河北省承德市隆化县存瑞中学2020届高三数学上学期第二次质检试题 文（含解析）VIP

1 河北省承德市隆化县存瑞中学河北省承德市隆化县存瑞中学 20202020 届高三数学上学期第二次质检试届高三数学上学期第二次质检试 题题 文 含解析 文 含解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 共小题 共 60 060 0 分 分 1 复数 i 为虚数单位 的共轭复数是 2 1 i a 1 ib 1 ic 1 id 1 i 答案 b 解析 分析 化简已知复数 z 由共轭复数的定义可得 详解 化简可得 z 2 1 i 2 1 1 11 i i ii z 的共轭复数为 1 i 故选 b 点睛 本题考查复数的代数形式的运算 涉及共轭复数 属基础题 2 若集合 则 12axx 10bx x ab a b c d 1x x 11xx 2x x 21xx 答案 c 解析 分析 直接根据并集的定义求解即可 详解 因为 12axx 101bx xx x 所以 根据并集的定义 是属于或属于的元素所组成的集合 ab ab 可得 故选 c 2abx x 点睛 研究集合问题 一定要抓住元素 看元素应满足的属性 研究两集合的关系时 关 键是将两集合的关系转化为元素间的关系 本题实质求满足属于集合或属于集合的元 ab 素的集合 2 3 已知 若 则 2 3 a 1 bm m 3 cm ab b c a 5b 5c 1d 1 答案 a 解析 分析 通过平行可得 m 得值 再通过数量积运算可得结果 详解 由于 故 解得 于是 ab 21 3mm 2m 2 3 b 2 3 c r 所以 故选 a 495b c r r 点睛 本题主要考查共线与数量积的坐标运算 考查计算能力 4 已知等差数列 an 若a2 10 a5 1 则 an 的前 7 项和为 a 112b 51c 28d 18 答案 c 解析 分析 根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组 解出数列的首 项和公差 再根据等差数列的前项和可得解 n 详解 由等差数列的通项公式结合题意有 解得 21 51 10 41 aad aad 1 13 3 a d 则数列的前 7 项和为 n a 71 7 6 77 1321 3 28 2 sad 故选 c 点睛 本题考查等差数列的通项公式和前项公式 属于基础题 n 5 已知锐角 abc 的内角 a b c 的对边分别为 a b c 23cos2a cos 2a 0 a 7 c 6 则 b 等于 a 10b 9c 8d 5 答案 d 解析 详解 由题意知 23cos2a 2cos2a 1 0 3 即 cos2a 1 25 又因 abc 为锐角三角形 所以 cosa 1 5 abc 中由余弦定理知 72 b2 62 2b 6 1 5 即 b2 b 13 0 12 5 即 b 5 或 b 舍去 故选 d 13 5 此处有视频 请去附件查看 6 已知 是空间中两条不同的直线 为空间中两个互相垂直的平面 则下列 mn 命题正确的是 a 若 则b 若 则 m m m n mn c 若 则d 若 则 m m m m nm n 答案 c 解析 由题设 则 a 若 则 错误 b 若 则 m m m n mn 错误 d 若 当 时不能得到 错误 m nm n n 故选 c 7 函数y sin2x的图象可能是 2 x 4 a b c d 答案 d 解析 分析 先研究函数的奇偶性 再研究函数在上的符号 即可判断选择 2 详解 令 2 sin2 x f xx 因为 所以为奇函 2sin2 2 sin2 xx xr fxxxf x 2 sin2 x f xx 数 排除选项 a b 因为时 所以排除选项 c 选 d 2 x 0f x 点睛 有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路 1 由函数的定义域 判断图象 的左 右位置 由函数的值域 判断图象的上 下位置 2 由函数的单调性 判断图象 的变化趋势 3 由函数的奇偶性 判断图象的对称性 4 由函数的周期性 判断图 象的循环往复 8 已知圆截直线所得线段的长度是 则圆 22 200m xyaya 0 xy 2 2 与圆的位置关系是 m 22 111nxy a 内切b 相交c 外切d 相离 答案 b 解析 5 化简圆到直线的距离 2 22 1 0 m xyaamaram 0 xy 2 a d 2 2 1 220 2 2 2 a aamr 又 两圆相交 选 b 212 1 1 12nrmnrrmn 12 rr 此处有视频 请去附件查看 9 在棱长为 1 的正方体abcd a1b1c1d1中 