平均不等式经典例题透析

经典例题透析经典例题透析 类型一 基本不等式的应用条件类型一 基本不等式的应用条件 1 给出下面四个推导过程 其中正确的推导为 A B C D 思路点拨 思路点拨 利用基本不等式求最值 要注意使用的条件 一正 二定 三相等 三个 条件缺一不可 解析 解析 符合基本不等式的条件 故 推导正确 虽然 但当或时 是负数 的推导是错 误的 由不符合基本不等式的条件 是错误的 由得均为负数 但在推导过程中 将整体提出负号后 均变为正 数 符合基本不等式的条件 故 正确 选 D 总结升华 总结升华 利用基本不等式求最大 小 值问题时 要注意使用的条件 一正 二定 三相等 只有三者都满足了 才可以用基本不等式求函数的最值 正 中 即各项均为正数 定 只有 定值 时 才有最大值 只有 定值 时 才有最小值 等 只有时 中的等号才成立 举一反三 举一反三 变式 1 2011 浙江 16 设为实数 若则的最大 值是 答案答案 变式 2 下列结论正确的是 A 当 x 0 且 x1 时 B 当时 C 当时 的最小值为 2 D 当时 无最大值 答案答案 B 变式 3 下列命题中正确的个数是 函数的最小值是 1 的最小值是 4 若 则有最大值 1 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案答案 C 正确 变式 4 某班的同学在做下题时给出了以下三种方法 请判断这三种方法的正误 已知 且求的最小值 解法一 解法一 由得 有 解法二 解法二 由得 故的最小值是 解法三 解法三 由得 当且仅当即时取等号 时 的最小值为 答案答案 解法一中 当且仅当且时等号成立 此时 显然不满足 解法一错误 解法二中 两者右端均不是 常数 不满足基本 不等式的最值条件 即以上两式等号不能同时成立 解法二错误 解法三正确 类型二 求最值类型二 求最值 2 函数 1 若 则当 x 时 函数有最小值 2 若 则当 x 时 函数有最小值 3 若 则当 x 时 函数有最小值 4 若 则当 x 时 函数有最大值 解析 解析 1 当且仅当时取等号 故当时 函数有最小值为 4 2 时 函数单调递减 故当时 函数有最小值为 3 时 函数单调递增 故当时 函数有最小值为 4 当且仅当时取等号 当且仅当时取等号 故当时 函数有最大值为 总结升华 总结升华 使用基本不等式 求两个数 式子 的最值时 一定要注意 一正二定三相等 只有 三者都满足了 才可以用基本不等式求函数的最值 若不能满足 一正二定三相等 这三 个条件中的任何一个 不能用基本不等式求函数的最值 但可以利用导数求函数的最值 举一反三 举一反三 变式 1 求下列函数的最大 或最小 值 1 2 3 答案答案 1 由于 为正数 且为定值 当且仅当时取等号 当时 2 且为常数 当且仅当时取等号 当时 3 且 当且仅时取等号 最小值为 变式 2 2011 江苏 8 在平面直角坐标系中 过坐标原点的一条直线与函数 的图象交于 两点 则线段长的最小值是 答案答案 4 变式 3 已知函数 则函数的最大值是 A 2 B 3 C 4 D 6 答案答案 当且仅当时取等号 变式 4 已知 1 当时 有最小值 2 当时 有最大值 答案答案 1 当时 有 当且仅当时取 等号 所以有最小值为 7 2 当时 有 当且仅当时取等号 所以有最大值 3 已知且 求的最小值 思路点拨 思路点拨 要求的最小值 根据基本不等式 应构建某个积为定值 这需要对 条件进行必要的变形 下面给出三种解法 请认真体会 解析 解析 解法一 解法一 且 当且仅当即时等号成立 的最小值是 16 解法二 解法二 由 得 当且仅当即时 取等号 此时 的最小值是 16 解法三 解法三 由得 当且仅当时取等号 又 时 的最小值是 16 总结升华 总结升华 本题给出了三种解法 均用到了基本不等式 且都对式子进行了变形配凑出基本不等 式满足的条件 这是经常需要使用的方法 要学会观察学会变形 注意解法 2 通过消元 化 二元问题为一元问题 变量的范围是不可忽视的 举一反三 举一反三 变式 1 已知且 求的最小值 答案答案 解法一 解法一 由得 当且仅当 时取等 号 两边平方得 故当且仅当 时 的最小值为 8 解法二 解法二 且 当且仅当 时取等号 故当且仅当 时 的最小值为 8 解法三 解法三 由且 得 且 令 则 当且仅当 时取等号 故当且仅当 时 的最小值为 8 变式 2 若正数满足则的取值范围是 答案答案 解法一 解法一 由于为正数 即 故 当且仅当 a b 3 时取等号 的取值范围是 解法二 解法二 由 得 由 b 0 得 a 1 当且仅当即 a 3 时取等号 此时 b 3 的取值范围是 变式 3 若实数满足则的最小值是 答案答案 即的最小值是 6 4 1 