浙江省磐安县高考数学试题分类专题汇编 立体几何 新人教A版

1 高考数学试题分类汇编高考数学试题分类汇编 立体几何立体几何 一 选择题 1 上海卷 13 给定空间中的直线l及平面 条件 直线l与平面 内无数条直线都垂 直 是 直线l与平面 垂直 的 C 条件 A 充要 B 充分非必要 C 必要非充分 D 既非充分又非必要 2 全国一 11 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等 在底面内 111 ABCABC 1 AABC 的射影为的中心 则与底面所成角的正弦值等于 C ABC 1 ABABC A B C D 1 3 2 3 3 3 2 3 3 全国二 10 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等 是的中点 SABCD ESB 则所成的角的余弦值为 C AESD A B C D 1 3 2 3 3 3 2 3 4 全国二 12 已知球的半径为 2 相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆 若两圆的 公共弦长为 2 则两圆的圆心距等于 C A 1 B C D 223 5 北京卷 8 如图 动点在正方体的对角线上 过点作垂P 1111 ABCDABC D 1 BDP 直于平面的直线 与正方体表面相交于 设 则函数 11 BB D DMN BPx MNy 的图象大致是 B yf x AB C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A O y x B O y x C O y x D O 7 四川卷 设是球心的半径上的两点 且 分别过 M NOOPNPMNOM 作垂线于的面截球得三个圆 则这三个圆的面积之比为 D N M OOP 2 3 5 63 6 85 7 95 8 9 8 四川卷 设直线平面 过平面外一点与都成角的直线有且只有 l A l 0 30 B 条 条 条 条 9 天津卷 5 设是两条直线 是两个平面 则的一个充分条件是 Cba ba A B ba ba C D ba ba 10 安徽卷 4 已知是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中正确的 m n 是 D A B mnmn 若则 若则 C D mm 若则 mnmn 若则 11 山东卷 6 右图是一个几何体的三视图 根据图中数 据 可得该几何体的表面积是 D A 9 B 10 C 11 D 12 12 江西卷 10 连结球面上两点的线段称为球的弦 半径 为 4 的球的两条弦 的长度分别等于 ABCD2 7 分别为 的中点 每条弦的两端都4 3MNABCD 在球面上运动 有下列四个命题 弦 可能相交于点 弦 可能相交于点ABCDMABCDN 的最大值为 5 的最小值为 1MNMN 其中真命题的个数为 C A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 13 湖北卷 3 用与球心距离为 的平面去截球 所得的截面面积为 则球的体积为 B1 A B C D 3 8 3 28 28 3 32 14 湖南卷 5 设有直线m n和平面 下列四个命题中 正确的是 D A 若m n 则m n B 若m n m n 则 C 若 m 则m 3 D 若 m m 则m 15 湖南卷 9 长方体ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点在同一球面上 且AB 2 AD AA1 1 3 则顶点A B间的球面距离是 C A 2B C D 2 2 2 2 2 4 16 陕西卷 9 如图 到lABAB 的距离分别是和 与所成的角分别是和 在labAB AB 内的射影分别是和 若 则 D mnab A B mn mn C D mn mn 17 陕西卷 14 长方体的各顶点都在球的球面上 其中 1111 ABCDABC D O 两点的球面距离记为 两点的球面距离记为 1 1 1 2AB AD AA AB m 1 AD n 则的值为 m n 1 2 18 重庆卷 9 如解 9 图 体积为 V 的大球内有 4 个小球 每个小球 的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点 4 个小球的球心是 以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点 V1为小球相交部分 图中阴影部 分 的体积 V2为大球内 小球外的图中黑色部分的体积 则下列关系 中正确的是 D A V1 B V2 2 V 2 V C V1 V2 D V1 V2 19 福建卷6 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则BC1 与平面BB1D1D所成角的正弦值为 D A B 6 3 2 6 5 C D 15 5 10 5 A Ba b l 4 20 广东卷 5 将正三棱柱截去三个角 如图 1 所示分别是三边的中点 ABC GHI 得到几何体如图 2 则该几何体按图 2 所示方向的侧视图 或称左视图 为 A E F D I A HG BC E F D A BC 侧视 图 1图 2 B E A B E B B E C B E D 21 辽宁卷 11 