点e f分别是侧面aa1d1d与底面abcd的中 心 则下列说法错误的个数为 df 平面d1eb1 异面直线df与b1c所成的角为 60 ed1与平面b1dc垂直 1 1 12 f cdb v a 0b 1c 2d 3 答案 a 解析 分析 由可判断 由 可得异面直线与所成的角即是直线 11 dfb d 11 f db d df 1 bc 与所成的角 或其补角 可判断 由且 11 b d 1 bc 11 d bc 111 edad edcd 可判断 由 可判断 得解 1 adcdd 11 f cdbbcdf vv 详解 对于 平面平面平面 11 dfb d df 1111 d eb b d 11 d ebdf 所以 正确 11 d eb 对于 因为 所以异面直线与所成的角即是直线与所成 11 f db d df 1 bc 11 b d 1 bc 的角 或其补角 因为为正三角形 所以 所以 正确 11 d bc 11 b dca 11 d bc 60 对于 且平面 即平 111 edad edcd 11 adcdd ed 11 abcd 1 ed 面 所以 正确 1 b dc 6 对于 所以 正确 11 11111 111 332212 f cdbbcdfcdf vvs 故选 a 点睛 本题考查线面平行的判定 异面直线所成的角 线面垂直的判定和等体积法求三 棱锥的体积 属于基础题 10 已知点是抛物线上的一动点 为抛物线的焦点 是圆 m 2 4xy fac 上一动点 则的最小值为 22 1 4 1xy mamf a 3b 4c 5d 6 答案 b 解析 分析 根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时 的值最小 根 m a p mamf 据圆的性质可知最小值为 根据抛物线方程和圆的方程可求得 从而得到所 cpr cp 求的最值 详解 如图所示 利用抛物线的定义知 mpmf 当三点共线时 的值最小 且最小值为 m a p mamf 1cprcp 7 抛物线的准线方程 1y 1 4c 4 15cp min 5 14mamf 本题正确选项 b 点睛 本题考查线段距离之和的最值的求解 涉及到抛物线定义 圆的性质的应用 关 键是能够找到取得最值时的点的位置 从而利用抛物线和圆的性质来进行求解 11 若则的最小值为 0 0 21 mnmn 11m mn a 4b 5c 7d 6 答案 c 解析 分析 由已知得代入中化简得 而 1 2mn 11m mn 12 2 mn 再利用基本不等式可得最小值 得解 121222 25 nm mn mnmnmn 详解 由已知 得 m0n 21mn 1 2mn 所以 1 2111112 2 nm mnmnmn 那么 当且仅当 12122222 25529 nmnm mn mnmnmnmn 时取得等号 1 3 mn 所以 即的最小值为 7 1112 2927 m mnmn 11m mn 故选 c 点睛 本题主要考查基本不等式 关键在于先化简已知表达式 巧用 1 构造基本不等 式 属于基础题 12 已知双曲线的左 右焦点分别为 22 22 1 0 0 xy cab ab 12 0 0 fcf c 8 是双曲线右支上一点 且 若直线与圆相切 则双曲 pc 212 pfff 1 pf 222 xya 线的离心率为 a b c 2d 3 4 3 5 3 答案 b 解析 取线段pf1的中点为a 连接af2 又 pf2 f1f2 则af2 pf1 直线pf1与圆 x2 y2 a2相切 且 由中位线的性质可知 12 ofof af2 2a pa pf1 a c 4c2 a c 2 4a2 1 2 化简得 即 22 3250caca 2 3250 3510eeee 则双曲线的离心率为 5 3 本题选择b选项 点睛 点睛 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质 求双曲线的离心率 或离心率的取值范 围 常见有两种方法 求出a c 代入公式 c e a 只需要根据一个条件得到关于a b c的齐次式 结合b2 c2 a2转化为a c的齐次式 然后等式 不等式 两边分别除以a或a2转化为关于e的方程 不等式 解方程 不等式 即 可得e e的取值范围 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 共小题 共 20 020 0 分 分 13 设 满足约束条件 则的最大值是 x y 240 10 210 xy xy xy 2zxy 答案 7 解析 分析 根据不等式组做出可行域 而表示直线在y轴上的截距 当直线 2zxy 2yxz 9 过点a时 z取得最大值 