高中函数解题技巧方法总结

数学函数知识点总结数学函数知识点总结 1 1 对于集合 一定要抓住集合的代表元素 及元素的对于集合 一定要抓住集合的代表元素 及元素的 确定性 互异性 无序性确定性 互异性 无序性 CBAxyyxCxyyBxyxA 如 集合lg lg lg 中元素各表示什么 A 表示函数 y lgx 的定义域 B 表示的是值域 而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 2 进行集合的交 并 补运算时 不要忘记集合本身和空集的特殊情况进行集合的交 并 补运算时 不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题 空集是一切集合的子集 是一切非空集合的真子集 空集是一切集合的子集 是一切非空集合的真子集 如 集合 Ax xxBx ax 2 2301 若 则实数 的值构成的集合为BAa 答 10 1 3 显然 这里很容易解出 A 1 3 而 B 最多只有一个元素 故 B 只能是 1 或者 3 根据条件 可以得 到 a 1 a 1 3 但是 这里千万小心 还有一个 B 为空集的情况 也就是 a 0 不要把它搞忘记了 3 3 注意下列性质 集合 的所有子集的个数是 12 12 aaan n 要知道它的来历 若若 B B 为为 A A 的子集 则对于元素的子集 则对于元素 a a1 1来说 有来说 有 2 2 种选择 在或者不在 种选择 在或者不在 同样 对于元 同样 对于元 素素 a a2 2 a a3 3 a an n 都有都有 2 2 种选择 所以 总共有种选择 所以 总共有种选择 种选择 即集合即集合 A A 有有个子集 个子集 2n2n 当然 我们也要注意到 这种情况之中 包含了这 n 个元素全部在和全部不在的情况 故真子集个真子集个2n 数为数为 非空真子集个数为 非空真子集个数为21 n 22 n 若若若若BBAABABA 2 3 德摩根定律 CCCCCC UUUUUU ABABABAB 4 4 你会用补集思想解决问题吗 排除法 间接法排除法 间接法 如 已知关于 的不等式的解集为 若且 求实数x ax xa MMMa 5 035 2 的取值范围 3 35 3 0 5 55 5 0 1 5 3 925 2 2 M a a M a a a 5 5 熟悉命题的几种形式 可以判断真假的语句叫做命题 逻辑连接词有 或 且 和 非 1 若为真 当且仅当 均为真pqpq 2 若为真 当且仅当 至少有一个为真pqpq 3 若为真 当且仅当 为假 pp 命题的四种形式及其相互关系是什么 答 互为逆否关系的命题是等价命题 互为逆否关系的命题是等价命题 原命题与逆否命题同真 同假 逆命题与否命题同真原命题与逆否命题同真 同假 逆命题与否命题同真 同假 同假 6 6 熟悉充要条件的性质 高考经常考 xxA 满足条件 p xxB 满足条件 q 若 则 p 是q的充分非必要条件 BA 若 则 p 是q的必要非充分条件 BA 若 则 p 是q的充要条件 BA 若 则 p 是q的既非充分又非必要条件 7 7 对映射的概念了解吗 映射 f A B 是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性 哪几种对应能构成映射 一对一 多对一 允许 一对一 多对一 允许 B B 中有元素无原象 中有元素无原象 注意映射个数的求法 如集合 A 中有 m 个元素 集合 B 中有 n 个元素 则从 A 到 B 的映射个数有 n nm m个 如 若 问 到的映射有 个 到的映射有 个 4 3 2 1 A cbaB ABBA 到的函数有 个 若 则到的一一映射有 个 AB 3 2 1 AAB 8 8 求函数的定义域有哪些常见类型 例 函数的定义域是y xx x 4 3 2 lg 答 022334 函数定义域求法 函数定义域求法 1 1 分式中的分母不为零 分式中的分母不为零 2 2 偶次方根下的数 或式 大于或等于零 偶次方根下的数 或式 大于或等于零 3 3 指数式的底数大于零且不等于一 指数式的底数大于零且不等于一 4 4 对数式的底数大于零且不等于一 真数大于零 对数式的底数大于零且不等于一 真数大于零 5 5 正切函数正切函数 xytan kkxRx 2 且 6 6 余切函数余切函数 xycot kkxRx 且 9 9 如何求复合函数的定义域 的定 则函数 的定义域是如 函数 0 xfxfxFabbaxf 义域是 答 aa 复合函数定义域的求法 已知复合函数定义域的求法 已知的定义域为的定义域为 求 求的定义域 可由的定义域 可由 xfy nm xgfy 解出解出 x x 的范围 即为的范围 