辽宁省抚顺县高三数学复习 第十一章 概率 第二节 概率的应用新人教A版

1 第二节第二节 概率的应用概率的应用 A A 组组 1 在一个袋子中装有分别标注数字 1 2 3 4 5 的五个小球 这些小球除标注的数字外完全 相同 现从中随机取出 2 个小球 则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 解析 当取出的小球标注的数字之和为 3 时只有 1 2 一种取法 当取出的小球标注的 数字之和为 6 时 有 1 5 2 4 两种取法 所以符合条件的取法种数为 3 种 而所有的 取法有 10 种 故所求的概率为 答案 3 10 3 10 2 已知k Z Z k 1 2 4 若 A 4 则 ABC是直角三角形的概率为 AB AC B 解析 A 4 k2 1 16 k2 15 k 3 2 1 0 1 2 3 B B 2 k 3 若A B k2 2k 3 0 则k 1 k 3 若 C B C B A 0 则k 8 舍 若A A 0 则k 2 故P 答案 C C B C 3 7 3 7 3 2010 年南京调研 甲盒子里装有分别标有数字 1 2 4 7 的 4 张卡片 乙盒子里装有分 别标有数字 1 4 的 2 张卡片 若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片 则 2 张卡片上的数 字之和为奇数的概率是 解析 数字之和为奇数的有 1 4 2 1 4 1 7 4 共 4 种情形 而从两个盒子 中各抽取一张卡片共有 8 种情况 所以所求概率为 答案 1 2 1 2 4 2009 年高考江苏卷 现有 5 根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中一次随机抽取 2 根竹竿 则它们的长度恰好相差 0 3 m 的概 率为 解析 在 5 个长度中一次随机抽取 2 个 则有 2 5 2 6 2 5 2 7 2 5 2 8 2 5 2 9 2 6 2 7 2 6 2 8 2 6 2 9 2 7 2 8 2 7 2 9 2 8 2 9 共 10 种情况 满足长度恰好相差 0 3 m 的基本事件有 2 5 2 8 2 6 2 9 共 2 种情况 所以它们的长度恰好相差 0 3 m 的概率为P 答案 2 10 1 5 1 5 5 原创题 连掷两次骰子分别得到点数m n 向量a a m n b b 1 1 若在 ABC 中 A与a a同向 C与b b反向 则 ABC是钝角的概率是 B B 解析 要使 ABC是钝角 必须满足A C0 连掷两次骰子所 B B 得点数m n共有 36 种情形 其中 15 种满足条件 故所求概率是 5 12 6 一个袋子中有红 白 蓝三种颜色的球共 24 个 除颜色外其他特征完全相同 已知蓝 色球 3 个 若从袋子中随机取出 1 个球 取到红色球的概率是 1 6 1 求红色球的个数 2 若将这三种颜色的球分别进行编号 并将 1 号红色球 1 号白色球 2 号蓝色球和 3 号蓝色球这四个球装入另一个袋子中 甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球 甲先取 取出的球不放回 求甲取出的球的编号比乙大的概率 解 1 设红色球有x个 依题意得 解得x 4 红色球有 4 个 x 24 1 6 2 记 甲取出的球的编号比乙的大 为事件A 所有的基本事件有 红 1 白 1 红 1 蓝 2 红 1 蓝 3 白 1 红 1 白 1 蓝 2 白 1 蓝 3 蓝 2 红 1 蓝 2 白 1 蓝 2 蓝 3 蓝 3 红 1 蓝 3 白 1 蓝 3 蓝 2 共 12 个 事件A包 含的基本事件有 蓝 2 红 1 蓝 2 白 1 蓝 3 红 1 蓝 3 白 1 蓝 3 蓝 2 2 共 5 个 所以P A 5 12 B B 组组 1 2009 年高考浙江卷 有 20 张卡片 每张卡片上分别标有两个连续的自然数k k 1 其中k 0 1 2 19 从这 20 张卡片中任取一张 记事件 该卡片上两个数的各位数字 之和 例如 若取到标有 9 10 的卡片 则卡片上两个数的各位数字之和为 9 1 0 10 不 小于 14 为A 则P A 解析 对于大于 14 的情况通过列举可得有 5 种情况 7 8 8 9 16 17 17 18 18 19 而基本事件有 20 种 因此P A 1 4 答案 1 4 2 用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形 则按此规律第 100 个图形 中有白色地砖 块 现将一粒豆子随机撒在第 100 个图形中 则豆子落在白色地砖 上的概率是 解析 白色地砖构成等差数列 8 13 18 5n 3 an 5n 3 a100 503 第 100 个图形中有地砖 503 100 603 故所求概率P 答 503 603 案 503 503 603 3 设集合A 1 2 B 1 2 3 分别从集合A和B中随机取一个数a和b 确定平面上 的一个点P a b 记 点P a b 落在直线x y n上 为事件Cn 2 n 5 n N N 若 事件Cn的概率最大 则n的所有可能值为 解析 分别从A和B中各取 1 个数 一共有 6 种等可能的取法 点P a b 恰好落在 直线x y 2 上的取法只有 1 种 1 1 恰好落在直线x y 3 上的取法有 2 种 1 2 2 1 恰好落在直线x y 4 上的取法也有 2 种 1 3 2 2 恰好落在直线 x y 5 上的取法只有 1 种 2 3 故事件Cn的概率分别为 n 2 3 4 5 故当 1 6 1 3 1 3 1 6 n 3 或 4 时概率最大 答案 3 和 4 4 先后从分别标有数字 1 2 3 4 的 4 个大小 形状完全相同的球中 有放回地随机抽取 2 个球 则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于 解析 基本事件共有 4 4 16 个 其中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的情况有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 4 1 共 10 种 所以所求概率为 答案 