福建省南平市水东学校八年级数学下册《第一章 不等式》教案 人教新课标版

用心 爱心 专心1 福建省南平市水东学校八年级数学下册福建省南平市水东学校八年级数学下册 第一章第一章 不等式不等式 教案教案 人教新课标版人教新课标版 课时安排 11 课时 第一课时 课 题 1 1 不等关系 教学目标 一 教学知识点 1 理解不等式的意义 2 能根据条件列出不等式 二 能力训练要求 通过列不等式 训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力 三 情感与价值观要求 通过用不等式解决实际问题 使学生认识数学与人类生活 的密切联系以及对人类历史发展的作用 并以此激发学生学习数学的信心和兴趣 教学重点 用不等关系解决实际问题 教学难点 正确理解题意列出不等式 教学方法 讨论探索法 教学过程 创设问题情境 引入新课 我们学过等式 知道利用等式可以解决许多问题 同时 我们也知道在现实生活中还存 在许多不等关系 利用不等关系同样可以解决实际问题 本节课我们就来了解不等关系 以 及不等关系的应用 新课讲授 1 既然不等关系在现实生活中并不少见 大家肯定接触过不少 能举出例子吗 2 如何用式子表示不等关系呢 请看例题 如图 1 1 用两根长度均为l cm 的绳子 分别围成一个正方形和圆 图 1 1 1 如果要使正方形的面积不大于 25 cm2 那么绳长l应满足怎样的关系式 2 如果要使圆的面积不小于 100 cm2 那么绳长l应满足怎样的关系式 3 当l 8 时 正方形和圆的面积哪个大 l 12 呢 4 你能得到什么猜想 改变l的取值 再试一试 师 本题中大家首先要弄明白两个问题 一个是正方形和圆的面积计算公式 另一 个是了解 不大于 大于 等词的含意 正方形的面积等于边长的平方 圆的面积是 R2 其中R是圆的半径 两数比较有大于 等于 小于三种情况 不大于 就是等于或 小于 师 下面请大家互相讨论 按照题中的要求进行解答 1 因为绳长l为正方形的周长 所以正方形的边长为 得面积为 2 要使 4 l 4 l 正方形的面积不大于 25 cm2 就是 2 25 即 25 4 l 16 2 l 2 因为圆的周长为l 所以圆的半径为 R 要使圆的面积不小于 100 cm2 就是 2 100 即 100 2 l 2 l 4 2 l 3 当l 8 时 正方形的面积为 4 cm2 圆的面积为 5 1 cm2 16 82 4 82 4 5 1 此时圆的面积大 用心 爱心 专心2 当l 12 时 正方形的面积为 9 cm2 圆的面积为 11 5 cm2 16 122 4 122 此时还是圆的面积大 4 我们可以猜想 用长度均为l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和圆 无论l 取何值 圆的面积总大于正方形的面积 即 4 2 l 16 2 l 因为分子都是l 2相等 分母 4 16 根据分数的大小比较 分子相同的分数 分母 大的反而小 因此不论l取何值 都有 4 2 l 16 2 l 做一做 通过测量一棵树的树围 树干的周长 可以计算出它的树龄 通常规定以树干离地面 1 5 m 的地方作为测量部位 某树栽种时的树围为 5 cm 以后树围每年增加约为 3 cm 这 棵树至少生长多少年其树围才能超过 2 4 m 只列关系式 设这棵树至少生长x年其树围才能超过 2 4 m 得 3x 5 240 议一议 观察由上述问题得到的关系式 它们有什么共同特点 一般地 用符号 或 或 连接的式子叫做不等式 inequality 练一练 1 用不等式表示 1 a是正数 2 a是负数 3 a与 6 的和小于 5 4 x与 2 的差小于 1 5 x的 4 倍大于 7 6 y的一半小于 3 2 随堂练习 3 补充练习 当x 2 时 不等式x 3 4 成立吗 当x 1 5 时 成立吗 当x 1 呢 课时小结 1 能根据题意列出不等式 特别要注意 不大于 不小于 等词语的理解 2 通过不等关系的式子归纳出不等式的概念 课后作业 习题 1 1 1 2 3 4 活动与探究 a b两个实数在数轴上的对应点如图 1 2 所示 图 1 2 用 或 号填空 1 a b 2 a b 3 a b 0 4 a b 0 5 a b a b 6 ab a 用不等式表示 1 x的与 5 的差小于 1 2 x与 6 的和大于 9 3 2 3 8 与y的 2 倍的和是正数 4 a的 3 倍与 7 的差是负数 5 x的 4 倍大于x的 3 倍与 7 的差 6 x的与 1 的和小于 2 5 4 7 x与 8 的差的不大于 0 3 2 用心 爱心 专心3 课后反思 第二课时 课 题 1 2 不等式的基本性质 教学目标 一 教学知识点 1 探索并掌握不等式的基本性质 2 理解不等式与等式性质的联 系与区别 二 能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质 培养学生的求异思维 提高大家的辨别能力 三 情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索 培养大家的钻研精神 同 时还加强了同学间的合作与交流 教学重点 探索不等式的基本性质 并能灵活地掌握和应用 教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简 教学方法 类推探究法即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质 教学过程 创设问题情境 引入新课 师 我们学习了等式 并掌握了等式的基本性质 大家还记得等式的基本性质吗 等式的基本性质 1 在等式的两边都加上 或减去 同一个数或整式 所得的结果仍 是等式 基本性质 2 在等式的两边都乘以或除以同一个数 除数不为 