由解得点a代入可得解 2yxz 24 0 21 0 xy xy 详解 画出不等式组表示的可行域 如下图中的阴影部分所示 由得点 24 0 21 0 xy xy 2 3a 表示直线在y轴上的截距 当直线过点时 z 2zxy 2yxz 2yxz 2 3a 取得最大值 max 2237z 故填 7 点睛 本题考查简单的线性规划问题 做出可行域 理解目标函数的几何意义 结合数 形结合找到目标函数取得最值的最优解是解决此类问题的常用步骤 属于基础题 14 点a 4 5 关于直线 l 的对称点为b 2 7 则l的方程为 答案 3x y 3 0 解析 分析 先求出 a b 的中点 再求ab的斜率 求出中垂线的斜率 然后用点斜式求出直线方程 详解 对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线 a b的中点坐标 1 6 ab的斜率为 751 243 中垂线的斜率为 3 则l的方程为 y 6 3 x 1 即 3x y 3 0 故答案为 3x y 3 0 点睛 本题主要考查直线垂直斜率之间的关系 考查了直线的点斜式方程的应用 属于 基础题 10 15 已知数列 an 的前n项和sn n2 2n 1 n n 则an 答案 4 1 21 2 n n a nn 解析 分析 根据和项与通项关系得结果 详解 当n 2 时 an sn sn 1 2n 1 当n 1 时 a1 s1 4 2 1 1 因此an 4 1 21 2 n nn 点睛 本题考查和项与通项公式关系 考查基本分析求解能力 16 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的内切球的半径为 答案 4 13 解析 分析 根据几何体的三视图还原其直观图 由三视图以及边长可得出三棱锥的结构特征 底面是 正三角形 边长为 一个侧面垂直底面 再由棱锥的体积公式采用等 2 3bcbdcd 体法即可求解 详解 几何体是三棱锥 如图 底面是正三角形 边长为 一个侧面垂直底面 2 3bcbdcd 高为 1ao 2abac 10ad 4 12 103 cos 42 2 2 3 abd 11 13 sin 4 abd 几何体的表面积为 2 31131 2 3 22 2 32 3 14 339 4242 几何体的体积为 内切球的半径为r 2 13 2 3 13 34 所以 解得 1 4 3393 3 r 413r 故答案为 413 点睛 本题主要考查几何体的三视图以及棱锥的体积公式 解题的关键是根据三视图得 出几何体的结构特征 此题也考查了学生的计算能力 综合性比较强 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 70 070 0 分 分 17 在直角坐标系中 圆c的参数方程 为参数 以o为极点 x轴 xoy 1 cos sin x y 的非负半轴为极轴建立极坐标系 1 求圆c的极坐标方程 2 直线l的极坐标方程是 射线与圆c的交点为 2 sin3 3 3 3 om o p 与直线l的交点为q 求线段的长 pq 答案 1 2 2 2cos 解析 分析 1 首先利用对圆c的参数方程 为参数 进行消参 22 1cossin 1 xcos ysin 数运算 化为普通方程 再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆c的极坐标方 程 2 设 联立直线与圆的极坐标方程 解得 设 联立 11 p 11 22 q 直线与直线的极坐标方程 解得 可得 22 pq 详解 12 1 圆c的普通方程为 又 2 2 11xy cosx siny 所以圆c的极坐标方程为 2cos 2 设 则由解得 得 11 2 3 cos 1 1 1 3 1 3 p 设 则由解得 得 22 q 2 sin3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 q 所以 q2 点睛 本题考查圆的参数方程与普通方程的互化 考查圆的极坐标方程 考查极坐标方 程的求解运算 考查了学生的计算能力以及转化能力 属于基础题 此处有视频 请去附件查看 18 设数列的前项和 满足 且成等差数列 n a nn s 1 2 nn saa 123 1 a aa 1 求数列的通项公式 n a 2 数列 的前 项和 求 1 n a n n t n t 答案 1 2 2n n a 1 1 2n 解析 分析 1 由条件满足 求得数列为等比数列 且公比 再根据 n s 1 2 nn saa n a 2q 成等差数列 求得首项的值 进而可得数列的通项公式 2 根据 123 1 a aa n a 利用等比数列的前项和公式求得数列的前项和为 