在正方体ABCDA1B1C1D1中 E F分别为棱AA1 CC1的中点 则在空间 中与三条直线A1D1 EF CD都相交的直线 D A 不存在B 有且只有两条C 有且只有三条D 有无数条 22 海南卷 12 某几何体的一条棱长为 在该几何体的正视图中 这条棱的投影是7 长为的线段 在该几何体的侧视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线6 段 则 a b 的最大值为 C A B C 4D 223252 23 海南卷 15 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直底面 已知该六棱柱的顶点 都在同一个球面上 且该六棱柱的体积为 底面周长为 3 那么这个球的体积为 9 8 4 3 二 填空题 1 天津卷 13 若一个球的体积为 则它的表面积为 12 34 2 全国一 16 等边三角形与正方形有一公共边 二面角ABCABDEAB 的余弦值为 分别是的中点 则所成角的余CABD 3 3 MN ACBC EMAN 弦值等于 6 1 3 全国二 16 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个 如两组对边分别平 行 类似地 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件 充要条件 充要条件 写出你认为正确的两个充要条件 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点 底面是平行四边形 注 上面给出了四个充要条件 如果考生写出其他 正确答案 同样给分 5 4 四川卷 15 已知正四棱柱的对角线的长为 且对角线与底面所成角的余弦值为6 则该正四棱柱的体积等于 3 3 2 5 安徽卷 1616 已知在同一个球面上 若 A B C D ABBCD BCCD 6 AB 则两点间的球面距离是 2 13 AC 8AD B C 4 3 6 江西卷 16 如图 1 一个正四棱柱形的密闭容器底部 镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块 容器内盛有升水a 时 水面恰好经过正四棱锥的顶点 P 如果将容器倒置 水面也恰好过点 图 2 有下列四个命题 P A 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B 将容器侧面水平放置时 水面也恰好过点P C 任意摆放该容器 当水面静止时 水面都恰好经过点 P D 若往容器内再注入升水 则容器恰好能装满a 其中真命题的代号是 B D 写出所有真命题的代号 7 福建卷 15 若三棱锥的三个侧圆两两垂直 且侧棱长均为 则其外接球的表面积3 是 9 8 浙江卷 14 如图 已知球 O 点面上四点 A B C D DA平面 ABC ABBC DA AB BC 则球 O 点体积等于 3 9 2 9 辽宁卷 14 在体积为的球的表面上有A B C三点 AB 1 BC A C两4 3 2 点的球面距离为 则球心到平面ABC的距离为 3 3 3 2 三 解答题 1 1 全国一 全国一 1818 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 四棱锥四棱锥中 底面中 底面为矩形 侧面为矩形 侧面底面底面 ABCDE BCDEABC BCDE2BC 2CD ABAC 证明 证明 ADCE 设 设与平面与平面所成的角为所成的角为 求二面角 求二面角的大小 的大小 CEABE45 CADE C D E A B P P 图12图 6 解 1 取中点 连接交于点 BCFDFCEO ABAC AFBC 又面面 面 ABC BCDE AF BCDE AFCE 2 tantan 2 CEDFDC 即 90OEDODE 90DOE CEDF 面 CE ADFCEAD 2 在面内过点作的垂线 垂足为 ACDCADG 面 CGAD CEAD AD CEGEGAD 则即为所求二面角的平面角 CGE 2 3 3 AC CD CG AD A6 3 DG 22 30 3 EGDEDG 则 6CE 222 10 cos 210 CGGECE CGE CG GE A 即二面角的大小 10 arccos 10 CGE CADE 10 arccos 10 2 2 全国二 全国二 1919 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 正四棱柱如图 正四棱柱中 中 点 点在在上且上且 1111 ABCDABC D 1 24AAAB E 1 CC ECEC3 1 证明 证明 平面平面 1 AC BED 求二面角 求二面角的大小 的大小 1 ADEB 解法一 依题设知 2AB 1CE 连结交于点 则 ACBDFBDAC 由三垂线定理知 3 分 1 BDAC 在平面内 连结交于点 1 ACAEF 1 ACG 由于 1 2 2 AAAC FCCE 故 1 RtRtA ACFCE 1 AACCFE 与互余 CFE 1 FCA F O G A CD EB 18 题图 A B CD E A1 B1 C1 D1 A B C D E A1 B1 C1 D1 F H G 7 于是 1 ACEF 与平面内两条相交直线都垂直 1 ACBEDBDEF 所以平面 6 分 1 AC BED 作 垂足为 连结 