已知求函数的最大值 2 求函数的最小值 思路点拨 思路点拨 1 为积的形式 根据基本不等式 通过函数变形 设法将和转化为 常数 即可求得最大值 2 函数为和的形式 根据基本不等式 设法将积转化为常数 即可求得最小值 解析 解析 1 当且仅当时 上式的等号成立 取得最大值 2 函数 当且仅当即时等号成立 总结升华 总结升华 使用基本不等式求三个数的最值时 为了凑 常数 一般有两种方法 第 一种求 积 的形式的最大值时 常用拆方凑系数法 对于 和 式求最小值时 一般常 用 平均裂项 的办法 举一反三 举一反三 变式 1 设 求函数的最大值 答案答案 且为常数 当且仅当即时 上式的等号成立 故时 变式 2 设 求的最大值 答案答案 由 函数式两边平方 类型三 应用类型三 应用 5 已知 且 求证 思路点拨 思路点拨 注意到 能否考虑到三个式子相乘中每个式子中均可构成一个 2 而得到的结 果 于是可对每一个式子进行分析 由可找到解决问题 的途径 解析 解析 且 1 同理可得 2 3 当且仅当时 上列三式子取等号 三式相乘可得 即原命题成立 总结升华 总结升华 1 如何合理利用是解决问题的关键 在证明含有条件的不等式时 注意 巧妙使用所给条 件是不容忽视的 2 在利用基本不等式进行综合法证明时 把多个均值不等式叠加得到复杂不等式的方 法很常用 举一反三 举一反三 变式 1 已知 a b c 是不全相等的正数 求证 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 答案答案 b2 c2 2bc a 0 a b2 c2 2abc 同理 b c2 a2 2abc c a2 b2 2abc a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 当且仅当 b c c a a b 时取等号 而 a b c 是不全相等的正 数 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 6 已知定点 M 6 4 和射线 y 4x x 0 试在射线 上求一点 N 使射线 直线 MN 及 x 轴围成的三角形面积 S 最小 并求此最小面积 解析 解析 设 N 点的横坐标为 a a 0 则 N a 4a 于是 MN 所在直线的方程为 a 6 y 4 4a 4 x 6 令 y 0 则 x 0 a 1 设直线 MN 与 x 轴的交点为 Q 当且仅当 即 a 2 时 S OQN min 40 因此 在射线 上取点 N 2 8 时 所围的三角形面积最小 最小面积为 40 总结升华 总结升华 对于应用题要通过阅读 理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系 抽象出事物系统的主要特征与关系 建立起相应的能反映其本质属性的数学结构 从而建 立起数学模型 然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题 变式 如图 为处理含有某种杂质的污水 要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀 箱 污水从 A 孔流入 经沉淀后从 B 孔流出 设箱体的长度为 a 米 高度为 b 米 已知流 出的水中该杂质的质量分数与 a b 的乘积成反比 现有制箱材料 60 平方米 当 a b 各为多 少米时 经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小 A B 孔的面积忽略不计 答案答案 解法一 解法一 设 y 为流出的水中杂质的质量分数 则 依题意 即所求的 a b 的值使 y 值最小 据题意 有 4b 2ab 2a 60 a 0 b 0 得 0 a 30 于是 当时取等号 y 达到最小值 这时 a 6 a 10 舍去 将 a 6 代入 式得 b 3 答 当 a 为 6 米 b 为 3 米时 给沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小 解法二 解法二 令 u ab a2 u 30 a 2u 0 u 30 2 8u 0u2 68u 900 0 u 18 或 u 50 舍 当 u 18 时 a 6 b 3 当 a 6 b 3 时 umax 18 此时 ymin 解法三 解法三 2ab 2a 4b 60 直接利用不等式 a 2b 2 得 ab 2 30 0 将其看成是关于的二次不等式 这样可求得的最大值 这时当且仅当 a 2b 时等成立 由 ab a 2b 30 得 b2 2b 15 0 得 b 3 或 b 5 舍 故 a 6 解法四 解法四 由 ab a 2b 30 得 30