矩形典型例题选讲

矩形典型例题选讲矩形典型例题选讲 本讲通过以下例题的分析与解答 介绍如何综合运用所学知识解决问题 本讲通过以下例题的分析与解答 介绍如何综合运用所学知识解决问题 例例 1 如图 矩形 ABCD 中 AC BD 相交于 O 点 AE 平分 BAD 交 BC 于 E 点 若 CAE 15 求 BOE 分析 由已知不难得出 OBE 30 欲求 BOE 的度数 需解决 BO 与 BE 之间的大小关系 解 如图所示 在矩形 ABCD 中 AE 平分 BAD EAD EAB 45 在 ABE 中 BAE 45 ABE 90 AEB 45 AB BE EAD 45 EAC 15 CAD 30 BAC 90 30 60 矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点 AO BO ABO 是等边三角形 即 AB BO 在 BEO 中 BE BO 而 EBO 30 例例 2 已知 如图 矩形 ABCD 中 延长 BC 至 E 点 使 BE BD 连结 DE 若 F 是 DE 的 中点 试确定线段 AF 与 CF 的位置关系 分析 如果连结 BF 由已知 设法推出 AFB BFC 90 若连结 AC 设与 BD 交于 O 点 并连结 OF 还可利用矩形的对 角线互相平分且相等 以及三角形中位线的性质 得出 相比之下 后者方法较好 解 AF CF 证明如下 如图 连结 AC 设它与 BD 交于 O 点 连结 OF 四边形 ABCD 是矩形 在 DBE 中 DO OB DF FE 又 BE BD BD AC 在 ACF 中 AO OC AFC 90 AF CF 例例 3 已知 如图 矩形 ABCD 中 CM BD AE 平分 BAD 和 MC 的延长线交于 E 点 求证 AC CE 分析 欲证 AC CE 只要 E CAE 为了证明这两个角 相等 不妨设 DAO 这样可确定此图形的形状 只要求出 E 也等于 45 即可 解 如图 在矩形 ABCD 中 设 DAO EA 平分 BAD EAD 45 CAE 45 AO OD DOC 是 AOD 的外角 DOC 2 又 CM BD MCO 90 2 而 OCM 是 ACE 的一个外角 E OCM CAE 90 2 45 45 在 ECA 中 E EAC AC CE 想一想 如果作 AN BD 于 N 点 由已知 EM BD 可得 AN ME 则 E EAN 这样 欲证 E CAE 只要证 EAN CAE 这又转化为证明 BAN DAC 试一下 这样作辅助线进行证明如何 例例 4 已知 如图 ABC 中 AB AC AD BC 于 D 点 AE 是 BAC 的外角平分线 DE AB 交 AE 于 E 试确定四边形 是什么图形 解 四边形 ADCE 是矩形 证明如下 对于 ABC AB AC AD BC B ACB BD DC 又 AE 是其外角 CAF 的一部分线 AE BC 又 AB DE 四边形 ABDE 是平行四边形 AE BD AB DE 从而 AC DE AE DC 四边形 ADCE 是平行四边形 又 AC DE 四边形 ADCE 是矩形 例例 5 取一张矩形的纸进行折叠 具体操作过程如下 第一步 先把矩形 ABCD 对折 折痕为 MN 如图 1 第二步 再把 B 点叠在折痕线 MN 上 折痕为 AE 点 B 在 MN 上的对应点为 B 得 Rt AB E 如图 2 第三步 沿 EB 线折叠得折痕 EF 如图 3 利用展开图 4 探究 1 AEF 是什么三角形 证明你的结论 2 对于任一矩形 按照上述方法是否都能折出这种三角形 请说明理由 解 1 证明 如图 7 72 AEF 是等边三角形 证法一 由平行线分线段定理知 PE PA B P 是 Rt AB E 斜边上的中线 PA PB 1 3 又 PN AD 2 3 而 2 1 2 90 1 2 30 在 Rt AB E 中 1 AEF 90 AEF 60 EAF 1 2 60 AEF 是等边三角形 证法二 ABE 与 AB E 完全重合 ABE AB E BAE 1 由平行线等分线段定理知 EB B F 又 AB E 90 AB E AB F AE AF AEF 是等边三角形 2 不一定 由上推证可