0 所得的结果仍是等 式 师 不等式与等式只有一字之差 那么它们的性质是否也有相似之处呢 本节课我 们将加以验证 新课讲授 1 不等式基本性质的推导 师 等式的性质我们已经掌握了 那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢 基本性质 1 在不等式的两边都加上 或减去 同一个整式 不等号的方向不变 基本性质 2 在不等式的两边同乘以一个正数时 不等号的方向不变 当不等式的两 边同时除以一个正数时 不等号的方向不变 基本性质 3 在不等式的两边同乘以一个负数时 不等号的方向改变 当不等式的两 边同时除以一个负数时 不等号的方向改变 2 用不等式的基本性质解释 的正确性 4 2 l 16 2 l 4 16 4 1 16 1 根据不等式的基本性质 2 两边都乘以l 2得 4 2 l 16 2 l 3 例题讲解 将下列不等式化成 x a 或 x a 的形式 1 x 5 1 2 2x 3 3 3x 9 说明 在不等式两边同时乘以或除以同一个数 除数不为 0 时 要注意数的正 负 从而决定不等号方向的改变与否 4 议一议 讨论下列式子的正确与错误 1 如果a b 那么a c b c 2 如果a b 那么a c b c 3 如果a b 那么ac bc 4 如果a b 且c 0 那么 c a c b 本题难度较大 请大家全面地加以考虑 并能互相合作交流 大家能得到什么启示呢 用心 爱心 专心4 在利用不等式的性质 2 和性质 3 时 关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性 质的数 从而确定不等号的改变与否 等式和不等式的性质的区别和联系 请大家对比地进行 区别 在等式的两边同时乘以或除以同一个数 除数不为 0 时 所得结果仍是等式 在不等式的两边同时乘以或除以同一个数 除数不为 0 时会出现两种情况 若为正数则 不等号方向不变 若为负数则不等号的方向改变 联系 不等式的基本性质和等式的基本性质 都讨论的是在两边同时加上 或减去 同时乘以 或除以 除数不为 0 同一个数时的情况 且不等式的基本性质 1 和等式的基本 性质 1 相类似 课堂练习 1 将下列不等式化成 x a 或 x a 的形式 1 x 1 2 2 x 6 5 2 已知x y 下列不等式一定成立吗 1 x 6 y 6 2 3x 3y 3 2x 2y 3 设a b 用 或 号填空 1 a 1 b 1 2 a 3 b 3 3 3a 3b 4 4 a 4 b 5 6 a b 7 a 7 b 课时小结 1 本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质 2 利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空 课后作业 习题 1 2 活动与探究 1 比较a与 a的大小 2 有一个两位数 个位上的数字是a 十位上的数是b 如果把这个两位数的个位与十 位上的数对调 得到的两位数大于原来的两位数 那么a与b哪个大哪个小 参考练习 1 根据不等式的基本性质 把下列不等式化成 x a 或 x a 的形式 1 x 2 3 2 6x 5x 1 3 x 5 4 4x 3 2 1 2 设a b 用 或 号填空 1 a 3 b 3 2 3 4a 4b 4 5a 5b 2 a 2 b 5 当a 0 b 0 时 ab 0 6 当a 0 b 0 时 ab 0 7 当a 0 b 0 时 ab 0 8 当a 0 b 0 时 ab 0 课后反思 第三课时 课 题 1 3 不等式的解集 教学目标 一 教学知识点 1 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义 2 理解不等式的解 不等式的解集 解不等式这些概念的含义 3 会在数轴上表示不等式的解集 用心 爱心 专心5 二 能力训练要求 1 培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力 2 经历求不等式的解集的过程 发展学生的创新意识 三 情感与价值观要求 从实际问题抽象为数学模型 让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发 展的作用 通过探索求不等式的解集的过程 体验数学活动充满着探索与创造 教学重点 1 理解不等式中的有关概念 2 探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 教学难点 探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 教学方法 引导学生探索学习法 教具准备 投影片一张 记作 1 3 A 教学过程 创设问题情境 引入新课 师 上节课 我们对照等式的性质类比地推导出了不等式的基本性质 并且讨论了 它们的异同点 下面我找一位同学简单地回顾一下不等式的基本性质 生 不等式的基本性质 1 不等式的两边都加上 或减去 同一个整式 不等号的 方向不变 不等式的基本性质 2 不等式的两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不 变 不等式的基本性质 3 不等式的两边都乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向改 变 师 很好 在学习了等式的基本性质后 我们利用等式的基本性质学习了一元一次方程 知道了 方程的解 解方程等概念 大家还记得这些概念吗 生 记得 能够使方程两边的值相等的未知数的值就是方程的解 求方程的解的过程 叫做解方程 师 非常好 上节课我们用类推的方法 仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本 