由三垂线定理知 GHDE H 1 AH 1 AHDE 故是二面角的平面角 8 分 1 AHG 1 ADEB 22 3EFCFCE 2 3 CECF CG EF 22 3 3 EGCECG 1 3 EG EF 12 315 EFFD GH DE 又 22 11 2 6ACAAAC 11 5 6 3 AGACCG 1 1 tan5 5 AG AHG HG 所以二面角的大小为 12 分 1 ADEB arctan5 5 解法二 以为坐标原点 射线为轴的正半轴 DDAx 建立如图所示直角坐标系 Dxyz 依题设 1 2 2 0 0 2 0 0 21 2 0 4 BCEA 0 21 2 2 0 DEDB 3 分 11 2 24 2 0 4 ACDA 因为 1 0AC DB A 1 0AC DE A 故 1 ACBD 1 ACDE 又 DBDED 所以平面 6 分 1 AC DBE 设向量是平面的法向量 则 xyz n 1 DAE A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 8 DE n 1 DA n 故 20yz 240 xz 令 则 9 分1y 2z 4x 412 n 等于二面角的平面角 1 AC n 1 ADEB 42 14 cos 1 1 1 CAn CAn CAn 所以二面角的大小为 12 分 1 ADEB 14 arccos 42 3 3 北京卷 北京卷 1616 如图 在三棱锥 如图 在三棱锥中 中 PABC 2ACBC 90ACB APBPAB PCAC 求证 求证 PCAB 求二面角 求二面角的大小 的大小 BAPC 求点 求点到平面到平面的距离 的距离 CAPB 解法一 取中点 连结 ABDPDCD APBP PDAB ACBC CDAB PDCDD 平面 AB PCD 平面 PC PCD PCAB ACBC APBP APCBPC 又 PCAC PCBC 又 即 且 90ACB ACBC ACPCC 平面 BC PAC 取中点 连结 APEBECE ABBP BEAP 是在平面内的射影 EC BEPAC CEAP 是二面角的平面角 BEC BAPC 在中 BCE 90BCE 2BC 3 6 2 BEAB A C B D P A C B E P A C B P 9 6 sin 3 BC BEC BE 二面角的大小为 BAPC 6 arcsin 3 由 知平面 AB PCD 平面平面 APB PCD 过作 垂足为 CCHPD H 平面平面 APB PCDPD 平面 CH APB 的长即为点到平面的距离 CH CAPB 由 知 又 且 PCAB PCAC ABACA 平面 PC ABC 平面 CD ABC PCCD 在中 RtPCD 1 2 2 CDAB 3 6 2 PDPB 22 2PCPDCD 3 32 PD CDPC CH 点到平面的距离为 CAPB 2 3 3 解法二 ACBC APBP APCBPC 又 PCAC PCBC ACBCC 平面 PC ABC 平面 AB ABC PCAB 如图 以为原点建立空间直角坐标系 CCxyz 则 0 0 0 0 2 0 2 0 0 CAB 设 0 0 Pt A C B D P H A C B P z x y H E 10 2 2PBAB 2t 0 0 2 P 取中点 连结 APEBECE ACPC ABBP CEAP BEAP 是二面角的平面角 BEC BAPC 011 E 011 EC 211 EB 3 3 62 2 cos EBEC EBEC BEC 二面角的大小为 BAPC 3 arccos 3 ACBCPC 在平面内的射影为正的中心 且的长为点到平面的距C APBAPB HCHCAPB 离 如 建立空间直角坐标系 Cxyz 2BHHE 点的坐标为 H 2 2 2 3 3 3 2 3 3 CH 点到平面的距离为 CAPB 2 3 3 4 4 四川卷 四川卷 1919 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如 平面如 平面平面平面 四边形 四边形与与都是都是ABEF ABCDABEFABCD 直角梯形 直角梯形 0 90 BADFABBC 1 2 ADBE 1 2 AF 证明 证明 四点共面 四点共面 C D F E 设 设 求二面角 求二面角的大小 的大小 ABBCBE AEDB 解 1 延长交的延长线于点 由得DCABGBC 1 2 AD 11 1 2 GBGCBC GAGDAD 延长交的延长线于FEAB G 同理可得 1 2 G EG BBE G FG AAF 故 即与重合 G BGB G AGA G G 因此直线相交于点 即四点共面 CDEF G C D F E 设 则 1AB 1BCBE 2AD 取中点 则 又由已知得 平面AEMBMAE AD ABEF 故 与平面内两相交直线都垂直 ADBM BMADEADAE 所以平面 作 垂足为 连结BM ADEMNDE NBN 由三垂线定理知为二面角的平面角 BNEDBMN AEDB 213 223 ADAE BMMN DE 故 6 tan 2 BM BMN MN 所以二面角的大小AEDB 6 arctan 2 解 2 由平面平面 得平面 以为坐ABEF ABCDAFAB AF ABCDA 标原点 射线为轴正半轴 建立如图所示的直角坐标系ABxAxyz 设 则 ABa BCb BEc 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2B