 在 Rt OEC 中 EC 1 OC 4 OEOCEC 2222 4115 同理 OF 7 EFOEOF157 S ABCD梯形 1 2 2615741574 154 7 2 当弦 AB CD 在圆心 O 的同侧时 如图 2 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 4 过 O 作 OE CD 于 E 交 AB 于 F 以下证法同 1 略 EF157 S ABCD梯形 1 2 2615741574 154 7 梯形的面积为或ABCD41574157 例例 3 3 如图 已知 AB 为 O 的直径 P 是 OB 的中点 求 tanC tanD 的值 分析 分析 为了求 tanC tanD 的值 需要分别构造出含有 C 和 D 的两个直角三角形 而 AB 是直径 为我们寻找直角创造了条件 连 BC BD 则得到 Rt ACB 和 Rt ADB 可以 发现 ACD ABD ADC ABC 于是 可以把 tanC tanD 转化为 tantan 则可求 ABDABC AD BD AC BC ADAC BDBC 解 解 连结 BC BD AB 是 O 的直径 ACB ADB 90 ACD ABD ADC ABC tantantantanCDABDABC AD BD AC BC ADAC BDBC 作 AE CD 于 E 作 BF CD 于 F 则 AEC ADB AC AE AB AD AC AD AE AB 同理 BD BC BF AB 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 5 tantanCD AEAB BFAB AE BF APE BPF AE BF AP BP P 为半径 OB 的中点 AP BP AE BF 3 1 3 tanC tanD 3 例例 4 4 如图 是等边三角形 是 上任一点 求证 ABCDBCDBDCDA 分析 分析 由已知条件 等边 ABC 可得 60 角 根据圆的性质 可得 ADB 60 利用 截长补短的方法可得一个新的等边三角形 再证两个三角形全等 从而转移线段 DC 证明 证明 延长 DB 至点 E 使 BE DC 连结 AE ABC 是等边三角形 ACB ABC 60 AB AC ADB ACB 60 四边形 ABDC 是圆内接四边形 ABE ACD 在 AEB 和 ADC 中 BECD ABEACD ABAC AEBADC AE AD ADB 60 AED 是等边三角形 AD DE DB BE BE DC DB DC DA 说明 本例也可以用其他方法证明 如 1 延长 DC 至 F 使 CF BD 连结 AF 再证 ACF ABD 得出 AD DF 从而 DB CD DA 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 6 2 在 DA 上截取 DG DC 连结 CG 再证 BDC AGC 得出 BD AG 从而 DB CD DA 例例 5 5 如图 已知四边形 ABCD 内接于 O AB 是直径 AD DC 分别延长 BA CD 交于点 E BF EC 交 EC 的延长线于 F 若 EA AO BC 12 求 CF 的长 分析 分析 在 Rt CFB 中 已知 BC 12 求 CF 故可寻找与之相似的直角三角形 列比例 式求解 解 解 连结 OD BD ADDCADDC ABC AOD OD BC OD BC EO EB EA AO EA AO BO BC OD OD 12 12 2 3 8 AB 16 BE 24 四边形 ABCD 内接于 O EDA EBC E 是公共角 EDA EBC AD BC EA EC ED EB 设 AD DC x ED y 则有 xy xy1224 8 解方程组 得 x 4 2 AD4 2 AB 为 O 的直径 ADB F 90 又 DAB FCB Rt ADB Rt CFB 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 7 AD CF AB BCCF 即 4 216 12 CF3 2 说明 与圆有关的问题 大都与相似三角形联系在一起 此题运用了两次相似三角形 找到线段之间的关系 并且运用了方程的思想解几何问 题 这是解几何问题的一种重要方法 例例 6 6 如图 已知等腰 ABC 中 AB AC 以 AB 为直径的 O 分别交 AC BC 于 点 过 作 的切线交于 若 求的长 FDDOFCEAF7cosBCE 3 5 解 解 连结 FD AB 是直径 AD BC AB AC BD DC FAD DAB 四边形 ABDF 是圆内接四边形 CFD B C 是公共角 ABC DFC CD AC DF AB AB AC CD DF 也可以证 CFD B AB AC B C C CFD CD DF DE 切 O 于 D FAD EDF 又 CDE EDF FAD DAB CDE DAB CDE EDF CD FD CE EF DE CF cosBBC 3 5 cosC 3 5 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 8 在中 Rt ACDC CD AC cos 3 5 设 CD 3x AC 5x 在中 即Rt CDEC EC CD EC x cos 3 53 ECx 9 5 