性质 能不能按此方法推导出不等式的解和解不等式呢 本节课我们就来试一试 新课讲授 1 现实生活中的不等式 燃放某种礼花弹时 为了确保安全 人在点燃导火线后要在燃放前转移到 10 m 以外的 安全区域 已知导火线的燃烧速度为以 0 02 m s 人离开的速度为 4 m s 那么导火线的长 度应为多少厘米 师 分析 人转移到安全区域需要的时间最少为秒 导火线燃烧的时间为 4 10 秒 要使人转移到安全地带 必须有 10002 0 x 10002 0 x 4 10 解 设导火线的长度应为x cm 根据题意 得 10002 0 x 4 10 x 5 2 想一想 1 x 5 6 8 能使不等式x 5 成立吗 2 你还能找出一些使不等式x 5 成立的x的值吗 用心 爱心 专心6 生 1 x 5 不能使x 5 成立 x 6 8 能使不等式x 5 成立 2 x 9 10 11 等比 5 大的数都能使不等式x 5 成立 师 由此看来 6 7 8 9 10 都能使不等式成立 那么大家能否根据方程的解 来类推出不等式的解呢 不等式的解唯一吗 生 可以 能使不等式成立的未知数的值 叫做不等式的解 如 6 7 8 都是x 5 的 解 所以不等式的解不唯一 有无数个解 师 正因为不等式的解不唯一 因此把所有满足不等式的解集合在一起 构成不等 式的解集 solution set 请大家再类推出解不等式的概念 生 求不等式解集的过程叫解不等式 3 议一议 请你用自己的方式将不等式x 5 的解集和不等式x 5 1 的解集分别表示在数轴上 并与同伴交流 生 不等式x 5 的解集可以用数轴上表示 5 的点的右边部分来表示 图 1 3 在 数轴上表示 5 的点的位置上画空心圆圈 表示 5 不在这个解集内 图 1 3 不等式x 5 1 的解集x 4 可以用数轴上表示 4 的点及其左边部分来表示 图 1 4 在数轴上表示 4 的点的位置上画实心圆点 表示 4 在这个解集内 图 1 4 师 请大家讨论一下 如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢 请举例说明 生 如x 3 即为数轴上表示 3 的点的右边部分 在数轴上表示 3 的点的位置上画 空心圆圈 表示不包括这一点 x 3 可以用数轴上表示 3 的点的左边部分来表示 在这一点上画空心圆圈 x 3 可以用数轴上表示 3 的点和它的右边部分来表示 在表示 3 的点的位置上画实 心圆点 表示包括这一点 x 3 可以用数轴上表示 3 的点和它的左边部分来表示 在表示 3 的点的位置上画实 心圆点 4 例题讲解 投影片 1 3 A 根据不等式的基本性质求不等式的解集 并把解集在数轴上表示出来 1 x 2 4 2 2x 8 3 2x 2 10 解 1 根据不等式的基本性质 1 两边都加上 2 得x 2 在数轴上表示为 图 1 5 2 根据不等式的基本性质 2 两边都除以 2 得x 4 在数轴上表示为 图 1 6 3 根据不等式的基本性质 1 两边都加上 2 得 2x 8 根据不等式的基本性质 3 两边都除以 2 得x 4 在数轴上表示为 用心 爱心 专心7 图 1 7 课堂练习 1 判断正误 1 不等式x 1 0 有无数个解 2 不等式 2x 3 0 的解集为x 3 2 2 将下列不等式的解集分别表示在数轴上 1 x 4 2 x 1 3 x 2 4 x 6 1 解 1 x 1 0 x 1 x 1 0 有无数个解 正确 2 2x 3 0 2x 3 x 结论错误 2 3 2 解 图 1 8 课时小结 本节课学习了以下内容 1 理解不等式的解 不等式的解集 解不等式的概念 2 会根据不等式的基本性质解不等式 并把解集在数轴上表示出来 课后作业 习题 1 3 活动与探究 小于 2 的每一个数都是不等式x 3 6 的解 所以这个不等式的解集是x 2 这种解答 正确吗 解 不正确 从解不等式的过程来看 根据不等式的基本性质 1 两边都减去 3 得x 3 所以不等式x 3 6 的解集为x 3 而不是x 2 当然小于 2 的值都在x 3 这个范围内 它只是解集中的一部分 不是全部 所以不能以部分来代替全部 因此说x 2 是不等式x 3 6 的解是错误的 板书设计 1 3 不等式的解集 一 1 现实生活中的不等式 水费问题 2 想一想 类推不等式中的有关概念 3 议一议 如何把不等式的解集在数轴上表示出来 4 例题讲解 二 课堂练习 三 课时小结 四 课后作业 用心 爱心 专心8 备课资料 参考练习 1 用不等式表示 1 x的 3 倍大于或等于 1 2 x与 5 的和不小于 0 3 y与 1 的差不大于 6 4 x的小于或等于 2 4 1 2 不等式的解集x 3 与x 3 有什么不同 在数轴上表示它们时怎样区别 分别在数 轴上把这两个解集表示出来 3 不等式x 3 6 的解集是什么 参考答案 1 1 3x 1 2 x 5 0 3 y 1 6 4 x 2 4 1 2 x 3 指小于 3 的所有数 x 3 指小于 3 的所有数和 3 在数轴上表示它们时 x 3 不包括 3 只是 3 左边的部分 x 3 不仅包括 3 左边的部分 而且还包括 3 在数轴上表示略 3 x 3 第四课时 课 题 1 4 1 一元一次不等式 一 教学目标 一 教学知识点 1 知道什么是一元一次不等式 2 会解一元一次不等式 二 能力训练要求 1 归纳一元一次不等式的定义 2 通过具体实例 归纳解一元一次不等式的基本步骤 三 情感与价值观要求 通过观察一元一次不等式的解法 对比解一元一次方程的步骤 让学生自己归纳解一 元一次不等式的基本步骤 教学重点 1 一元一次不等式的概念及判断 2 会解一元一次不等式 教学难点 当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时 