aC a bE acDbFc 0 0 2 2ECbcFDbc 故 从而由点 得 1 2 ECFD EFD ECFD 故四点共面 C D F E 设 则 1AB 1BCBE 1 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 1BCDE 12 在上取点 使 则DEM5DMME 5 1 5 6 3 6 M 从而 115 636 MB 又 1 2 1 0 DEMB DEMBDE 在上取点 使 则DEN2DNNE 2 2 2 3 3 3 N 从而 222 0 333 NANA DENADE 故与的夹角等于二面角的平面角 MB NA ADEB 10 cos 5 MB NA MB NA MBNA 所以二面角的大小ADEB 10 arccos 5 天津卷 19 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥中 底面是矩形 已知ABCDP ABCD 60 22 2 2 3 PABPDPAADAB 证明平面 ADPAB 求异面直线与所成的角的大小 PCAD 求二面角的大小 ABDP 19 本小题主要考查直线和平面垂直 异面直线所成的角 二 面角等基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 满分 12 分 证明 在中 由题设可得PAD 22 2 PDPA 于是 在矩形中 又 222 PDADPA PAAD ABCDABAD AABPA 所以平面 ADPAB 解 由题设 所以 或其补角 是异面直线与所成的ADBC PCB PCAD 角 在中 由余弦定理得PAB 由 知平面 平面 ADPAB PBPAB 所以 因而 于是是直角三角PBAD PBBC PBC 7cos2 22 PABABPAABPAPB 13 N M A B D C O 形 故 2 7 tan BC PB PCB 所以异面直线与所成的角的大小为 PCAD 2 7 arctan 解 过点 P 做于 H 过点 H 做于 E 连结 PEABPH BDHE 因为平面 平面 所以 又 ADPAB PHPABPHAD AABAD 因而平面 故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影 由三垂线定理可知 PHABCD 从而是二面角的平面角 PEBD PEH ABDP 由题设可得 13 4 13 2 160cos 360sin 22 BH BD AD HE ADABBDAHABBH PAAHPAPH 于是再中 PHERT 4 39 tan PEH 所以二面角的大小为 ABDP 4 39 arctan 安徽卷安徽卷 18 本小题满分 本小题满分 1212 分分 如图 在四棱锥中 底面四边长为 1 的菱形 OABCD ABCD 4 ABC 为的中点 为的中点OAABCD 2OA MOANBC 证明 直线 MNOCD 求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 求点 B 到平面 OCD 的距离 方法一 综合法 方法一 综合法 1 1 取 OB 中点 E 连接 ME NE MECDMECD AB AB 又 NEOCMNEOCD MNOCD 2 2 CD AB 为异面直线与所成的角 或其补角 MDC ABMD 14 作连接 APCDP MP ABCD O A C DM P 2 42 ADP D P 22 2MDMAAD 1 cos 23 DP MDPMDCMDP MD 所以 与所成角的大小为ABMD 3 3 3 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等 连接 OP 过点 A 作AB O C D 于点 Q AQOP APCD OACDCDOAPAQCD 又 线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离 AQOPAQOCD 22222 13 2 4 1 22 OPODDPOAADDP 2 2 APDP 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 2 2 2 33 2 2 OA AP AQ OP A A 2 3 方法二方法二 向量法向量法 作于点 P 如图 分别以 AB AP AO 所在直线为轴建立坐标系APCD x y z 22222 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 22244 ABPDOMN 1 1 22222 1 1 0 2 2 44222 MNOPOD 设平面 OCD 的法向量为 则 nx y z 0 0n OPn OD AA 15 xy z N M A B D C O P 即 2 20 2 22 20 22 yz xyz 取 解得2z 0 4 2 n 22 1 1 0 4 2 0 44 MN n A A MNOCD 2 2 设与所成的角为 ABMD 22 1 0 0 1 22 ABMD 与所成角的大小为 1 cos 23 AB MD ABMD A ABMD 3 3 3 设点 B 到平面 OCD 的距离为 则为在向量上的投影的绝对值 ddOB 0 4 2 n 由 得 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 