高三数学第一轮复习单元测试— 《集合与函数》全国通用

用心 爱心 专心 高三数学第一轮复习单元测试高三数学第一轮复习单元测试 集合与函数集合与函数 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设集合 则满足的集合 B 的个数是 1 2 A 1 2 3 AB A 1 B 3 C 4 D 8 2 已知集合 M x N y y 3x2 1 x R 则 M N 0 1 3 x x A B x x 1 C x x 1 D x x 1 或 x 0 3 有限集合中元素个数记作 card 设 都为有限集合 给出下列命题 S SAB 的充要条件是 card card card BA BA A B 的必要条件是 cardcard BA A B 的充分条件是 cardcard BA A B 的充要条件是 cardcard BA A B 其中真命题的序号是 A B C D 4 已知集合 M x x 3 N x log2x 1 则 M N A B x 0 x 3 C x 1 x 3 D x 2 x 3 5 函数的反函数是 2 log 1 1 x yx x A B C D 2 0 21 x x yx 2 0 21 x x yx 21 0 2 x x yx 21 0 2 x x yx 6 函数的定义域是 13lg 1 3 2 x x x xf A B C D 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 7 下列函数中 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A B Rxxy 3 Rxxy sin D Rxxy 1 2 x yxR 8 函数的反函数的图象与 y 轴交于点 xfy 1 xfy 用心 爱心 专心 如图 2 所示 则方程的根是 2 0 P0 xf x A 4 B 3 C 2 D 1 9 已知函数若则 2 24 03 f xaxaxa 1212 1 xx xxa A B 12 f xf x 12 f xf x C D 与的大小不能确定 12 f xf x 1 f x 2 f x 10 为确保信息安全 信息需加密传输 发送方由明文密文 加密 接收方由密文 明文 解密 已知加密规则为 明文对应密文例 a b c d2 2 23 4 abbccdd 如 明文对应密文当接收方收到密文时 则解密得到的明1 2 3 45 7 18 16 14 9 23 28 文为 A B C D 7 6 1 46 4 1 74 6 1 71 6 4 7 11 如图所示 单位圆中弧 AB 的长为 x f x 表示弧 AB 与弦 AB 所 围成的弓形面积的 2 倍 则函数 y f x 的图象是 12 关于的方程 给出下列四个命题 x 011 2 2 2 kxx 存在实数 使得方程恰有 2 个不同的实根 k 存在实数 使得方程恰有 4 个不同的实根 k 存在实数 使得方程恰有 5 个不同的实根 k 存在实数 使得方程恰有 8 个不同的实根 k 其中假命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 函数对于任意实数满足条件 若则 f xx 1 2f x f x 15 f 5ff 14 设 f x log3 x 6 的反函数为 f 1 x 若 f 1 m 6 f 1 n 6 27 则 f m n 用心 爱心 专心 15 设则 0 0 x ex g x lnx x 1 2 g g 16 设 则的定义域为 x x xf 2 2 lg x f x f 2 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知函数满足且对于任意 恒有bxaxxflg 2 lg 2 2 1 fRx 成立 xxf2 1 求实数的值 2 解不等式 ba 5 xxf 18 本小题满分 12 分 20 个下岗职工开了 50 亩荒地 这些地可以种蔬菜 棉花 水稻 如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下 每亩需劳力每亩预计产值 蔬 菜 2 1 1100 元 棉 花 3 1 750 元 水 稻 4 1 600 元 问怎样安排 才能使每亩地都种上作物 所有职工都有工作 而且农作物的预计总产值达 到最高 19 本小题满分 12 分 已知函数 1 2 Rxbabxaxxf 为实数 0 0 xxf xxf xF 1 若且函数的值域为 求的表达式 0 1 f x f 0 xF 2 在 1 的条件下 当时 是单调函数 求实数 k 的取值 2 2 xkxxfxg 范围 3 设 且为偶函数 判断 能否大于零 0 nm 0 nm0 a xf mF nF 用心 爱心 专心 20 满分 12 分 已知定义域为 R 的函数 f x 满足 f f x x2 y f x x2 x 1 若 f 2 3 求 f 1 又若 f 0 a 求 f a 2 设有且仅有一个实数 x0 使得 f x0 x0 求函数 f x 的解析表达式 21 本小题满分 12 分 设函数 54 2 xxxf 1 在区间上画出函数的图像 6 2 xf 2 设集合 试判断集合和 6 4 0 2 5 BxfxAA 之间的关系 并给出证明 B 3 当时 求证 在区间上 的图像位于函数图像的2 k 