不等号的方向要改变 教学方法 自觉发现 归纳法 教师通过具体实例让学生观察 归纳 独立发现解一元一次不等式的步骤 并针对常见 错误进行指导 使他们在以后的解题中能引起注意 自觉改正错误 教具准备 投影片两张 第一张 记作 1 4 1 A 第二张 记作 1 4 1 B 教学过程 用心 爱心 专心9 创设问题情境 引入新课 师 在前面我们学习了不等式的基本性质 不等式的解 不等式的解集 解不等式 的内容 并且知道根据不等式的基本性质 可以把一些不等式化成 x a 或 x a 的形 式 那么 什么样的不等式才可以运用不等式的基本性质而被化成 x a 或 x a 的形 式呢 又需要哪些步骤呢 本节课我们将进行这方面的研究 讲授新课 1 一元一次不等式的定义 师 大家已经学习过一元一次方程的定义 你们还记得吗 生 记得 只含有一个未知数 未知数的指数是一次 这样的方程叫做一元一次方程 师 很好 我们知道一元指的是一个未知数 一次指的是未知数的指数是一次 由此 大家可以类推出一元一次不等式的定义 可以吗 生 只含有一个未知数 未知数的最高次数是一次 这样的不等式叫一元一次不等 式 师 好 下面我们判断一下 以下的不等式是不是一元一次不等式 请大家讨论 投影片 1 4 1 A 下列不等式是一元一次不等式吗 1 2x 2 5 15 2 5 3x 240 3 x 4 4 1 x 1 生 1 2 3 中的不等式是一元一次不等式 4 不是 师 4 为什么不是呢 生 因为x在分母中 不是整式 x 1 师 好 从上面的讨论中 我们可以得出判断一元一次不等式的条件有三个 即未 知数的个数 未知数的次数 且不等式的两边都是整式 请大家总结出一元一次不等式的定 义 生 不等式的两边都是整式 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 1 这 样的不等式 叫做一元一次不等式 linear inequality with one unknown 2 一元一次不等式的解法 师 在前面我们接触过的不等式中 如 2x 2 5 15 5 3x 240 都可以通过不等式 的基本性质化成 x a 或 x a 的形式 请大家来试一试 例 1 解不等式 3 x 2x 6 并把它的解集表示在数轴上 分析 要化成 x a 或 x a 的形式 首先要把不等式两边的x或常数项转移 到同一侧 变成 ax b 或 ax b 的形式 再根据不等式的基本性质求得 解 两边都加上x 得 3 x x 2x 6 x 合并同类项 得 3 3x 6 两边都加上 6 得 3 6 3x 6 6 合并同类项 得 3 3x 两边都除以 3 得 1 x 即x 1 这个不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 9 师 观察上面的步骤 大家可以看出 两边都加上x 就相当于把左边的 x改变符 用心 爱心 专心10 号后移到了右边 这种变形叫什么呢 生 叫移项 师 由此可知 移项法则在解不等式中同样适用 同理可知两边都加上 6 可以看 作把 6 改变符号后从右边移到了左边 因此 可以把这两步合起来 通过移项求得 两边都 除以 3 就是把x的系数化成 1 现在请大家按刚才分析的过程重新写一次步骤 生 移项 得 3 6 2x x 合并同类项 得 3 3x 两边都除以 3 得 1 x 即x 1 师 从刚才的步骤中 我们可以感觉到解一元一次不等式的过程和解一元一次方程 的过程有什么关系 生 有相似之处 师 大家还记得解一元一次方程的步骤吗 生 记得 有去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化成 1 师 下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式 例 2 解不等式 并把它的解集在数轴上表示出来 2 2 x 3 7x 生 解 去分母 得 3 x 2 2 7 x 去括号 得 3x 6 14 2x 移项 合并同类项 得 5x 20 两边都除以 5 得x 4 这个不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 10 师 这位同学做得很好 看来大家已经对解一元一次不等式的步骤掌握得很好了 请 大家判断以下解法是否正确 若不正确 请改正 投影片 1 4 1 B 解不等式 5 3 12 x 解 去分母 得 2x 1 15 移项 合并同类项 得 2x 16 两边同时除以 2 得x 8 生 有两处错误 第一 在去分母时 两边同时乘以 3 根据不等式的基本性质 3 不等号的方向要改 变 第二 在最后一步 两边同时除以 2 时 不等号的方向也应改变 师 回答非常精彩 这也就是我们在解一元一次不等式时常犯的错误 希望大家要引 起注意 3 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 师 请大家讨论后发表小组的意见 生 联系 两种解法的步骤相似 区别 1 不等式两边都乘以 或除以 同一个负数时 不等号的方向改变 而方程 两边乘以 或除以 同一个负数时 等号不变 2 一元一次不等式有无限多个解 而一元一次方程只有一个解 课堂练习 解下列不等式 并把它们的解集分别表示在数轴上 用心 爱心 专心11 1 5x 10 2 3x 12 0 3 2 1 x 3 54 x 4 1 2 7 x 2 23 x 解 1 两边同时除以 5 得x 2 这个不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 11 2 移项 得 3x 12 两边都除以 3 得x 4 这个不等式的解集在数轴上表示为 图 1 12 3 去分母 得 3 x 1 2 4x 5 去括号 得 3x 3 8x 10 移项 