1 0 2 OB 2 3 OB n d n 2 3 山东卷 20 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥P ABCD 底面ABCD为菱形 PA 平 面ABCD E F分别是BC PC的中点 60ABC 证明 AE PD 若H为PD上的动点 EH与平面PAD所成最大角 的正切值为 求二面角E AF C的余弦值 6 2 证明 由四边形ABCD为菱形 ABC 60 可 得 ABC为正三角形 因为 E为BC的中点 所以AE BC 又 BC AD 因此AE AD 因为PA 平面ABCD AE平面ABCD 所以PA AE 而 PA平面PAD AD平面PAD 且PA AD A 所以 AE 平面PAD 又 PD平面PAD 所以 AE PD 解 设AB 2 H 为PD上任意一点 连接AH EH 由 知 AE 平面PAD 则 EHA为EH与平面PAD所成的角 在 Rt EAH中 AE 3 16 所以 当AH最短时 EHA最大 即 当AH PD时 EHA最大 此时 tan EHA 36 2 AE AHAH 因此 AH 又 AD 2 所以 ADH 45 2 所以 PA 2 解法一 因为 PA 平面ABCD PA平面PAC 所以 平面PAC 平面ABCD 过E作EO AC于O 则EO 平面PAC 过O作OS AF于S 连接ES 则 ESO为二面角E AF C的平面角 在 Rt AOE中 EO AE sin30 AO AE cos30 3 2 3 2 又 F 是 PC 的中点 在 Rt ASO中 SO AO sin45 3 2 4 又 22 3830 494 SEEOSO 在 Rt ESO中 cos ESO 3 2 15 4 530 4 SO SE 即所求二面角的余弦值为 15 5 解法二 由 知AE AD AP两两垂直 以 A 为坐标原点 建立如图所示的空间 直角坐标系 又 E F 分别为 BC PC 的中点 所以 E F 分别为 BC PC 的中点 所以 A 0 0 0 B 1 0 C C 1 0 3 D 0 2 0 P 0 0 2 E 0 0 F 3 3 1 1 22 所以 3 1 3 0 0 1 22 AEAF 设平面AEF的一法向量为 111 mx y z 17 则 因此 0 0 m AE m AF A A 1 111 30 31 0 22 x xyz 取 1 1 0 2 1 zm 则 因为 BD AC BD PA PA AC A 所以 BD 平面AFC 故 为平面AFC的一法向量 BD 又 BD 3 3 0 所以 cos m BD 2 315 5 512 m BD mBD A A 因为 二面角E AF C为锐角 所以所求二面角的余弦值为 15 5 江苏卷 16 在四面体 ABCD 中 CB CD AD BD 且 E F 分别是 AB BD 的中点 求证 直线 EF 面 ACD 面 EFC 面 BCD 解析 本小题考查空间直线与平面 平面与平面的位置关系的判定 E F 分别是 AB BD 的中点 EF 是 ABD 的中位线 EF AD EF面 ACD AD 面 ACD 直线 EF 面 ACD AD BD EF AD EF BD CB CD F 是 BD 的中点 CF BD 又 EFCF F BD 面 EFC BD面 BCD 面 EFC 面 BCD 江西卷 解 1 证明 依题设 是的中位线 所以 EFABC EFBC 则 平面 所以 EFOBCEF 11 BC 又是的中点 所以 则 HEFAHEFAH 11 BC 因为 OAOBOAOC 所以 面 则 OAOBCOA 11 BC 因此 面 11 BCOAH 2 作 于 连 因为 平面 ON 11 ABN 1 C N 1 OC 11 OAB 根据三垂线定理知 1 C N 11 AB N M B1 C1 A1 H F E C B A O 18 就是二面角的平面角 1 ONC 111 OABC 作 于 则 则是的中点 则 EM 1 OBMEMOAMOB1EMOM 设 由得 解得 1 OBx 11 1 OBOA MBEM 3 12 x x 3x 在中 则 11 Rt OAB 22 1111 3 5 2 ABOAOB 11 11 3 5 OA OB ON AB 所以 故二面角为 1 1 tan5 OC ONC ON 111 OABC arctan5 解法二 1 以直线分别为轴 建立空间直角坐标系 OAOCOB xy z 则Oxyz 1 1 2 0 0 0 0 2 0 2 0 1 0 1 1 1 0 1 2 2 ABCEFH 所以 1 11 1 1 1 0 2 2 2 22 2 AHOHBC 所以0 0AH BCOH BC 所以平面BC OAH 由 得 故 平面EFBC 11 BCBC 11 BC OAH 2 由已知设 1 3 0 0 2 A 1 0 0 Bz 则 11 1 0 1 1 0 1 2 AEEBz 由与共线得 存在有得 1 AE 1 EB R 11 AEEB 1 1 3 0 0 3 2 1 1 zB z 同理 1 0 3 0 C 1111 33 0 3 3 0 22 ABAC 设是平面的一个法向量 1 111 nx y z 111 ABC B1 C1 A1 H F E C B A O x y z 19 则令得 3 30 2 3 30 2 xz xy 2x 1yx 1 2 1 1 n 又是平面的一个法量 2 0 1 0 n 11 OAB 12 