10 16 5 8 5 8 5 把一颗骰子投掷两次 观察出现的点数 并记第一次出现的点数为a 第二次出现的点 数为b 向量m m a b n n 1 2 则向量m m与向量n n垂直的概率是 解析 显然m nm n a 2b 0 所有可能的结果为 a b 2 1 4 2 6 3 基 本事件总数为 36 则概率为 答案 1 12 1 12 6 2010 年南京高三调研 如图 将一个体积为 27 cm3 的正方体 木块表面涂上蓝色 然后锯成体积为 1 cm3 小正方体 从中任 取一块 则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是 解析 据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它们是大正 方体的各条棱的中点时满足条件 正方体共 12 条棱 所以两面 涂色的小正方体有 12 个 而所有小正方体有 27 个 所 3 以 所求的概率为P 答案 12 27 4 9 4 9 7 集合A 2 4 6 8 10 B 1 3 5 7 9 在A中任取一元素m和在B中任取一元素 n 则所取两数m n的概率是 解析 基本事件总数为 25 个 m 2 时 n 1 m 4 时 n 1 3 m 6 时 n 1 3 5 m 8 时 n 1 3 5 7 m 10 时 n 1 3 5 7 9 共 15 个 故P 0 6 答 15 25 案 0 6 8 集合 A x y y x 1 集合B x y y x 5 先后掷两颗骰子 设掷第一颗骰 子得点数记作a 掷第二颗骰子得点数记作 b 则 a b A B 的概率等于 解析 如图 满足 a b A B 的 a b 值共有 8 个 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 3 2 P 答案 8 6 6 2 9 2 9 9 2010 年江苏泰兴模拟 已知 x 2 y 2 点P的坐 标为 x y 则当x y Z Z 时 P满足 x 2 2 y 2 2 4 的概率为 解析 由 x 2 y 2 x y Z Z 则基本事件总数 为n 25 P满足 x 2 2 y 2 2 4 满足条件的整点 有 0 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 0 6 个 故P 答案 6 25 6 25 10 2010 年皖南八校质检 甲 乙两人各掷一次骰子 均匀的正方体 六个面上分别为 1 2 3 4 5 6 点 所得点数分别为x y 1 求x y的概率 2 求 5 x y 10 的概率 解 记基本事件为 x y 则有 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 共 36 个基本事件 其中满足x y的基本事件有 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 共 15 个 满足 5 x y 10 的基本事件有 1 5 1 6 2 4 2 5 2 6 3 3 3 4 3 5 3 6 4 2 4 3 4 4 4 5 5 1 5 2 5 3 5 4 6 1 6 2 6 3 共 20 个 1 x y的概率P x y 15 36 5 12 2 5 x y 10 的概率P 5 x y 10 20 36 5 9 11 晚会上 主持人面前放着A B两个箱子 每箱均装有 3 个完全相同的球 各箱的 3 个 球分别标有号码 1 2 3 现主持人从A B两箱中各摸出一球 1 若用 x y 分别表示从A B两箱中摸出的球的号码 请写出数对 x y 的所有情 形 并回答一共有多少种 2 求所摸出的两球号码之和为 5 的概率 4 3 请你猜这两球的号码之和 猜中有奖 猜什么数获奖的可能性最大 说明理由 解 1 数对 x y 的所有情形为 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 共 9 种 2 记 所摸出的两球号码之和为 5 为事件A 则事件A包含的基本情形有 2 3 3 2 共 2 种 所以P A 2 9 3 记 所摸出的两球号码之和为i 为事件Ai i 2 3 4 5 6 由 1 可知事件A2的基本结果为 1 种 事件A3的基本结果为 2 种 事件A4的基本结果 为 3 种 事件A5的基本结果为 2 种 事件A6的基本结果为 1 种 所以P A2 P A3 1 9 P A4 P A5 P A6 2 9 3 9 2 9 1 9 故所摸出的两球号码之和为 4 的概率最大 即猜 4 获奖的可能性最大 12 从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 人测量身高 据测量 被测学生身高全部介于 155 cm 到 195 cm 之间 将测量结果按如下方式分 成八组 第一组 155 160 第二组 160 165 第八组 190 195 如图是按上述分组方法得 到的频率分布直方图的一部分 已知第一组与第 八组人数相同 第六组 第七组 第八组人数依 次构成等差数列 1 估计这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上 含 180 cm 的人数 2 求第六组 第七组的频率并补充完整频率 分布直方图 3 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人 记他们的身高分别为 x y 求满足 x y 5 的事件的概率 解 1 由频率分布直方图得前五组频率为 0 008 0 016 0 04 0 04 0 06 5 0 82 后三组频率为 1 0 82 0 18 人数为 0 18 50 9 这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上 含 180 cm 的人数为 800 0 18 144 2 由频率分布直方图得第八组频率为 0 008 5 0 04 人数为 0 04 50 2 设第六组 人数为m 则第七组人数为 9 2 m 7 m 又m 2 2 7 m 解得m 4 所以第六组人数为 4 第七组人数为 3 频率分别 等于 0 08 0 06 分别等于 0 016 0 012 其完整的 频率 组距