合并同类项 得 5x 7 两边都除以 5 得x 5 7 不等式的解集在数轴上表示为 图 1 13 4 去分母 得x 7 2 3x 2 移项 合并同类项 得 2x 3 两边都除以 2 得x 2 3 不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 14 课时小结 本节课学习了如下内容 1 一元一次不等式的定义 2 一元一次不等式的解法 3 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 课后作业 习题 1 4 活动与探究 求下列不等式的正整数解 1 4x 12 2 3x 9 0 解 1 解不等式 4x 12 得x 3 因为小于 3 的正整数有 1 2 两个 所以不等式 4x 12 的正整数解是 1 2 2 解不等式 3x 9 0 得x 3 因为不大于 3 的正整数有 1 2 3 三个 所以不等式 3x 9 0 的正整数解是 1 2 3 板书设计 用心 爱心 专心12 1 4 1 一元一次不等式 一 一 1 一元一次不等式的定义 2 一元一次不等式的解法 例 1 例 2 判断题 3 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 二 课堂练习 三 课时小结 四 课后作业 备课资料 同解不等式 看下面两个等式 x 3 6 1 x 9 12 2 可以知道 不等式 1 的解集是x 3 不等式 2 的解集也是x 3 就是说 不等 式 1 与 2 的解集相同 如果两个不等式的解集相同 那么这两个不等式叫做同解不等式 从上面知道 1 与 2 是同解不等式 因为不等式 2 实际上就是x 3 6 6 6 所以不等式 1 的两边都加上 6 所得不等式 即不等式x 9 12 与不等式 1 同 解 一般地 有 不等式同解原理 1 不等式的两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式 所得的 不等式与原不等式是同解不等式 不等式同解原理 2 不等式的两边都乘以 或除以 同一个正数 所得的不等式与原 不等式是同解不等式 不等式同解原理 3 不等式的两边都乘以 或除以 同一个负数 并且把不等号改变 方向后 所得的不等式与原不等式是同解不等式 我们在前面解不等式所作的变形都符合不等式的同解原理 特别要注意不等式两边都 乘以或除以同一个负数后 改变不等号的方向 这就保证最后得出的解集就是原不等式 的 解集 第五课时 课 题 1 4 2 一元一次不等式 二 教学目标 一 教学知识点 用心 爱心 专心13 1 进一步巩固求一元一次不等式的解集 2 能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题 二 能力训练要求 通过学生独立思考 培养学生用数学知识解决实际问题的能力 三 情感与价值观要求 通过学生自主探索 培养学生学数学的好奇心与求知欲 使他们能积极参与数学学习 活动 锻炼克服困难的意志 增强自信心 教学重点 1 求一元一次不等式的解集 2 用数学知识去解决简单的实际问题 教学难点 能结合具体问题发现并提出数学问题 教学方法 在教师的引导下 学生探索的方法 教具准备 投影片两张 第一张 记作 1 4 2 A 第二张 记作 1 4 2 B 教学过程 提出问题 引入新课 师 上节课 我们学习了什么叫一元一次不等式 以及如何解一些简单的一元一次 不等式 下面大家先回忆一下 生 不等式的两边都是整式 只含有一个未知数 且未知数的最高次数是一次 这 样的不等式叫一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程的一般步骤相似 大致有 1 去分 母 2 去括号 3 移项 合并同类项 4 系数化成 1 师 很好 在解不等式的过程中 有需要注意的问题吗 生 有 在去分母和系数化成 1 这两步中 如果两边同时乘以或除以同一个负数 要 注意改变不等号的方向 师 非常棒 下面我们做一个练习检查一下 看大家的动手能力如何 1 解不等式 x 15 x 7 5 1 2 1 3 1 生 解 去分母 得 6 x 15 15 10 x 7 去括号 得 6x 90 15 10 x 70 移项 合并同类项 得 16x 15 两边同除以 16 得x 16 15 师 做得很好 请看第 2 题 2 判断下面解法的对错 解不等式 2 3 12 x 6 15 x 解 去分母 得 2 2x 1 5x 1 2 去括号 得 4x 2 5x 1 2 移项 合并同类项 得 x 1 两边都乘以 1 得x 1 师 请大家先独立思考 再互相讨论 指出上面的解法有无错误 若有请指出来 生 第一 在去分母时 分子应作为一个整体 应加括号 是 5x 1 而非 5x 1 第二 整数 2 也应乘以公分母 师 这位同学的分析很精彩 请大家改正 生 解 去分母 得 2 2x 1 5x 1 12 用心 爱心 专心14 去括号 得 4x 2 5x 1 12 移项 合并同类项 得 x 9 两边都乘以 1 得x 9 师 刚才这位同学提出的改正方案也正是解此类不等式需要注意的问题 本节课我 们要加以巩固 新课讲授 例 1 解下列不等式 并把它们的解集分别在数轴上表示出来 1 1 2 3 2 x 3 x 5 x 2 2 x 师 经过刚才的改错 我们现在不进行讲解 而是要大家自觉完成 再互相改正 注意一定不要犯刚才的错误哟 生 解 1 去分母 得 3x 2x 6 合并同类项 得x 6 不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 15 2 去分母 得 2x 30 5 x 2 去括号 得 2x 30 5x 10 移项 合并同类项 得 3x 20 两边都除以 3 得x 3 20 