利用几何画板尝试指对数函数图像交点问题的探究

1 利用几何画板尝试指对数函数图像交点问题的探究利用几何画板尝试指对数函数图像交点问题的探究 从一道作业的 勘误 说起 李永胜 江苏省沛县湖西中学 221611 1 作业出差错 勘误引分争作业出差错 勘误引分争 在一次作业中布置了这样一道填空题 指数函数和对数函数 的图像 x ay xy a log 10 a 的交点有 个 随后 勘误 为 把题目中 改为 于是与一位同学有了如下一段对话 x ay x ay 生 老师 这个题不用改 该生胸有成竹的样子 师 你做出答案了吗 生 做出来了 1 个 该生表现非常自信的样子 回答也是铿锵有力 师 1 个吗 你是怎么做的 生 画图呀 顺手画出了一个图像 师 你画得准确吗 生 书中都是这么画的 学生的情绪稍微有些激动 立即把苏教版高中数学必修 1 教材的第 66 页 上 图 2 3 2 中 函数与在同一坐标系中图像 翻开给我看 显然学生是有备而来 x y 2 1 xy 2 1 log 的 作为老师 没有理由不去理解学生的此时此刻的想法 于是在这样的情绪中我们之间对话进一步深 入 师 你认为这个交点在哪里 生 它们互为反函数 交点应该在直线上 学生思考片刻回答道 xy 师 我并没有动声色 请做一个考题 2003 年高考上海卷 在 和 1 1 P 2 1 Q 3 2 M 四点中 函数的图像与其反函数的图像的公共点只可能是点 4 1 2 1 N x ay A B C D PQMN 生 选 A 学生按照自己的想法 很快说出了答案 师 理由 生 只有点在直线上 Pxy 2 师 你把点的坐标代入函数试试 希望这样能改变学生的错误认识 P x ay 生 答案 A 不对 应该选 D 此时学生的表情有些羞愧和迷茫 师 选对了 从这个考题中 我们很容易发现点是指数函数与对数函数 2 1 4 1 x y 16 1 图像的一个交点 xy 16 1 log 师 你再验证一下 点是不是它们的另一个交点 4 1 2 1 生 是它们的交点 此时 学生被我 说服 了 显得有些尴尬的样子 直点头说 我怎么没有 想到呀 师 很容易发现这两个点是关于直线对称 但不在直线上 其实 像你刚才认为一样 xy xy 指数函数与对数函数图像在直线上还有一个交点 x y 16 1 xy 16 1 log xy 生 谢谢老师 学生迟疑一下 感觉欲言又止 转身离开了办公室 2 对话陷思考 画板见端倪对话陷思考 画板见端倪 其实在与这位同学的对话中 让我有一次惊讶和尴尬的场面 就是这位学生让我看书中 函数 与在同一坐标系中的图像 时 真没有想到他会用这个实例来让我 折服 要不是 x y 2 1 xy 2 1 log 我想到 2003 年上海市的那道高考试题 我真不知道怎么让这位学生 信服 然而学生转身离去前的那 种困惑的眼神和尴尬的表情却让我陷入了思考 为什么函数与的图像只有一个交点 x y 2 1 xy 2 1 log 函数与图像却有三个交点 指数函数和对数函数的交点个数与 x y 16 1 xy 16 1 log x ay xy a log 底数之间究竟有什么 不解之缘 a 由于草图粗糙失真 当时 我们在同一坐标系里画出和的图像常常习惯10 a x ay xy a log 认为只有一个交点的情况 其实它们还会出现有三个交点的情况 这种情况不但是难以想象 而且是 无法 徒手画出它们不在直线上交点 于是想到了 几何画板 能把较为抽象的图像形象化 动xy 态化这一特色功能 最终利用它不但很容易地在同一坐标系里画出了含参的指数函数和对数函数 x ay 图像 而且还通过动画演示 比较直观的发现了指数函数和对数函数图像xy a log x ay xy a log 的交点情况 3 为了让读者也能利用 几何画板 去画出它们的图像 并且能通过演示直观感受它们的交点情况 下 面就以上指对数函数图像的制作过程和演示结果简单介绍如下 图像制作 图像制作 S1 打开 几何画板 后 选择 文件 新建画板 命令 建立新的画板 S2 选择 直尺工具 按钮 在 工作区 内的恰当位置 单击后按住 shift 拖动鼠标画出一条 水平的射线 S3 单击 文本工具 按钮 鼠标指针变为手形 指向刚刚绘制射线的端点 单击鼠标 显示该 点的标签为 A S4 单击 点工具 按钮选择 在射线上绘制两个点 重复步骤 S3 显示此两点的标签分别为 B 和 C S5 单击 选择箭头工具 按钮 选中射线及射线上的一个控制点 选择 显示 隐藏对象 命令 隐藏该射线和点 S6 选中 点和 点 选择 构造 线段 命令 构造线段 并选择 度量 ABAB 长度 计算出线段的长度 同样方法 构造线段和计算其长度 AB ABmAC ACm S7 选择 度量 计算 命令 打开 新建计算 对话框 依次点击 ABm 单击 确定 按钮 计算出 ACm ACm ABm S8 鼠标右键单击 属性 打开 度量结果 3 的属性 对话框 选择 标签 则 ACm ABm 标签栏中输入 a 单击 确定 按钮 