2011年常微分期末考试题B

第 页 共 页 陕西科技大学 试题纸试题纸 课程课程 常微分方程常微分方程 班级班级 学号学号 姓名姓名 题号一二三四五六七八九十总分 得分 阅卷人 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 满分分 满分 2020 分分 1 微分方程的阶数是 是否为齐次线性方程 sin2sin0yyxyxyx 2 当满足 时 方程 M x y N x y 称为恰当方程 或称全微分方程 0 dyyxNdxyxM 3 若为齐次线性方程的个线性无关解 则这一齐线性方程 2 1 nitXi n 的所有解可表为 4 方程的常数解是 2 1 d d y x y 5 方程 2 x yyyxe 的特解可设为 二 单选题二 单选题 本题共本题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 满分分 满分 1515 分分 1 1 2 x ydxxdy A B C D y x d x y d xyd ln xyd 2 的通解为 为任意常数 0 2 xtxxt 21 c c A B C D 2 21 tctcx t ectcx 21 t ctcx 1 21 2 21 11 t c t cx 3 微分方程的公共解为 242 4 2 2 2yyxxxyxxyy A B C D 1 3 xy1 2 xy 2 xy 3 xy 4 的积分因子为 0 dyxyydx 第 页 共 页 A B C D 2 1 y u xy u 1 2 1 x u 22 1 yx u 5 函数与 24 1 V x yxyy 22 2 V x yxy A 均为常正的 B 均为定正的 C 常正 定正 D 定正 常 1 V 2 V 1 V 2 V 正 三 解下列微分方程三 解下列微分方程 本题共 本题共 5 5 小题 分值小题 分值 6 6 6 6 12 6 6 6 6 12 满分 满分 3636 分 分 1 求方程 3 ln 0 y dxyx dy x 2 求方程的通解 2 2 21yyy 3 求方程的通解 3 222 2 0 3 y xyx ydxxydy 4 求解方程的通解 2 6 dyy xy dxx 5 求解方程 28sin2xxxt 的一个特解 四 四 本题 本题 10 分 分 试求方程组的解 xAxf t t 1 34 21 1 1 0 t e tfA 五 证明题 五 证明题 本题共本题共 2 2 小题 分值小题 分值 10 9 10 9 满分 满分 1919 分分 1 证明方程解存在唯一性 2 0 1 dy yy dx 已知方程并且满足 2 给定方程 其中在上连续 设是上 65 tfxxx tf t tt 21 述方程的两个解 证明极限存在 12 lim t tt 第 页 共 页 陕西科技大学 试题纸试题纸 课程课程 常微分方程参考答案常微分方程参考答案 班级班级 数学信息数学信息 091 2 学号学号 姓名姓名 题号一二三四五六七八九十总分 得分 阅卷人 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 满分分 满分 2020 分分 1 微分方程的阶数是 3 是否为齐次线0sin2 sin 5 2 xxyyxyy 性方程 否 2 若和都是的基解矩阵 则和具有的关系是 t t xA t x t t 其中 C 为 n n 奇异矩阵 tt C 3 初值问题的解满足积分方程 00 yxy yxfy x x dssysfyxy 0 0 4 是恰当方程 则 2 3 2 xC 5 二维平面自治系统的奇点 当参数满足条件 dx axby dt dy cxdy dt 0 0 时 为稳定的奇点 0 0adadbc 二 单选题二 单选题 本题共本题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 满分分 满分 1515 分分 1 一阶线性方程的积分因子是 B xqyxp dx dy 第 页 共 页 A B C D dxxp ep dxxp ep dxxq ep dxxq ep 2 方程通过点的解的最大存在区间是 A 2 y dx dy 1 3 A 2 B 0 C D 3 3 曲线满足方程 C 1 xy A B C D 0yx 1xyy 0 xyy 2 1x y 4 如果是二阶线性方程的解 2 sin sin tt e ett 21 tfxtaxtaxxL 则下列是的解的是 C 0 xL A B C D tee tt sin2 2 tetsin2 t e2tsin 5 函数与 