不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 16 师 这类题型我们掌握得已很好了 下面我们来学习有关不等式的应用题 投影片 1 4 2 B 例 2 一次环保知识竞赛共有 25 道题 规定答对一道题得 4 分 答错或不答一道题 扣 1 分 在这次竞赛中 小明被评为优秀 85 分或 85 分以上 小明至少答对了几道题 例 3 小颖准备用 21 元钱买笔和笔记本 已知每支笔 3 元 每个笔记本 2 2 元 她 买了 2 本笔记本 请你帮她算一算 她还可以买几支笔 师 解不等式应用题也和解方程应用题类似 我们先回忆一下列方程解应用题应如 何进行 生 先审题 弄清题中的等量关系 设未知数 用未知数表示有关的代数式 列出 方程 解方程 最后写出答案 师 分析 总的题量有 25 题 答对一题得 4 分 答错或不答扣 1 分 最后得分在 85 分或 85 分以上 所以关系式应为 4 答对题数 1 答错题数 85 请大家自己写步骤 生 解 设小明答对了x道题 则他答错和不答的共有 25 x 道题 根据题意 得 4x 1 25 x 85 解这个不等式 得x 22 所以 小明至少答对了 22 道题 他可能答对了 22 23 24 25 道题 师 大家依据列方程解应用题的过程 对照上面解不等式应用题的步骤 总结一下 两者的不同 并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤 请互相交流 生 第一步 审题 找不等关系 第二步 设未知数 用未知数表示有关代数式 第三步 列不等式 用心 爱心 专心15 第四步 解不等式 第五步 根据实际情况写出答案 师 非常好 请大家按照刚才的步骤解答例 3 生 解 设她还可以买n支笔 根据题意得 3n 2 2 2 21 解这个不等式 得n 3 6 16 因为在这一问题中n只能取正整数 所以 小颖还可以买 1 支 2 支 3 支 4 支或 5 支笔 课堂练习 1 解 1 去分母 得x 5 5x 移项 合并同类项 得 4x 5 两边都除以 4 得x 4 5 这个不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 17 2 去分母 得x 3 7x 35 移项 合并同类项 得 6x 38 两边都除以 6 得x 3 19 不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 18 3 去分母 得 3x 12 2x 6 移项 合并同类项 得x 18 不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 19 4 去括号 得 6x 6 3 4x 移项 合并同类项 得 2x 9 两边都除以 2 得x 2 9 不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 20 2 解 设他还可以买x根火腿肠 根据题意 得 2x 3 5 26 解这个不等式 得x 5 5 所以小明还可以买 1 根 2 根 3 根 4 根或 5 根火腿肠 课时小结 根据前面我们做的练习和例题 我们来总结一下解不等式的一般步骤 理论依据及注 意事项 和解一元一次不等式应用题的一般步骤 用心 爱心 专心16 1 解一元一次不等式的一般步骤 1 去分母等式性质 2 或 3 根据 注意 勿漏乘不含分母的项 分子是两项或两项以上的代数式时要加括号 若两边同时乘以一个负数 须注意不等号的方向要改变 1 去括号去括号法则和分配律 根据 注意 勿漏乘括号内每一项 括号前面是 号 括号内各项要变号 2 移项移项法则 不等式性质 1 根据 注意 移项要变号 4 合并同类项合并同类项法则 根据 5 系数化成 1不等式基本性质 2 或性质 3 根据 注意 两边同时除以未知数的系数时 要分清不等号的方向是否改变 2 解一元一次不等式应用题的步骤 1 审题 找不等关系 2 设未知数 3 列不等关系 4 解不等式 5 根据实际情况 写出全部答案 课后作业 P17习题 1 5 活动与探究 x取什么值时 代数式 2x 5 的值 1 大于 0 2 不大于 0 解 1 根据题意 得 2x 5 0 解得x 2 5 所以当x 时 2x 5 的值大于 0 2 5 2 根据题意 得 2x 5 0 解得x 2 5 所以当x 时 2x 5 的值不大于 0 2 5 板书设计 1 4 2 一元一次不等式 二 一 例 1 解不等式 二 例 2 例 3 解不等式应用题 三 课堂练习 四 课时小结 1 解一元一次不等式的一般步骤及注意事项 用心 爱心 专心17 2 解一元一次不等式应用题的一般步骤 五 课后作业 备课资料 参考练习 解下列不等式 并把它们的解集在数轴上表示出来 1 2 2x 3 5 x 1 2 10 3 x 6 1 3 3 x 3 2 1 4 1 5 3 x 2 2 x 5 2 3 x 5 6 x 6 3 12 x 6 43 x 7 1 2 5 x 2 23 x 8 3 1 y 2 1 y 6 1 y 参考答案 1 x 1 2 x 3 3 x 3 4 x 6 5 x 9 6 x 2 7 x 8 y 3 2 1 在数轴上表示略 第六课时 课 题 1 5 1 一元一次不等式与一次函数 一 教学目标 一 教学知识点 1 一元一次不等式与一次函数的关系 2 会根据题意列出函数关系式 画出函数图象 并利用不等关系进行比较 二 能力训练要求 1 通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合 培养学生的数形结合意识 2 训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力 三 情感与价值观要求 体验数 图形是有效地描述现实世界的重要手段 