11 2n n a n 1 n a n n t 详解 1 由已知 由 1 2 nn saa 11 222 nnnnn assaan 即 1 22 nn aan 13 从而 2132 2 2212 n aa aaan 又因为成等差数列 所以 123 1 a aa 132 21aaa 所以 解得 111 42 21aaa 1 2a 所以数列是首项为 公比为的等比数列 n a 22 所以 2n n a 2 由 1 得 所以 11 2n n a 2 11 1 22 1111 1 1 2222 1 2 n n nn t 19 已知函数的部分图象如图所示 sin 0 0 2 f xaxa 1 求函数的解析式 f x 2 如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象 写出变换过 2sinyx f x 程 3 若 求的值 1 42 f sin 6 答案 1 2 见解析 3 2sin 2 6 f xx 7 8 解析 分析 1 直接由函数图象求得和周期 再由周期公式求得 由五点作图的第三点求 a 2 由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案 14 3 由求出 然后把转化为余弦利用倍角公式 1 42 f 1 sin 264 sin 6 得答案 详解 解 1 2sin 2 6 f xx 2 法 1 先将的图象向左平移个单位 再将所得图象纵坐标不变 横坐 2sinyx 6 标压缩为原来的倍 所得图象即为的图象 1 2 2sin 2 6 f xx 法 2 先将的图象纵坐标不变 横坐标压缩为原来的倍 再将所得图象 2sinyx 向左平移个单位 所得图象即为的图象 12 2sin 2 6 f xx 3 由 1 2sin 22sin 446262 f 得 1 sin 264 而 2 17 sincos12sin1 632688 20 如图 四棱锥中 底面是边长为 4 的菱形 pabcd abcd4pdpb 为中点 0 60bad epa 1 求证 平面 pcebd 2 求证 平面平面 ebd pac 15 3 若 求三棱锥的体积 papc cabe 答案 1 详见解析 2 详见解析 3 4 解析 分析 1 利用条件可证明 再利用线面平行的判定即可得证 2 根据线面垂直 eopc 的判定可证明平面 再根据面面垂直的判定即可得证 3 利用 bd pac 求得底面积和高即可求解 c abee abc vv 详解 1 设 连结 acbdo eo 为中点 为中点 epaoaceopc 又 平面 平面 平面 eo ebdpc ebdpcebd 2 连结 为中点 popdpb obd 又 底面为菱形 pobd abcd acbd poaco 平面 又 平面 bd pacbd ebd 平面平面 ebd pac 3 c abee abc vv 11 322 po acob 1 4 3234 6 21 已知椭圆c a b 0 的两个焦点分别为f1 f2 离心率为 过f1 22 22 1 xy ab 1 2 16 的直线l与椭圆c交于m n两点 且 mnf2的周长为 8 1 求椭圆c的方程 2 若直线y kx b与椭圆c分别交于a b两点 且oa ob 试问点o到直线ab的距 离是否为定值 证明你的结论 答案 1 2 见解析 22 1 43 xy 解析 分析 1 根据三角形周长为 8 结合椭圆的定义可知 利用 即 48a 2 2 1 1 2 cb e aa 可求得和的值 求得椭圆方程 2 分类讨论 当直线斜率斜存在时 联立 ab 得到关于的一元二次方程 利用韦达定理及向量数量积的坐标运算 求 22 1 43 ykxb xy x 得和的关系 利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值 mkoab 详解 1 由题意知 4a 8 则 a 2 由椭圆离心率 则 b2 3 2 2 1 1 2 cb e aa 椭圆 c 的方程 22 1 43 xy 2 由题意 当直线 ab 的斜率不存在 此时可设 a x0 x0 b x0 x0 又 a b 两点在椭圆 c 上 22 2 00 0 12 1 437 xx x 点 o 到直线 ab 的距离 122 21 77 d 当直线 ab 的斜率存在时 设直线 ab 的方程为 y kx b 设 a x1 y1 b x2 y2 联立方程 消去 y 得 3 4k2 x2 8kbx 4b2 12 0 22 1 43 ykxb xy 17 由已知 0 x1 x2 x1x2 2 8 34 kb k 2 2 412 34 b k 由 oa ob 则 x1x2 y1y2 0 即 x1x2