第八章：期权定价的数值方法

第八章 期权定价的数值方法 教学目标 教学目标 1 了解二叉树期权定价模型并且熟悉二叉树模型的基本方法 2 理解蒙特卡罗模拟的基本过程 3 熟悉蒙特卡罗模拟的技术的实现 教学重点 教学重点 1 二叉树模型的基本方法 2 蒙特卡罗模拟 教学难点 教学难点 1 蒙特卡罗模拟 课时建议 课时建议 3 课时 教学主要内容 教学主要内容 8 18 1 二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型 把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 并假设在每一个时间间隔内证券价格只t t 有两种运动的可能 1 从开始的 S 上升到原先的 u 倍 即到达 Su 2 降到原先的 d 倍 即 Sd 其中 u 1 d 1 假设价格上升的概率为 p 则价格 下降的概率为 1 p 相应的期权的价值也会有所不 同 分别为 fu和 fd 二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值 运动来模拟连续的资产价格运动 8 1 18 1 1 二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法 二叉树模型可分为以下几种方法二叉树模型可分为以下几种方法 一 单步二叉树模型 1 无套利定价法 2 风险中性定价法 3 风险中性定价法 二 证券价格的树型结构 4 证券价格的树型结构 三 倒推定价法 5 倒推定价法 二叉树方法的一般定价过程 二叉树方法的一般定价过程 以无收益证券的美式看跌期权为例 6 一般定价过程 无套利定价法 构造投资组合包括 份股票多头和 1 份看涨期权空头当Su uSdfd 则组合为无风 险组合 此时 ud ff SuSd 因为是无风险组合 可用无风险利率贴现 得 r t u SfSufe 将 ud ff SuSd 代入上式就可得到 1 r t ud fepfp f p Su S 1 p Sd 其中 du de p tr 1 风险中性定价法 在风险中性世界里 1 所有可交易证券的期望收益都是无风险利率 2 未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现 在风险中性的条件下 参数值满足条 件 SdppSuSe tr 1 dppue tr 1 假设证券价格遵循几何布朗运动 则 22222222 1 1 dppuSdSpupStS 2 222 1 1 dppudpput 再设定 1 u d 第三个条件的设定则可以有所不同 这是 Cox Ross 和 Rubinstein 所用的条件 由以上三式可得 当很小时 t du de p tr t eu t ed 从而 1 r t ud fepfp f 以上可知 无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性 2 证劵价格的树形结构 Su Su2 Su3 S S Su Su2 Su4 S Sd Sd3 Sd Sd2 Sd2 Sd4 在时刻 证券价格有 i 1 种可能 它们可用符号表示为 j 0 1 iti jijd Su 注意 由于 1 u d 使得许多结点是重合的 从而大大简化了树图 3 推到定价法 得到每个结点的资产价格之后 就可以在二叉树模型中采用倒推定价法 从树型结构图的 末端 T 时刻开始往回倒推 为期权定价 如果是欧式期权 可通过将时 T 刻的期权价值的预期值在 时间长度内以无风险 利率 r 贴现求出每一结点上的期权价值 如果是美式期权 就要在树型结构的每一个结点上 比较在本时刻提前执行期权和继 续再持有时间 到下一个时刻再执行期权 选择其中较大者作为本结点的期权价值 t 4 二叉树方法的一般定价过程 假设把该期权有效期划分成 N 个长度为的小区间 同时用表示结点 i j 处t jijd Su 的证券价格可得 max 0 jNj Nj fXSu d 其中 j 0 1 N 假定期权不被提前执行 后 则 1 11 1 r t ijijij fepfp f t 表示在时间 i时第 j 个结点处的美式看跌期权的价值 t 若有提前执行的可能性 则 1 11 max 1 jijr t ijijij fXSu depfp f 8 1 28 1 2 构造树图的其他方法和思路构造树图的其他方法和思路 1 三叉树图 每一个时间间隔内证券价格t 只有三种运动的可能 1 从开始的 S 上升到原先的 u 倍 即到达 Su 2 保持不变 仍为 S 3 降到原先的 d 倍 即 Sd 一些相关参数 3 t ue 2 2 1 1226 d t prq 2 2 1 1226 u t prq 2 