D 24 1 V x yxyy 2 2 V x yxy A 均为常正的 B 均为定正的 C 常正 定正 D 定正 常 1 V 2 V 1 V 2 V 正 三 解下列微分方程三 解下列微分方程 本题共 本题共 5 5 小题 分值小题 分值 6 6 6 6 12 6 6 6 6 12 满分 满分 3636 分 分 4 求方程的通解 2 6xy x y dx dy 解 这是 n 2 时的伯努利不等式 令 z 算得 1 y dx dy y dx dz 2 分 代入原方程得到 这是线性方程 求得它的通解为 z xz xdx dz 6 8 2 6 x x c 分 带回原来的变量 y 得到 或者 这就是原方程的解 y 1 8 2 6 x x c c x y x 8 86 此外方程还有解 y 0 分 1 0d ln d 3 yxyx x y 解解 因为因为 所以原方程是全微分方程 所以原方程是全微分方程 x N xy M 1 第 页 共 页 取取 原方程的通解为 原方程的通解为 0 1 00 yx 即即 分Cyyx x y yx 0 3 1 ddCyxy 4 4 1 ln 2 2 2 21yyy 解 令 则原方程消去后 有yty 2 y 由此 得 222 1tyyty t t y 1 dt t dy 1 1 2 2 1ty dt ty dy dx 2 1 所以c t cdt t x 11 2 故原方程的通解为 分 t t y c t x 1 1 3 xy 3 222 0 3 y x ydxxydy 解 因为 22 2 2 MN xxyx yx 又因为 MN N yx 所以方程有积分因子 u x x e 方程两边同乘以得 x e x e 2 2xyx y 3 22 0 3 x y dxexydy 3 222 2 0 3 xxxx y exyx y dxe x dyedxe y dy 也即方程的解为 3 2 3 xx y e x yec 第 页 共 页 5 28sin2xxxt 解 20 xxx 的通解是 2 12 tt xC eC e 设原方程的特 解是sincosxAtBt 将sincosxAtBt 代入原方程得 62 sin 26 8sin2ABtABt 所以有 628 260 AB AB 6 5 2 5 A B 所以原方程的通解是 2 12 62 sincos 55 tt xC eC ett 四 四 本题 本题 10 分 分 试求方程组的解 xAxf t t 1 34 21 1 1 0 t e tfA 解 0 5 1 34 21 det AE 5 1 21 得 取0 11 vAE 1 v 1 1 1 v 得 取0 22 vAE 2 2 v 2 1 2 v 则基解矩阵 tt tt ee ee t 5 5 2 t t tt tt e e ee ee t 1 1 2 1 2 1 01 2 0 5 5 1 5 1 2 1 10 3 5 2 4 1 20 3 5 5 1 0 tt tt t t ee ee dssfst 因此方程的通解为 t t dssfsttt 0 0 11 第 页 共 页 5 1 2 1 10 3 5 2 4 1 20 3 5 5 ttt ttt eee eee 2 分 五 证明题 五 证明题 本题共本题共 2 2 小题 分值小题 分值 10 9 10 9 满分 满分 1919 分分 1 证明方程解存在唯一性 0 0 1 2 yyx dx dy 并且满足已知方程 证明 构造等价积分式 1 两端求导得原方程 所以构造积分式与原问题同解 x dxyxyxy 0 1 2 0 2 分 进行迭代 2 0 0 0 yy x x dxyxyy 0 2 01 1 2 0 2 1 1 2 0 4 0 2 12 xdxyxyy x x 2 分 1 3 2 2 264 2 x n n e n xxx xy 证明迭代的序列是收敛的 3 由于构造的迭代序列收敛于一级数 及 证明是收敛的 1 2 lim x n n ey n y 2 分 证明收敛到的级数极为方程的解 4 给求极限得 1 2 0 0 1 x nn dxyxyy 所以是方程的解 2 分dxexye x xx 0 11 2 0 1 22 1 2 x e 证明解是唯一的 5 设均为方程的解 并且两者不相等 则 h x yf x y 0 0 0 hf CexG exxGexG dx exGd xxGxhxxfxxhxfxG xhxfxG x xx x 2 22 2 0 2 2 1 2 1 2 第 页 共 页 而当 x 0 时 G 0 0 与相矛盾 所以解是唯0 0 xGC xhxf 一的 证毕 2 分 2 个方程构成的齐次线性微分方