ACAFCE 2 57 18 5 xx x 5 EC 9 例例 7 7 如图 相交两圆的公共弦长为 120cm 它分别是一圆内接正六边形的边和另 一圆内接正方形的边 求两圆相交弧间阴影部分的面积 解 解 公共弦 AB 120 aR 46 120 rR a 66 24 2 22 2 1206060 3 OaRAB o 144 60120 2 2 60 2 rR a O o 44 24 2 2 2 2 2 60 2606090 SSS R a r AmBAO BAO B弓形扇形 22 90 360 1 2 18003600 4 2 4 4 SSS R a r AnBAO BAO B弓形扇形 1 1 60 360 1 2 24003600 3 6 2 6 6 SSS AmBAnB阴影弓形弓形 42003600 13 两圆相交弧间阴影部分的面积为 42003600 13 2 cm 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 9 例例 8 8 一个长方体的香烟盒里 装满大小均匀的 20 支香烟 打开烟盒的顶盖后 二 十支香烟排列成三行 如图 1 所示 经测量 一支香烟的直径直径约为 0 75cm 长约为 8 4cm 1 试计算烟盒顶盖 ABCD 的面积 本小题计算结果不取近似值 2 制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张 不计重叠粘合的部分 计算结果 精确到 取 0 1cm3173 解题点拨 解题点拨 四边形 ABCD 中 AD 长为 7 支香烟的直径之和 易求 求 AB 长 只要计算 出如图 2 中的 O1E 长即可 解 解 1 如图 2 作 O1E O2O3 O OO OO O 122331 075 3 4 O E 1 3 4 3 2 3 3 8 ABcm2 3 3 8 3 4 3 33 3 ADcm 7 3 4 21 4 四边形 ABCD 的面积是 21 4 3 33 4 63 363 16 2 cm 2 制作一个烟盒至少需要纸张 2 63 363 16 3 33 4 84 21 4 841440961441 2 cm 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 10 例例 9 9 在直径为 20cm 的圆中 有一弦长为 16cm 求它所对的弓形的高 解 解 一小于直径的弦所对的弓形有两个 劣弧弓形与优弧弓形 H A B C O G 如图 HG 为 O 的直径 且 HG AB AB 16cm HG 20cm OHcmBCABcm10 1 2 8 OCOBBCcm 2222 1086 CHOHOCcm1064 CGOCOGcm 61016 故所求弓形的高为 4cm 或 16cm 例例 10 10 cm3ADcm2 ACA2cmABO 求 CAD 所夹圆内部分的面积 解 解 符合题设条件的图形有两种情况 1 圆心 O 在 CAD 的内部 如图 1 连结 OC OD 过 O 作 OE AD 于点 E OAOCAC 12 OC AB SSS AOCBOC1 1 2 1 1 901 360 1 24 扇形 OAAEAD 1 1 2 3 2 OEOEOA1 3 2 1 2 1 2 2 2 即 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 11 SSS AODBOD2 1 2 1 2 3 601 360 3 46 扇形 SSScm 12 2 1 24 3 46 23 4 5 12 2 圆心 O 在 DAC 的外部时 如图 2 有 SSScm 12 2 1 24 3 46 23 412 所夹圆的内部的面积为 或CADcmcm 23 4 5 12 23 412 22 例例 11 11 已知圆 中 为两条弦 的度数为 的度数为OABCDACBD oo 13090 MNABCDMON 分别为 的中点 求的度数 分析 分析 由已知条件可知 AB CD 弦的位置不确定 所以要分多种情况讨论 可分为四种 情况 解 解 1 当 AB CD 不相交时 且 AB CD 在圆心的两侧 如图 1 连结 OD OB M N 分别是弦 AB CD 的中点 OD OB 过圆心 O OMONABCD 的延长线平分 BOMmABDONmCD 1 2 1 2 BOMDONmABCD 1 2 ACBD 的度数为 的度数为13090 CDAB的度数为36013090140 BOMDON70 BODmBD90 MON9070160 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 12 图 1 2 当 AB CD 不相交 且在圆心 O 的同侧时 如图 2 连结 OB OC 同理可证 BOMmABCONmCD 1 2 1 2 而 MONBOMCONBOCmADCDBC 1 2 1 2 1 2 ADDCBCDCBC 1 2 1 2 1309020 ACBD 图 2 3 当 AB CD 相交于点 P 且圆心 O 在 DPA 的内部时 如图 3 DPA 是圆内角 则 DPAmADBCACBD 1 2 1 2 36070 OMPONPMON9018070110 图 3 4 当 AB CD 相交于点 P 且圆心 O 在 DPA 的外部时 如图 4 DPAmADBCACBDONP 1 2 1 2 2090 又 