立体几何题型的解题技巧适合总结提高用

第六讲 立体几何新题型的解题技巧 考点考点 1 点到平面的距离点到平面的距离 例 1 2007 年福建卷理 年福建卷理 如图 正三棱柱的所有棱长都为 为中点 111 ABCABC 2D 1 CC 求证 平面 1 AB 1 ABD 求二面角的大小 1 AADB 求点到平面的距离 C 1 ABD 例例 2 2006 年湖南卷 如图 已知两个正四棱锥 P ABCD 与 Q ABCD 的高分别为 1 和 2 AB 4 证明 PQ 平面 ABCD 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角 求点 P 到平面 QAD 的距离 Q B C P A D O M A B C D 1 A 1 C 1 B 考点考点 2 异面直线的距离异面直线的距离 例例 3 已知三棱锥 底面是边长为的正三角形 棱ABCS 24 的长为 2 且垂直于底面 分别为的中点 求SCDE ABBC CD 与 SE 间的距离 考点考点 3 直线到平面的距离直线到平面的距离 例例 4 如图 在棱长为 2 的正方体中 G 是的中点 求 BD 到平面的距离 1 AC 1 AA 11D GB 考点考点 4 异面直线所成的角异面直线所成的角 例例 5 2007 年北京卷文 年北京卷文 如图 在中 斜边 可以通过RtAOB 6 OAB 4AB RtAOC 以直线为轴旋转得到 且二面角的直二面角 是RtAOB AOBAOC D 的中点 AB I 求证 平面平面 COD AOB II 求异面直线与所成角的大小 AOCD BA C D O G H 1 A 1 C 1 D 1 B 1 O O C A D B E A B C Q P 例例 6 2006 年广东卷 如图所示 AF DE 分别是 O O1的直径 AD 与两圆所在的平 面均垂直 AD 8 BC 是 O 的直径 AB AC 6 OE AD 求二面角 B AD F 的大小 求直线 BD 与 EF 所成的角 考点考点 5 直线和平面所成的角直线和平面所成的角 例例 7 20072007 年全国卷年全国卷 理 理 四棱锥中 底面为平行四边形 侧面底面 已知 SABCD ABCDSBC ABCD45ABC 2AB 2 2BC 3SASB 证明 SABC 求直线与平面所成角的大小 SDSAB 考点考点 6 二面角二面角 例例 8 2007 年湖南卷文 年湖南卷文 如图 已知直二面角 PQ APQ B C CACB 直线和平面所成的角为 45BAP CA 30 I 证明 BCPQ II 求二面角的大小 BACP D B C A S 例例 9 2006 年重庆卷 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA底面 ABCD DAB 为直角 AB CD AD CD 2AB E F 分别为 PC CD 的中点 试证 CD平面 BEF 设 PA k AB 且二面角 E BD C 的平面角大于 求 k 的 30 取值范围 考点考点 7 利用空间向量求空间距离和角利用空间向量求空间距离和角 例例 10 20072007 年江苏卷 年江苏卷 如图 已知 1111 ABCDABC D 是棱长为3的正方体 点E在 1 AA上 点F在 1 CC上 且 1 1AEFC 1 求证 1 EBFD 四点共面 2 若点G在BC上 2 3 BG 点M在 1 BB上 GMBF 垂足为H 求证 EM 平面 11 BCC B 3 用 表示截面 1 EBFD和侧面 11 BCC B所成的锐二面角的大小 求tan CB A G H M D EF 1 B 1 A 1 D 1 C 例例 11 2006 年全国 卷 如图 l1 l2是互相垂直的两条异面直线 MN 是它们的公垂线段 点 A B 在 l1上 C 在 l2上 AM MB MN I 证明 ACNB II 若 求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值 60ACB 考点考点 8 简单多面体的有关概念及应用 主要考查多面体的概念 性质 主要以填空 选择简单多面体的有关概念及应用 主要考查多面体的概念 性质 主要以填空 选择 题为主 通常结合多面体的定义 性质进行判断题为主 通常结合多面体的定义 性质进行判断 例 12 如图 1 将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形 再沿虚 线折起 做成一个无盖的正六棱柱容器 当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大 例 13 如图左 在正三角形 ABC 中 D E F 分别为各边的中点 G H I J 分别为 AF AD BE DE 的中点 将 ABC 沿 DE EF DF 折成三棱锥后 GH 与 IJ 所成角的 度数为 A 90 B 60 C 45 D 0 N M C B A B AC DE FG H I J A B C D E F GH I J 例 14 长方体 ABCD A1B1C1D1中 设对角线 D1B 与自 D1出发的三条棱分别成 角 求证 cos2 cos2 cos2 1 设 D1B 与自 D1出发的三个面成 角 求证 cos2 cos2 cos2 2 考点考点 9 简单多面体的侧面积及体积和球的计算简单多面体的侧面积及体积和球的计算 例 15 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AB a BC CA AA1 a 2 A1在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上 求 AB 与侧面 AC1所成角 若 O 恰好是 AC 的中点 求此三棱柱的侧面积 例 16 等边三角形 ABC 的边长为 4 M N 分别为 AB AC 的中点 沿 MN 将 AMN 折起 使得面 AMN 与面 MNCB 所成 的二面角为 30 则四棱锥 A MNCB 的体积为 A B C D 3 2 3 2 3 3 AB C A D A1 B1 C1 D1 A1 B1 C1 A B C D O A BC MN K L A B C M N K L 例 17 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面是一个矩形 AB 3 AD 1 又 PA AB PA 4 PAD 60 求四棱锥的体积 求二面角 P BC D 的大小 例 18 2006 年全国卷 已知圆 O1是半径为 R 的球 O 的一 个小圆 且圆 O1的面积与球 O 的表面积的比值为 则线段 9 2 OO1与 R 