出现 a 的参数标签 如图 1 所示 S9 选择 图表 绘制新函数 打开 新建函数 对话框 依次单击 a x 单击 确定 按钮 绘制出函数 f x ax的图像 S10 采取类似步骤 S9 的方法 同样绘制函数 g y ay和 h x x 的图像 如图 2 所示 图中的函数 f x ax g y ay和 h x x 分别是文中函数 和 x ay xy a log xy 图 1 图 2 4 交点演示 交点演示 演示 不断拖动点和点 改变指对数函数的底数 a 的大小 当 a 的值越来越小时 指对数函BC 数图像的交点变化从图 2 变到图 3 演示 同样拖动点和点 使其 a 值大于 1 当 a 的值越来越大时 此时指对数函数图像的交BC 点情况如图 4 图 5 和图 6 所示 通过以上的演示 不难发现 当时 函数和的图像的交点有 1 个或 310 a x ay xy a log 个两种情况 当时 函数和的图像的交点有 0 个 1 个或 2 个三种情况 1 a x ay xy a log 3 探索出结论 推理现真知探索出结论 推理现真知 从上面的演示结果中 又有了一个更挑战性的问题出现了 在这个前提下 当在什么范10 aa 图 3 图 4 图 5 图 6 5 围内取值时 函数和的图像有 1 个交点 又当在什么范围内取值时 函数和 x ay xy a log a x ay 的图像有 3 个交点 同样地 在时 当在什么范围内取值时 函数和xy a log 1 aa x ay 的图像有 0 个 1 个和 2 个交点呢 xy a log 问题在不断的发现 探索在时刻的进行 结论却在不经意中呈现 结论结论 1 当且仅当时 函数和的图像有 3 个交点 其中一个交点在直 1 0 e e a x ay xy a log 线上 另外两个交点关于直线对称 而时 函数和的图像有xy xy 1 1 e e a x ay xy a log 且只有 1 个交点在直线上 xy 结论结论 2 当时 函数和的图像有 2 个交点 且都在直线上 当 1 1 e ea x ay xy a log xy 时 函数和的图像有且只有 1 个交点且交点坐标为 当 e ea 1 x ay xy a log ee 时 函数和的图像没有交点 1 e ea x ay xy a log 结论 1 在文 1 已经有了详细的证明 请读者查证 下面就结论 2 证明探讨如下 由上面的演示 已经直观的知道了当时 函数和的图像的交点情况 并且还1 a x ay xy a log 知道了它们交点为 1 个和 2 个时 交点都在直线上 因此要探讨函数和的图像xy x ay xy a log 的交点问题 只需要探讨与的图像的交点个数问题 x ay xy 首先探究当取何值时 与的图像只有一个交点 a x ay xy 事实上 与只有一个交点时 直线与指数函数的图像相切 设此时的切 x ay xy xy x ay 点坐标设为 则有 即 1 又 于是有 2 ts1 s a1ln aa s ts s at s as 由 1 2 两式得 即 3 1ln ases a log 把 3 式代人 2 式得 即 e a a ae log log ee a log 两边取倒数得 故有 与此同时 把 e a 1 ln e ea 1 代人 1 式可求得 即时 直线 e ea 1 es e ea 1 与指数函数的图像相切且切点坐标为 xy x ay ee 如图 7 所示 图 7 6 在此基础上 不难说明函数与的图像有 0 个或 2 个交点情况 事实上 x ay xy 当时 对于任意的都有 所以当时 函数的图像恒在 e ea 1 1 0 x x e x ea 1 0 x x ay 的下方 所以的图像和的图像有 2 个交点 如图 8 所示 x e ey 1 x ay xy 当时 对于任意的都有 所以当时 函数的图像恒在 e ea 1 0 x x e x ea 1 0 x x ay 的上方 所以的图像和的图像没有交点 如图 9 x e ey 1 x ay xy 由函数和的图像关于对称 所以由与的交点情况不难发现函 x ay xy a log xy x ay xy 数和的图像的交点情况是一致的 因此结论 2 成立就不言而喻了 x ay xy a log 4 对话得收获 反思多感慨对话得收获 反思多感慨 由于受教材和我们平时在教学中画图的习惯性 不只是学生会认为当时指对数函数的交点10 a 是 1 个和当时它们的交点是 0 个的错误认识 就连我们老师对时有 1 个或 2 个交点也许是从1 a1 a 未注意 而对时有 3 个交点也是难以想象的一种情况 因此在本文中与学生对话时 该生认为10 a 此作业题不必 勘误 和答案是 1 个交点 的理由实在是 情理之中 的想法 当我把指对数函数图像 的交点课件演示和结论告诉同学们时 几乎所有的学生才恍然大悟 美国心理学家 R Bainbridge 所说 差错人皆有之 作为教师不利用是不能原谅 没有大量错误作 为台阶就不能攀登上正确结果