即为的定义域 的定义域 nxgm xgfy 例 例 若函数的定义域为 则的定义域为 xfy 2 2 1 log2xf 分析 分析 由函数的定义域为可知 所以中有 xfy 2 2 1 2 2 1 x log2xfy 2log 2 1 2 x 解 解 依题意知 2log 2 1 2 x 解之 得 42 x 的定义域为 log2xf 42 xx 1010 函数值域的求法函数值域的求法 1 1 配方法 配方法配 求二次函数值域最基本的方法之一 例 求函数 y 2x 5 x 1 2 的值域 2 x 2 2 判别式法 判别式法 对二次函数或者分式函数 分子或分母中有一个是二次 都可通用 3 3 反函数法 反函数法 直接求函数的值域困难时 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域 例 求函数 y 值域 65 43 x x 4 4 函数有界性法 函数有界性法 直接求函数的值域困难时 可以利用已学过函数的有界性 来确定函数的值域 我们所说的单调 性 最常用的就是三角函数的单调性 例 求函数 y 的值域 1 1 x x e e2sin1 1sin y 2sin1 1cos y 2 2 2 11 0 11 2sin11 sin 1 1sin2 2sin1 2sin1 1cos 1cos 2sincos1 1 4sin 1 sin 4 1 sin 11 4 即 又由知 解不等式 求出 就是要求的答案 x x x ey ye ye y y y yy yy y yxyx y y x y y 5 5 函数单调性法 函数单调性法 通常和导数结合 是最近高考考的较多的一个内容 例 求函数 y 2 x 10 的值域 2 5x log3 1 x 6 6 换元法 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数 其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型 换元法是数学方法中几种最主要方法之一 在求函数的值域中同样发 挥作用 例 求函数 y x 的值域 1 x 7 7 数形结合法 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义 如两点的距离公式直线斜率等等 这 类题目若运用数形结合法 往往会更加简单 例 求函数 y 的值域136 2 x x 54 2 x x 解 原函数可变形为 y 20 3 22 x 10 2 22 x 上式可看成 x 轴上的点 P x 0 到两定点 A 3 2 B 2 1 的距离之和 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时 y AB min 12 23 22 43 故 所求函数的值域为 43 8 8 不等式法 不等式法 利用基本不等式 a b 2 a b c 3 a b c 求函数的最值 ababc3 R 其题型特征解析式是和式时要求积为定值 解析式是积时要求和为定值 不过有时须要用到拆项 添 项和两边平方等技巧 例 9 9 倒数法倒数法 有时 直接看不出函数的值域时 把它倒过来之后 你会发现另一番境况 例 求函数 y 的值域 3 2 x x 2 3 20 12111 220 2 22 20 1 2 时 时 0 0 x y x x x xy y xx xy y 11 11 反函数存在的条件是什么 一一对应函数 求反函数的步骤 反解 x 互换 x y 注明定义域 如 求函数的反函数f x xx xx 10 0 2 答 fx xx xx 1 11 0 12 12 反函数的性质 反函数的性质 1 1 反函数的定义域是原函数的值域反函数的定义域是原函数的值域 可扩展为反函数中的 可扩展为反函数中的 x x 对应原函数中对应原函数中 y y 2 2 反函数的值域是原函数的定义域 可扩展为反函数中的反函数的值域是原函数的定义域 可扩展为反函数中的 y y 对应原函数中对应原函数中 的的 x x 3 3 反函数的图像和原函数关于直线反函数的图像和原函数关于直线 x x 对称 难怪点 对称 难怪点 x yx y 和点 和点 y y x x 关 关 于直线于直线 y xy x 对称对称 互为反函数的图象关于直线 y x 对称 保存了原来函数的单调性 奇函数性 设的定义域为 值域为 则yf x ACaAbCf a bf 1 ba ff afbaf fbf ab 111 1313 如何用定义证明函数的单调性 取值 作差 判正负 3 3 2 0 1111 33 33 2 22 x xx 应用公式a b c时 注意使者的乘积变成常数 x x xxxx abc 判断函数单调性的方法 根据定义 