16 cos 64 1 1 n n 所以二面角的大小为 6 arccos 6 3 由 2 知 平面的一个法向量为 1 3 0 0 2 A 0 0 2 B 111 ABC 1 2 1 1 n 则 1 3 0 2 2 AB 则点到平面的距离为B 111 ABC 11 1 326 66 AB n d n 湖北卷 18 本小题满分 12 分 如图 在直三棱柱中 平面侧 111 ABCABC ABC 面 11 A ABB 求证 ABBC 若直线与平面所成的角为 二面角AC 1 ABC 的大小为 试判断与的大小关系 1 ABCA 并予以证明 18 本小题主要考查直棱柱 直线与平面所成角 二面角和线面关系等有关知识 同时考查 空间想象能力和推理能力 满分 12 分 证明 如右图 过点A在平面A1ABB1内作 AD A1B于D 则 由平面A1BC 侧面A1ABB1 且平面A1BC侧面A1ABB1 A1B 得 AD 平面A1BC 又 BC平面A1BC 所以AD BC 因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱 20 则AA1 底面ABC 所以AA1 BC 又AA1AD A 从而BC 侧面A1ABB1 又AB侧面A1ABB1 故AB BC 解法 1 连接 CD 则由 知是直线AC与平面A1BC所成的角 ACD 是二面角A1 BC A的平面角 即 1 ABA 1 ACDABA 于是在 Rt ADC中 在 Rt ADB中 sin AD AC sin AD AB 由AB AC 得又所以sinsin 0 2 解法 2 由 知 以点B为坐标原点 以BC BA BB1所在的直线分 别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设AA1 a AC b AB c 则 B 0 0 0 A 0 c 0 于是 22 1 0 0 0 CbcAc a 22 1 0 0 0 BCbcBAc a 22 1 0 0 0 ACbccAAa 设平面A1BC的一个法向量为n x y z 则 由得 1 0 0 n BA n BC A A 22 0 0 cyaz bc x 可取n 0 a c 于是与n的夹角为锐角 则与互为余角 0n ACacAC A 22 sincos n ACac n ACb ac A A 所以 1 22 1 cos BA BAc BABAac A A 22 sin a ac 于是由c b 得 2222 aca b acac 即又所以sinsin 0 2 湖南卷 17 本小题满分 12 分 如图所示 四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为 1 的菱形 BCD 60 E是CD的中点 PA 底面ABCD PA 2 证明 平面PBE 平面PAB 21 求平面PAD和平面PBE所成二面角 锐角 的大小 解 解法一 如图所示 连结BD 由ABCD是菱形且 BCD 60 知 BCD是等边三角形 因为E是CD的中点 所以BE CD 又 AB CD 所以BE AB 又因为PA 平面ABCD 平面ABCD 所BE 以 PA BE 而AB A 因此BE 平面PAB PA 又平面PBE 所以平面PBE 平面PAB BE 延长AD BE相交于点F 连结PF 过点A作AH PB于H 由 知 平面PBE 平面PAB 所以AH 平面PBE 在 Rt ABF中 因为 BAF 60 所以 AF 2AB 2 AP 在等腰 Rt PAF中 取PF的中点G 连接AG 则AG PF 连结HG 由三垂线定理的逆定理得 PF HG 所以 AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角 锐角 在等腰 Rt PAF中 2 2 2 AGPA 在 Rt PAB中 22 22 5 55 AP ABAP AB AH PB APAB AA 所以 在 Rt AHG中 2 5 10 5 sin 52 AH AGH AG 故平面PAD和平面PBE所成二面角 锐角 的大小是 10 arcsin 5 解法二 如图所示 以A为原点 建立空间直角坐标系 则相关各点 的坐标分别是A 0 0 0 B 1 0 0 P 0 0 2 33 0 22 C 13 0 22 D 3 1 0 2 E 因为 3 0 0 2 BE 平面PAB的一个法向量是 0 0 1 0 n 所以共线 从而BE 平面PAB 0 BEn 又因为平面PBE BE 22 故平面PBE 平面PAB 易知 3 1 0 2 0 0 2 PBBE 13 0 0 2 0 22 PAAD 设是平面PBE的一个法向量 则由得 1111 nx y z 1 1 0 0 n PB n BE A A 所以 111 122 020 3 000 2 xyz xyz 1111 0 2 2 0 1 yxzn 故可取 设是平面PAD的一个法向量 则由得 2222 nxyz 2 2 0 0 n PA n AD A A 所以故可取 222 222 0020 13 00 22 xyz xyz 222 0 3 zxy 2 3 1 0 n 于是 12 12 12 2 315 cos 552 n n n n nn A A 故平面PAD和平面PBE所成二面角 锐角 的大小是 15 arccos 5 陕西卷 19 本小题满分 12 分 三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示 