NQPMQOMON90207020 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 13 综上所述 的度数为或或 MON20110160 图 4 例例 12 12 已知 如图 圆心 A 0 3 圆 A 与 x 轴相切 圆 B 的圆心 B 在 x 正半轴 上 且圆 B 与圆 A 外切于点 P 两圆内公切线 MP 交 y 轴于点 M 交 x 轴于点 N 1 求证 AOB NPB 2 设圆 A 半径为 r1 圆 B 半径为 r2 若 r1 r2 3 2 求点 M N 的坐 标及公切线 MP 的函数解析式 3 设点 B x1 0 点 B 关于 y 轴的对称点 B x2 0 若 x1 x2 6 求过 B A B 三点的抛物线解析式 4 若圆 A 的位置大小不变 圆心 B 在 x 正半轴上移动 并始终有圆 B 与圆 A 外切 过点 M 作圆 B 的切线 MC C 为切点 MC 时 B 点在 x 轴的什么位置 从你的解答中能获得什么猜想 3 3 解 解 1 AO xMP ABABONBP 轴 AOBNPB 2033 AOAAP 又 r rAP PB 12 32 PBABBO25534 22 AB NB BO BP NB ABBP BO 52 4 5 2 ON4 5 2 3 2 点 的坐标为 N 3 2 0 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 14 由Rt APMRt AOB AMABM502 点的坐标为 设直线 MP 的解析式为 y kx b 则有 解得 20 0 3 2 4 3 2 kb kb k b MPyx的函数解析式为 4 3 2 3 设抛物线为 y ax2 bx c a 0 令 y 0 则有 ax2 bx c 0 B 与 B 关于 y 轴对称 x1 x2 0 即 b 0 又点 A 0 3 C 3 xx c aa 12 3 6 a 1 2 抛物线的解析式为yx 1 2 3 2 4 MC MP 可证 APM AOB MCMPBO3 3 点 的坐标为 B3 30 猜想 圆心 B 在 x 轴的正半轴上任一位置时 都有切线 MP 的长等于点 B 的横坐标或四 边形 MOBC 是长方形 模拟试题模拟试题 一 选择题 本题共 24 分 每小题 4 分 每道题只有一个正确答案 1 已知 AB 是 O 的直径 半径 EO AB 于 O 弦 CD EO 于 F 点 若 CDB 120 则 的度数为 CD A 10 B 15 C 30 D 60 2 如图 已知 O 中 M 是弦 CD 的中点 N 为弦 AB 的中点 并且的度数为ACBD 130 90 则 MON 的度数为 A 70 B 90 C 130 D 160 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 15 C M D B O N A 3 已知 ABC 中 a b c 是 A B C 的对边 若 r 是内切圆半径 则 ABC 的面 积可以表示为 A B 1 4 abc r 1 2 abc r C D abc r 2 abc r 4 已知两圆的半径分别为 R r 且圆心距为 d 若 则这两圆的RdrRd 222 2 位置关系为 A 外离或外切B 相交或内切 C 外切或内切D 内切或内含 5 已知正多边形的边长为 a 与外接圆半径 R 之间满足 则这个多边形是 12 a R A 正三边形B 正四边形C 正五边形D 正六边形 6 已知正方形 ABCD 边长为 5 剪去四个角后成正八边形 则正八边形的边长为 A B C D 5 2 2 5 2 2 5 2 21 521 二 填空题 本题共 16 分 每小题 4 分 7 已知 ABC C 90 B 28 以 C 为圆心 以 CA 为半径的圆交 AB 于 D 则 的度数为 AD 8 已知 ABC 内接于 O F E 是的三分之一点 若 AFE 130 则AB C 度 9 已知 PA 切 O 于 A APO 30 若 OP 交于 O 于 C 则PA 12 3 PC 10 两圆半径之比为 2 1 大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 16 三 求解下列各题 本题共 18 分 每小题 6 分 11 已知 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 于 E 若弦 CD 把 O 分为 2 1 的两部分 且 求 O 的直径及 AE 长 CD 4 3 12 已知等边 ABC 内接于 O E 是上一点 AE 交 BC 于 D 若 BD DC 2 1 且BC AB 6 求 DE 长 13 如图所示 AB 是 O 的弦 EF 切 O 于 B AC EF 于 C 求证 ABACAO 2 2 四 解答题 本题共 24 分 每小题 8 分 14 如图所示 AB 切 O 于 B AE 过 O 点交 O 于 E C 过 C 作 O 切线交 AB 于 D 若 ADBD 2 求证 AEAB 3 15 如图所示 ABC 中 A 90 O 是 BC 上一点 以 O 为圆心的圆切 AB AC 于 D E 若 AB 3 AC 4 求阴影部分的面积 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 17 16 如图所示 O 与 O 交于 A