设任意得 x1 x2 找出 f x1 f x2 之间的大小关系 可以变形为求的正负号或者与 1 的关系 12 12 f xf x xx 1 2 f x f x 如 求的单调区间yxx log1 2 2 2 设 由则uxxux 2 2002 且 如图 log1 2 2 11uux u O 1 2 x 当 时 又 xuuy log01 1 2 当 时 又 xuuy log12 1 2 14 14 如何利用导数判断函数的单调性 在区间 内 若总有则为增函数 在个别点上导数等于abf xf x 0 零 不影响函数的单调性 反之也对 若呢 f x 0 如 已知 函数在 上是单调增函数 则 的最大af xxaxa 01 3 值是 B 1C 2D 3 令f xxax a x a 33 33 0 2 则或x a x a 33 由已知在 上为增函数 则 即f x a a 1 3 13 a 的最大值为 3 15 15 复合函数奇偶性 在公共定义域内 两个奇函数的乘积是偶函数 两个偶函数的乘积是偶函 在公共定义域内 两个奇函数的乘积是偶函数 两个偶函数的乘积是偶函 数 一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数 数 一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数 16 16 若 f x 是奇函数且定义域内有原点 则 f x 0f x 0 如 若 为奇函数 则实数f x aa a x x 22 21 为奇函数 又 f xxRRf 000 即 aa a 22 21 01 0 0 17 17 判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法 1 定义域法 一个函数是奇 偶 函数 其定义域必关于原点对称 它是函数为奇 偶 函数的必要条件 若函数的定义域不关于原点对称 则函数为非奇非偶函数 2 奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下 计算 然后根据函数的奇偶性的 xf 定义判断其奇偶性 这种方法可以做如下变形 f x f x 0 奇函数 f x f x 0 偶函数 f x 1 偶函数 f x f x 1 奇函数 f x 1818 你熟悉周期函数的定义吗 如 若 则f xaf x 答 是周期函数 为的一个周期 f xTaf x 2 我们在做题的时候 经常会遇到这样的情况 告诉 f x f x t 0 要马上反应过来 这时说这个 函数周期 2t 推导 0 2 2 0 f xf xt f xf xt f xtf xt 同时可能也会遇到这种样子 f x f 2a x 或者说 f a x f a x 其实这都是说同样一个意思 函数 f x 关于直线对称 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到 比如 f x f 2a x 或者说 f a x f a x 就都表示函数关于直线 x a 对称 如 2 2 2 2 2 222 22 22 2 f xxaxb f axf axf bxf bx f xfax faxfbx f xfbx taxbxtba f tf tba f xf xba f xbaa b 又如 若图象有两条对称轴 即 令则 即 所以函数以为周期因不知道的大小关系 为保守起见我加了一个绝对值 19 19 你掌握常用的图象变换了吗 联想点 x y x y f xfxy 与的图象关于轴 对称 联想点 x y x y f xf xx 与的图象关于轴 对称 联想点 x y x y f xfx 与的图象关于 原点 对称 联想点 x y y x f xfxyx 与的图象关于 直线对称 1 联想点 x y 2a x y f xfaxxa 与的图象关于 直线对称2 联想点 x y 2a x 0 f xfaxa 与的图象关于 点 对称 20 将图象 左移个单位 右移个单位 yf x a a a a yf xa yf xa 0 0 上移个单位 下移个单位 b b b b yf xab yf xab 0 0 注意如下 翻折 变换 x y f xf x f xfx 把轴下方的图像翻到上面 把轴右方的图像翻到上面 如 f xx log 2 1 作出及的图象yxyx loglog 22 11 y y log2x O 1 x 20 20 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗 k0 y b O a b O x x a k 为斜率 b 为直线与 y 轴的交点 一次函数 10ykxb k 反比例函数 推广为是中心 200y k