截面为ABC 平面 111 ABC90BAC 1 A A ABC 1 3A A 2AB 2AC 11 1AC 1 2 BD DC 证明 平面平面 1 A AD 11 BCC B 求二面角的大小 1 ACCB 解法一 平面平面 1 A A ABCBC ABC 在中 1 A ABC RtABC 226ABACBC 又 1 2BD DC 6 3 BD 3 3 BDAB ABBC 即 DBAABC 90ADBBAC ADBC 又 平面 1 A AADA BC 1 A AD A1 A C1 B1 BD C 23 平面 平面平面 BC 11 BCC B 1 A AD 11 BCC B 如图 作交于点 连接 1 AEC C 1 C CEBE 由已知得平面 AB 11 ACC A 是在面内的射影 AE BE 11 ACC A 由三垂线定理知 1 BECC 为二面角的平面角 AEB 1 ACCB 过作交于点 1 C 1 C FAC ACF 则 1CFACAF 11 3C FA A 1 60C CF 在中 RtAEC 3 sin6023 2 AEAC 在中 RtBAE 26 tan 33 AB AEB AE 6 arctan 3 AEB 即二面角为 1 ACCB 6 arctan 3 解法二 如图 建立空间直角坐标系 则 11 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 03 013 ABCAC 1 2BD DC 1 3 BDBC 点坐标为 D 2 2 2 0 33 2 2 2 0 33 AD 1 2 2 0 0 03 BCAA 又 1 0BC AA A0BC AD A 1 BCAA BCAD 1 A AADA 平面 又平面 平面平面 BC 1 A ADBC 11 BCC B 1 A AD 11 BCC B A1 A C1 B1 B D C F E 第 19 题 解法一 A1 A C1 B1 B D C z y x 第 19 题 解法二 24 平面 取为平面的法向量 BA 11 ACC A 2 0 0 AB m 11 ACC A 设平面的法向量为 则 11 BCC B lmn n 1 00BCCC AA nn 220 30 lm mn 3 2 3 lmnm 如图 可取 则 1m 3 21 3 n 2 22222 3 220 1 0 15 3 cos 5 3 2 00 2 1 3 A mn 即二面角为 1 ACCB 15 arccos 5 重庆卷 19 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 如题 19 图 在中 B AC ABCA90 D E两点分别在AB AC上 使 15 2 DE 3 现将沿DE折成直2 ADAE DBEC ABCA 二角角 求 异面直线 AD 与 BC 的距离 二面角 A EC B 的大小 用反三角函数表示 解法一 在答 19 图 1 中 因 故BE BC 又因B 90 从而 ADAE DBCE AD DE 在第 19 图 2 中 因A DE B是直二面角 AD DE 故AD 底面DBCE 从而AD DB 而DB BC 故DB为异面直线 AD与BC的公垂线 下求DB之长 在答 19 图 1 中 由 得2 ADAE CBBC 2 3 DEAD BCAB 又已知DE 3 从而 39 22 BCDE 22 22 159 6 22 ABACBC 25 因 1 2 3 DB DB AB 在第 19 图 2 中 过D作DF CE 交CE的延长线于F 连接AF 由 1 知 AD 底面DBCE 由三垂线定理知AF FC 故 AFD为二面角A BC B的平面 角 在底面DBCE中 DEF BCE 1 155 2 3 22 DBEC A 因此 4 sin 5 DB BCE EC 从而在 Rt DFE中 DE 3 412 sinsin3 55 DFDEDEFDEBCE A 在 5 Rt 4 tan 3 AD AFDADAFD DF 因此所求二面角A EC B的大小为 arctan 5 3 解法二 同解法一 如答 19 图 3 由 知 以D点为坐标原点 的方向为DB DE DA x y z轴的正方向建立空间直角坐标系 则D 0 0 0 A 0 0 4 E 0 3 0 9 20 2 C 过D作DF CE 交CE的延长线 3 0 2 ADAD 2 0 0 4 于F 连接AF 设从而 00 0 F xy 00 0 DFxy 有 00 3 0 EFxyDFCE 由 00 3 0 20 2 DF CExy A即 又由 00 3 3 2 2 xy CE EF A得 联立 解得 00 364836 4836 48 0 4 252525 2525 25 xyFAF 即 得 26 因为 故 又因 所以 36483 2 0 25252 AF CE AAAAFCE DFCE 为所求的二面角A EC B的平面角 因有DFA 36 48 0 25 25 DF 所以 22 364812 4 25255 DFAD 5 tan 3 AD AFD DF 因此所求二面角A EC B的大小为 5 arctan 3 福建卷 18 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥P ABCD中 则面 PAD 底面ABCD 侧棱 PA PD 底面ABCD为直角梯形 其中2 BC AD AB AD AD 2AB 2BC 2 O为AD中点 求证 