B 过 A 点任意作两圆的割线 CAD 若连结 CB DB 问因割线 CAD 的位置不确定 CBD 的大小是否改变 五 解答题 本题共 18 分 每小题 9 分 17 如图所示 PA 切 O 于 A PO 交 O 于 B C 若 AE 交 BC 于 D 且ACCE BEA 30 DB 1 求 AP 及 PB 长 18 已知一块直径为 30cm 的圆形铁板 已经截去直径分别为 20cm 10cm 的圆形铁板各 一块 现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形 问这两个圆形的最大半径是多少 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 18 参考答案参考答案 一 选择题 1 D 2 D 3 B 提示 设 ABC 的内切圆的圆心为 O 连结 OA OB OC 则 ABC 可分割成三个三角形 ABO BCO ACO 则SSSS ABCABOBCOACO 1 2 1 2 1 2 1 2 a rb rc r abc r 应选 B 4 C 提示 依题意 有 RRddr 222 20 Rdr 2 2 0 Rdr Rdr 0 所以 或Rdr 0Rdr 0 即 或Rrd Rrd 两圆内切或外切 5 C 提示 正多边形的边数越多 则边长越小 而有RaR 2 因为 所以aR 6 aR 4 2 aaa 64 则 是正五边形 应选 C aaa 654 6 D 提示 如图所示 所截的四个角是全等的等腰三角形 且 GE EF FH 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 19 A E F D G H B C 设 EF x 则根据勾股定理 AEDFx 2 2 则有ADAEEFFD 即xx 2 2 2 5 x 5 21 521 应选 D 二 填空题 7 56 8 75 或 105 提示 如图所示 AFE 130 的度数为 260 ABE 则的度数为AE 360260100 ooo F E 是的三分之一点AFB AFFEEB AFFEEB o 50 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 20 或 C m AFB o 150 C o 105 9 12 10 3 1 如图所示 设大圆与小圆的半径为 2r 和 r 则大圆内接正六边形的边长为 2r 小圆外切正六边形的边长为 2 3 3 r 因为这两个正六边形相似 所以面积比等于边长比的平方 即 2 2 3 3 31 2 2 rr 三 求解下列各题 11 解 如图 分两种情况 1 点 E 在 OA 上 2 点 E 在 OB 上 1 直径 AB 弦 CD 于 E CD 4 3 根据垂径定理 有 CEED 2 3 A B 分别为和的中点CAD CBD CD 把 O 分成 2 1 两部分 的度数为 120 的度数为 240 CD CBD 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 21 连结 BC 则 B m AC oo 1 2 60 1 2 30 在中 Rt BCE BECE o cot303 2 36 CEAE EB AE CE EB ABAEEB 2 2 2 2 3 6 2 8 2 当点 E 在 OB 上时 AE 6 直径为 8 AE 6 或 2 12 解法一 如图 1 ABC 是等边三角形 AB 6 图 1 BC AB AC 6 B ACB 60 BD DC 2 1 BD 4 CD 2 AD DE BD CD 8 连结 CE B E 60 ACB E CAD 是公共角 ACD AEC ACAD AEAD ADDEADAD DE 22 36 ADAD DE BD CD AD 2 282 7 8 2 7 4 7 7 解法二 如图 2 过 A 作 AG BC 于 G 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 22 图 2 ABC 是等边三角形 BC 6 CG GB 3 由解法一得 CD 2 BD 4 DG 1 在中 Rt AGB AGABBG 2222 633 3 在中 Rt ADG ADAGDG 22 2 2 3 312 7 根据相交弦定理 有 DE ADCD BD DE CD BD AD 28 2 7 4 7 7 13 证明一 延长 AD 交 O 于 D 连结 BD 如图 1 AD 是直径 ABD 90 2AO AD EF 切 O 于 B 1 D AC EF 于 C C ABD 90 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 23 ABC ADB AC AB AB AD 即ABAC ADAC AO 2 2 证明二 延长 AC 至 M 使 CM AC 连结 BM OB 图 2 BC AC AC CM MB AB M 2 OA OB 3 4 EF 切 O 于 B OB EF AC OB 2 3 2 3 4 M MB OB AB OA MBABOA MBABOA AB AO AM AB ABAM AOAC AO 2 2 四 解答题 14 证明 如图 依题意 设 BD x 则 AD 2x 数学专题之数学专题之 圆圆 精品解析精品解析 24 AB CD 切 O 于 B C 点 BD CD x OC CD