认识到数学是解决问题和进行交流 的重要工具 了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用 教学重点 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系 教学难点 自己根据题意列函数关系式 并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答 教学方法 研讨法 即主要由学生自主交流合作来解决问题 老师只起引导作用 用心 爱心 专心18 教具准备 投影片两张 第一张 记作 1 5 1 A 第二张 记作 1 5 1 B 教学过程 创设问题情境 引入新课 师 上节课我们学习了一元一次不等式的解法 那么 是不是不等式的知识是孤立 的呢 本节课我们来研究不等式的有关应用 新课讲授 1 一元一次不等式与一次函数之间的关系 师 大家还记得一次函数吗 请举例给出它的一般形式 生 如y 2x 5 为一次函数 师 在一次函数y 2x 5 中 当y 0 时 有方程 2x 5 0 当y 0 时 有不等式 2x 5 0 当y 0 时 有不等式 2x 5 0 由此可见 一次函数与一元一次方程 一元一次不等式之间有密切关系 当函数值等 于 0 时即为方程 当函数值大于或小于 0 时即为不等式 下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系 2 做一做 投影片 1 5 1 A 作出函数y 2x 5 的图象 观察图象回答下列问题 1 x取哪些值时 2x 5 0 2 x取哪些值时 2x 5 0 3 x取哪些值时 2x 5 0 4 x取哪些值时 2x 5 3 图 1 21 请大家讨论后回答 生 1 当y 0 时 2x 5 0 x 2 5 当x 时 2x 5 0 2 5 2 要找 2x 5 0 的x的值 也就是函数值y大于 0 时所对应的x的值 从图象上 可知 y 0 时 图象在x轴上方 图象上任一点所对应的x值都满足条件 当y 0 时 则 有 2x 5 0 解得x 当x 时 由y 2x 5 可知 y 0 因此当x 时 2x 5 0 2 5 2 5 2 5 3 同理可知 当x 时 有 2x 5 0 2 5 4 要使 2x 5 3 也就是y 2x 5 中的y大于 3 那么过纵坐标为 3 的点作一条直 用心 爱心 专心19 线平行于x轴 这条直线与y 2x 5 相交于一点B 4 3 则当x 4 时 有 2x 5 3 3 试一试 如果y 2x 5 那么当x取何值时 y 0 师 由刚才的讨论 大家应该很轻松地完成任务了吧 请大家试一试 生 首先要画出函数y 2x 5 的图象 如图 1 22 图 1 22 从图象上可知 图象在x轴上方时 图象上每一点所对应的y的值都大于 0 而每一 个y的值所对应的x的值都在A点的左侧 即为小于 2 5 的数 由 2x 5 0 得x 2 5 所 以当x取小于 2 5 的值时 y 0 4 议一议 投影片 1 5 1 B 兄弟俩赛跑 哥哥先让弟弟跑 9 m 然后自己才开始跑 已知弟弟每秒跑 3 m 哥哥每 秒跑 4 m 列出函数关系式 画出函数图象 观察图象回答下列问题 1 何时弟弟跑在哥哥前面 2 何时哥哥跑在弟弟前面 3 谁先跑过 20 m 谁先跑过 100 m 4 你是怎样求解的 与同伴交流 师 大家应先画出图象 然后讨论回答 生 解 设兄弟俩赛跑的时间为x秒 哥哥跑过的路程为y1 弟弟跑过的路程为 y2 根据题意 得 y1 4x y2 3x 9 函数图象如图 1 23 图 1 23 从图象上来看 1 当 0 x 9 时 弟弟跑在哥哥前面 2 当x 9 时 哥哥跑在弟弟前面 3 弟弟先跑过 20 m 哥哥先跑过 100 m 4 从图象上直接可以观察出 1 2 小题 在回答第 3 题时 过y 轴上 20 这一点作x轴的平行线 它与y1 4x y2 3x 9 分别有两个交点 每一交点都对应一个x值 哪个x的值小 说明用的时间就短 同理可知谁先跑过 100 m 课堂练习 用心 爱心 专心20 1 已知y1 x 3 y2 3x 4 当x取何值时 y1 y2 你是怎样做的 与同伴交流 解 如图 1 24 所示 图 1 24 当x取小于的值时 有y1 y2 4 7 课时小结 本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系 并且能根据一次函数的图象求解不 等式 课后作业 习题 1 6 活动与探究 作出函数y1 2x 4 与y2 2x 8 的图象 并观察图象回答下列问题 1 x取何值时 2x 4 0 2 x取何值时 2x 8 0 3 x取何值时 2x 4 0 与 2x 8 0 同时成立 4 你能求出函数y1 2x 4 y2 2x 8 的图象与x轴所围成的三角形的面积吗 并 写出过程 解 图象如下 图 1 25 分析 要使 2x 4 0 成立 就是y1 2x 4 的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集 合 同理使 2x 8 0 成立的x 即为函数y2 2x 8 的图象在x轴上方的所有点的横坐标 的集合 要使它们同时成立 即求这两个集合中公共的x 根据函数图象与x轴交点的坐 标可求出三角形的底边长 由两函数的交点坐标可求出底边上的高 从而求出三角形的面 积 解 1 当x 2 时 2x 4 0 2 当x 4 时 2x 8 0 3 当 2 x 4 时 2x 4 0 与 2x 8 0 同时成立 4 由 2x 4 0 得x 2 由 2x 8 0 得x 4 所以AB 4 2 2 用心 爱心 专心21 由 82 42 xy xy 得交点C 3 2 所以三角形ABC中AB边上的高为 2 所以S 2 2 2 2 1 板书设计 1 5 1 一元一次不等式与一次函数 