3 m p 2 控制方差技术 基本原理 期权 A 和期权 B 的性质相似 我们可以得到期权 B 的解析定价公式 而只 能得到期权 A 的数值方法解 S S Sd Su Su2 Su3 Su2 Su Su S S Sd Sd Sd3 Sd2 Sd2 1 d u 假设 FB MB FA MA FB代表期权 B 的真实价值 FA表示关于期权 A 的较优估计值 MB和 MA表示用同一个二叉树 相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值 则期权 A 的更优估计值为 FA FB MA MB 3 适应性网状模型 采用相同的三叉树定价过程在使用三叉树图为美式期权定价时 当资产价格接近执行价格 时和接近到期时 用高密度的树图来取代原先低密度的树图 即在树图中那些提前执行可能性较大的部分 将一个时间步长进一步细分 如分为t 4 每个小步长仍然t 4 隐含树图 通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相一致的资产价格树图 从而得到市场对 标的资产价格未来概率分布的看法 其具体方法是在二叉树图中 通过前一时刻每个结点的期权价格向前推出 注意不是 倒推 下一时刻每个结点的资产价格和相应概率 隐含树图的主要作用在于从交易活跃的常规期权中得到的关于波动率微笑和期限结构 的信息 来为奇异期权定价 二叉树图模型的基本出发点 假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成 用离散的随机游走模型模拟资产价 格的连续运动可能遵循的路径 模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率 p 从而 为期权定价取当前时刻为t t 在给定参数 p u 和 d 的条件下 当 0t 时 二叉树 公式 1 r t f S ttpf Su tp f Sd te 可以在 s t 进行泰勒展开 最终可以化简为 2 22 2 1 0 2 fff S trSS tSS trf S tot tSS 在 0t 时 二叉树模型收敛于布莱克 舒尔斯偏微分方程 8 2 18 2 1 蒙特卡罗模拟的基本过程蒙特卡罗模拟的基本过程 基本思路 由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报 payoff 的期望值的贴现 因此 尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径 计算每种路径结果下 的期权回报均值 之后贴现就可以得到期权价值 8 2 28 2 2 蒙特卡罗模拟的技术的实现蒙特卡罗模拟的技术的实现 随机路径 在风险中性世界中 dSrq SdtSdz 为了模拟的路径 我们把期权的有效期 分为 N 个长度为时间段 则上式的近似方程为 2 lnln 2 S ttS trqtt 或 2 exp 2 S ttS trqtt 是从标准正态分布中抽取的一个随机样本 重复以上的模拟至足够大的次数 计算回报值的平均值 折现后就得到了期权的期望值 单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟 1 当回报仅仅取决于到期时 S 的最终价值时 可直接用一个大步 T 0 假设初始时刻为零时刻 来多次模拟最终的资产价格 得到期权价值 2 0 exp 2 S TSrqTT 2 当回报依赖于多个市场变量时 每次模拟运算中对每个变量的路径都必须进行抽样 从样本路径进行的每次模拟运算可以 得出期权的终值 的离散过程可以写为 iiiiiii tttmttstt 常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟利率为常数时 期权价值为 初始时刻设为 0 rT T feE f 其中 E 表示风险中性世界中的期望 利率为变量时 期权价值为 初始时刻设为 0 rT T fE ef r为有效期内瞬间无风险利率的平均值 随机样本的产生和模拟运算次数的确定 1 的产生 是服从标准正态分布的一个随机数 如果只有一个单变量 则可以通过下式获得 12 1 6 i i R 其中 Ri 1 i 12 是 0 到 1 的相互独立的随机数 2 模拟运算次数的确定 如果对估计值要求 95 的置信度 则期权价值应满足 1 961 96 f MM M 是 进行运算的个数 u 为均值 是标准差 8 2 38 2 3 减少方差的技巧减少方差的技巧 一 对偶变量技术 二 控制方差技术 三 重点抽样法 四 间隔抽样法 五 样本矩匹配法 六 准随机序列抽样法 七 树图取样法 8 2 48 2 4 蒙特卡罗模拟的理解和应用蒙特卡罗