的比值为 专题训练与高考预测 一 选择题 1 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 已知 AB 1 D 在 BB1上 且 BD 1 若 AD 与侧面 AA1CC1所成的角为 则的值为 A B 3 4 C D 4 10 arctan 4 6 arcsin 2 直线 a 与平面成角 a 是平面的斜线 b 是平面 内与 a 异面的任意直线 则 a 与 b 所成的角 A 最小值 最大值 B 最小值 最大值 2 C B A 1 A 1 B 1 C D P A H E D B C R rA O1 O C 最小值 无最大值 D 无最小值 最大值 4 3 在一个的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成角 则此直线与二面角 45 45 的另一平面所成的角为 A B C D 30 45 60 90 4 如图 直平行六面体 ABCD A1B1C1D1的棱长均为 2 则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1所成 60BAD 的角的正弦值为 A B 2 1 2 3 C D 2 2 4 3 5 已知在中 AB 9 AC 15 它所在平面外一点 P 到三ABC 120BACABC 顶点的距离都是 14 那么点 P 到平面的距离为 ABC A 13 B 11 C 9 D 7 6 如图 在棱长为 3 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分 别是棱 A1B1 A1D1的中点 则点 B 到平面 AMN 的距离是 A B 2 9 3 C D 2 5 56 7 将 边长 MN a 的菱形 MNPQ 沿对角线 NQ 折成的二面角 则 MP 60QMN 60 与 NQ 间的距离等于 A B C D a 2 3 a 4 3 a 4 6 a 4 3 8 二面角的平面角为 在内 于 B AB 2 在内 于 l 120 lAB lCD D CD 3 BD 1 M 是棱 上的一个动点 则 AM CM 的最小值为 l A B C D 52222662 9 空间四点 A B C D 中 每两点所连线段的长都等于 a 动点 P 在线段 AB 上 动点 Q 在线段 CD 上 则 P 与 Q 的最短距离为 A B C D a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 10 在一个正四棱锥 它的底面边长与侧棱长均为 a 现有一张正方形包装纸将其完全包 住 不能裁剪纸 但可以折叠 那么包装纸的最小边长应为 BA C D D1C1 B1 A1 A D B A D1 C1 B1 A1 M N A B C D a 62 a 2 62 a 31 a 2 31 11 已知长方体 ABCD A1B1C1D1中 A1A AB 2 若棱 AB 上存在点 P 使 则PCPD 1 棱 AD 的长的取值范围是 A B C D 1 0 2 0 2 0 2 1 12 将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 使点 D 在平面 ABC 外 则 DB 与平面 ABC 所成 的角一定不等于 A B C 30 45 60 D 90 二 填空题 1 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 E 是 A1B1的中点 则下列四个命题 E 到平面 ABC1D1的距离是 2 1 直线 BC 与平面 ABC1D1所成角等于 45 空间四边形 ABCD1在正方体六个面内的射影围成 面积最小值为 2 1 BE 与 CD1所成的角为 10 10 arcsin 2 如图 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 P 是 A1C1 上的动点 E 为 CD 上的动点 四边形 ABCD 满 足 时 体积恒为定值 写上 AEBP V 你认为正确的一个答案即可 3 边长为 1 的等边三角形 ABC 中 沿 BC 边高线 AD 折起 使得折后二面角 B AD C 为 60 则点 A 到 BC 的距离为 点 D 到平面 ABC 的距离 为 4 在水平横梁上 A B 两点处各挂长为 50cm 的细绳 AM BN AB 的长度为 60cm 在 MN 处挂长为 60cm 的木条 MN 平行于横梁 木条的中点为 O 若木条 绕过 O 的铅垂线旋转 60 则木条比原来升高了 5 多面体上 位于同一条棱两端的顶点称为相邻的 如图 正方体的一个顶点 A 在平面内 其余顶点在的同 侧 正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到的距离分 别是 1 2 和 4 P 是正方体其余四个顶点中的一个 则 P 到平面的距离可能是 3 4 5 6 7 D C B A E D1 A1 C1 B1 AB D C P E A1 D1 C1 B1 以上结论正确的为 写出所有正确结论的编号 6 如图 棱长为 1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔 不计小孔直径 O1 O2 O3它们分别是所在面的中心 如果恰当放置 容器 容器存水的最大容积是 m3 三 解答题 1 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 底面边长为 a D 为 BC 为中点 M 在 BB1上 且 BM B1M 又 CM AC1 1 3 1 求证 CM C1D 2 求 AA1的长 2 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面是矩形且 AD 2 AB PA PA 底面 ABCD E 是 AD 的中点 F2 在 PC 上 1 求 F 在何处时 EF 平面 PBC 2 在 1 的条件下 EF 是不是 PC 与 AD 的公垂线段 若是 求 出公垂线段的长度 若不是 说明理由 3 在 1 的条件下 求直线 BD 与平面 BEF 所成的角 O1 O2 O3 3 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 SD 垂直于底面 ABCD SB 3 1 求证 BCSC 2 求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小 3 设棱 SA 的中点为 M 求异面直线 DM 与 SB 所成角的 大小 4 在直角梯形 ABCD 中 D BAD 90