PO 平面ABCD 求异面直线PD与CD所成角的大小 线段AD上是否存在点Q 使得它到平面PCD的距离为 若存在 求出 3 2 AQ QD 的值 若不存在 请说明理由 本小题主要考查直线与平面的位置关系 异面直线所成角 点到平面的距离等基本知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 满分 12 分 解法一 证明 在 PAD中PA PD O为AD中点 所以PO AD 又侧面PAD 底面ABCD 平面平面ABCD AD PAD 平面PAD PO 所以PO 平面ABCD 连结BO 在直角梯形ABCD中 BC AD AD 2AB 2BC 有OD BC且OD BC 所以四边形OBCD是平行四边形 所以OB DC 由 知 PO OB PBO为锐角 所以 PBO是异面直线PB与CD所成的角 因为AD 2AB 2BC 2 在 Rt AOB中 AB 1 AO 1 所以OB 2 在 Rt POA中 因为AP AO 1 所以OP 1 2 在 Rt PBO中 tan PBO 122 arctan 222 PG PBO BC 27 所以异面直线PB与CD所成的角是 2 arctan 2 假设存在点 Q 使得它到平面 PCD 的距离为 3 2 设QD x 则 由 得CD OB 1 2 DQC Sx 2 在 Rt POC中 22 2 PCOCOP 所以PC CD DP 2 33 2 42 PCD S A 由Vp DQC VQ PCD 得 2 所以存在点Q满足题意 此时 1 3 AQ QD 解法二 同解法一 以O为坐标原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向 建立空间直OC OD OP 角坐标系O xyz 依题意 易得 A 0 1 0 B 1 1 0 C 1 0 0 D 0 1 0 P 0 0 1 所以110111CDPB 所以异面直线PB与CD所成的角是 arccos 6 3 假设存在点Q 使得它到平面PCD的距离为 3 2 由 知 1 0 1 1 1 0 CPCD 设平面PCD的法向量为n x0 y0 z0 则所以即 0 0 n CP n CD A A 00 00 0 0 xz xy 000 xyz 取x0 1 得平面PCD的一个法向量为n 1 1 1 设由 得解y 0 0 11 1 0 QyyCQy 3 2 CQ n n A 13 2 3 y 或y 舍去 1 2 5 2 此时 所以存在点Q满足题意 此时 13 22 AQQD 1 3 AQ QD 28 广东卷 20 本小题满分 14 分 如图 5 所示 四棱锥的底面是半径为的圆的内接PABCD ABCDR 四边形 其中是圆的直径 垂直BD60ABD 45BDC PD 底面 分别是上的点 且ABCD2 2PDR EF PBCD 过点作的平行线交于 PEDF EBFC EBCPCG 1 求与平面所成角的正弦值 2 证明 是直角BDABP EFG 三角形 3 当时 求的面积 1 2 PE EB EFG 解析 1 在中 Rt BAD 60ABD 3ABR ADR 而 PD 垂直底面 ABCD 2222 2 2 3 11PAPDADRRR 2222 2 2 2 2 3PBPDBDRRR 在中 即为以为直角的直角三角形 PAB 222 PAABPB PAB PAB 设点到面的距离为 由有 即DPABH P ABDD PAB VV PA AB HAB AD PD AAAA 32 22 66 1111 AD PDRR HR PAR AA66 sin 11 H BD 2 而 即 PEPG EGBC EBGC PEDF EBFC PGDF GFPD GCDC GFBC 是直角三角形 GFEG EFG 3 时 1 2 PE EB 1 3 EGPE BCPB 2 3 GFCF PDCD 即 112224 2 2cos45 2 2 333333 EGBCRR GFPDRR 的面积EFG 2 1124 24 22339 EFG SEG GFRRR A 浙江卷 18 本题 14 分 如图 矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直 BE CF BCF CEF AD EF 2 903 求证 AE 平面 DCF 当 AB 的长为何值时 二面角 A EF C 的大小为 60 本题主要考查空间线面关系 空间向量的概念与运算等基础知识 同时考查空间想象能力本题主要考查空间线面关系 空间向量的概念与运算等基础知识 同时考查空间想象能力 和推理运算能力 满分和推理运算能力 满分 1414 分 分 F C P G E A B 图 5 D 29 方法一 证明 过点作交于 连结 EEGCF CFGDG 可得四边形为矩形 BCGE 又为矩形 ABCD 所以 从而四边形为平行四边形 ADEG ADGE 故 AEDG 因为平面 平面 AE DCFDG DCF 所以平面 AE DCF 解 过点作交的延长线于 连结 BBHEF FEHAH 由平面平面 得ABCD BEFCABBC 平面 AB BEFC 从而 AHEF 所以为二面角的平面角 AHB AEFC 在中 因为 所以 RtEFG 3EGAD 2EF 60CFE 1FG 又因为 所以 CEEF 4CF 从而 3BECG 于是 3 3 sin 2 BHBEBEH A 因为 tanABBHAHB A 所以当为时 二面角的大小为 AB 9 2 AEFC 60 方法二