一 一 1 一元一次不等式与一次函数之间的关系 2 做一做 根据函数图象求不等式 3 试一试 当x取何值时 y 0 4 议一议 二 课堂练习 三 课时小结 四 课后作业 备课资料 参考练习 1 某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品 经过市场调查发现 如果月初出售 可获利 15 并可用本和利再投资其他商品 到月末又可获利 10 如果月末出售可获利 30 但要付出仓储费用 700 元 请问根据商场的资金状况 如何购销获利较多 解 设商场计划投入资金为x元 在月初出售 到月末共获利y1元 在月末一次性出 售获利y2元 根据题意 得 y1 15 x x 15 x 10 0 265x y2 30 x 700 0 3x 700 1 当y1 y2 即 0 265x 0 3x 700 时 x 20000 2 当y1 y2 即 0 265x 0 3x 700 时 x 20000 3 当y1 y2 即 0 265x 0 3x 700 时 x 20000 所以 当投入资金不超过 20000 元时 第一种销售方式获利较多 当投入资金超过 20000 元时 第二种销售方式获利较多 2 某医院研究发现了一种新药 在试验药效时发现 如果成人按规定剂量服用 那么 服药后 2 小时时血液中含药量最高 达每毫升 6 微克 1 微克 10 3毫克 接着逐步衰减 10 小时时血液中含药量为每毫升 3 毫克 每毫升血液中含药量y 微克 随着时间x 小 时 的变化如图所示 成人按规定服药后 1 分别求出x 2 和x 2 时 y与x之间的函数关系式 2 根据图象观察 如果每毫升血液中含药量为 4 微克或 4 微克以上 在治疗疾病时 是有效的 那么这个有效时间是多少 图 1 26 解 1 当x 2 时 图象过 0 0 2 6 点 设y1 k1x 把 2 6 代入得 k1 3 y1 3x 当x 2 时 图象过 2 6 10 3 点 用心 爱心 专心22 设y2 k2x b 则有 310 62 2 2 bk bk 得k2 b 8 3 4 27 y2 x 8 3 4 27 2 过y轴上的 4 点作平行于x轴的一条直线 于y1 y2的图象交于两点 过这两点 向x轴作垂线 对应x轴上的和 即在 6 小时间是有效的 3 4 3 22 3 22 3 4 第七课时 课 题 1 5 2 一元一次不等式与一次函数 二 教学目标 一 教学知识点 进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用 二 能力训练要求 通过用不等式的知识去解决实际问题 以发展学生解决问题的能力 三 情感与价值观要求 把数学知识与现实生活相联系 让学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史 发展的作用 增强他们学数学的兴趣和积极性 从而更好地服务于社会 教学重点 利用不等式及等式的有关知识解决现实生活中的实际问题 教学难点 认真审题 找出题中的等量或不等关系 全面地考虑问题是本节的难点 教学方法 启发式 教具准备 投影片两张 第一张 记作 1 5 2 A 第二张 记作 1 5 2 B 教学过程 提出问题 导入新课 师 同学们 我们已经学习了不等式的解法及应用 但是它的应用远不止于我们前 面学过的这些 它的应用很广泛 比如 随着国家的富裕 人民生活水平的提高 人们的消 费观念也在逐渐转变 在放假期间很多人热衷于旅游 而旅行社瞅准了这个商机 会打着 各式各样的优惠政策来诱惑你 那么究竟应该选哪一家呢 人们犹豫了 有时感觉到上当 了 如果你学了今天的课程 那么你以后就不会上当了 下面我们一起来探究这里的奥妙 新课讲授 例 1 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游 参加旅游的人数估计为 10 25 人 甲 乙两家旅行社的服务质量相同 且报价都是每人 200 元 经过协商 甲旅行社表示 可给予每位游客七五折优惠 乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用 其余游客八折 优惠 该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少 师 请大家先计划一下 你计划选哪家旅行社 生 我选甲旅行社 因为打七五折 比打八折要便宜 生 我选乙旅行社 因为乙旅行社既打八折 还免交一个人的费用 200 元 生 我不能肯定 一定要计算一下才能决定 用心 爱心 专心23 师 大家同意这三位同学中的哪一位呢 生 同意第三位同学的意见 师 分析 首先我们要根据题意 分别表示出两家旅行社关于人数的费用 然后才 能比较 而且比较情况只能有三种 即大于 等于或小于 解 设该单位参加这次旅游的人数是x人 选择甲旅行社时 所需费用为y1元 选择 乙旅行社时 所需的费用为y2元 则 y1 200 0 75x 150 x y2 200 0 8 x 1 160 x 160 当y1 y2时 150 x 160 x 160 解得x 16 当y1 y2时 150 x 160 x 160 解得x 16 当y1 y2时 150 x 160 x 160 解得x 16 因为参加旅游的人数为 10 25 人 所以当x 16 时 甲乙两家旅行社的收费相同 当 17 x 25 时 选择甲旅行社费用较少 当 10 x 15 时 选择乙旅行社费用较少 师 由此看来 你选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠政策有关 而且还和参加旅游 的人数有关 那么在以后的旅行中 大家一定不要想当然 而是要精打细算才能做到合理 开支 现在 你学会了吗 下面 我们要到商店走一趟 看看商家又是如何吸引顾客的