5 1 3ykxk xf 上方 22 本小题满分 14 分 设 a 为实数 记函数的最大值为 g a xxxaxf 111 2 1 设 t 求 t 的取值范围 并把 f x 表示为 t 的函数 m t xx 11 2 求 g a 2 试求满足的所有实数 a 1 a gag 用心 爱心 专心 参考答案 1 1 C 则集合 B 中必含有元素 3 即此题可转化为求集合 1 2 A 1 2 3 AB 的子集 1 2 A 个数问题 所以满足题目条件的集合 B 共有个 故选择答案 C 2 24 2 C M x x 1 或 x 0 N y y 1 故选 C 3 B 选由 card card card card知 card card BA A B AB BA A cardcard 0 由的定义知 cardcard B AB BA BA A B 4 D 用数轴表示可得答案 D 2 log12Nxxx x 5 A 即 2 log 1 x y x 2 1 y x x 2 21 x x y 即1x 1 11 11 x xx 2 log0 1 x y x 函数的反函数为 2 log 1 1 x yx x 2 0 21 x x yx 6 B 由 故选 B 1 3 1 013 01 x x x 7 B 在其定义域内是奇函数但不是减函数 C 在其定义域内既是奇函数又是增函数 D 在 其定义域内不是奇 函数 是减函数 故选 A 8 C 利用互为反函数的图象关于直线 y x 对称 得点 2 0 在原函数的图象 xfy 上 即 0 2 f 所以根为 x 2 故选 C 9 B 取特值 选 B 或二次函数其函数值的大小关系 22 2 2 1 21 ffxxa 分类研究对 用心 爱心 专心 成轴和区间的关系的方法 易知函数的对成轴为 开口向上的抛物线 由 1 x 12 xx x1 x2 0 需 分类研究和对成轴的关系 用单调性和离对成轴的远近作判断 故选 B 12 xx 10 B 理解明文密文 加密 密文明文 解密 为一种变换或为一种对应关系 构建方程组求解 依提意用明文表示密文的变换公式为 于是密文 dm dcz cby bax 4 32 2 2 14 9 23 28 满足 即有 选 B 6 4 1 7 428 3223 29 214 a b c d d dc cb ba 11 D 当 x 时 阴影部分面积为个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积 2 1 4 故此时 即点 在直线 y x 的下方 故应在 C D 中选 而 12 2 24222 f 2 22 当 x 时 阴影部分面积为个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积 即 3 2 3 4 即点 在直线 y x 的上方 故选 D 32 2 2 22 f 3 2 3 2 2 12 B 本题考查换元法及方程根的讨论 要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能 力 据题意可令 则方程化为 作出函数 2 1xt 0 t 2 0ttk 的图象 结合函数的图象可知 1 当 t 0 或 t 1 时方程 有 2 个不等的根 2 1yx 2 当 0 t 1 时方程 有 4 个根 3 当 t 1 时 方程 有 3 个根 故当 t 0 时 代入方程 解得 k 0 此时方程 有两个不等根 t 0 或 t 1 故此时原方 程有 5 个根 当方程 有两个不等正根时 即此时方程 有两根且均小于 1 大于 1 0 4 k 0 故相应的满足方程的解有 8 个 即原方程的解有 8 个 当时 方程 2 1xt 1 4 k 有两个相等正根 t 相应的原方程的解有 4 个 故选 B 1 2 13 由得 所以 则 1 2f x f x 1 4 2 f xf x f x 5 1 5ff 11 5 5 1 12 5 ffff f 14 f 1 x 3x 6 故 f 1 m 6 f 1 x 6 3m 3n 3m n 27 m n 3 f m n log3 3 6 2 15 1 ln2 111 ln 222 g gge 用心 爱心 专心 16 由得 的定义域为 故 解得 2 0 2 x x f x22x 22 2 2 22 x x 4 11 4x 故的定义域为 x f x f 2 2 4 11 4 17 1 由知 又恒成 2 1 f 01lglg ab 10 b a xxf2 立 有恒成立 故 0lglg 2 baxx0lg4 lg 2 ba 将 式代入上式得 即故 01lg2 lg 2 ba 0 1 lg 2 b1blg 即 代入 得 10 b100 a 2 即 14 2 xxxf 5 xxf 514 2 xxx 043 2 xx 解得 不等式的解集为 14 x 14 xx 18 设种蔬菜 棉花 水稻分别为 x 亩 y 亩 z 亩 总产值为 u 依题意得 x y z 50 则 u 1100 x 750y 600z 43500 50 x 20 4 1 3 1 2 1 zyx x0 y 90 3x0 z wx 400 得 20 x30 当 x 30 时 u 取得大值 43500 此 时 y 0 z 20 安排 15 个职工种 30 亩蔬菜 5 个职工种 20 亩水稻 可使产值高达 45000 元 19 1 又恒成立 0 1 f 01ba 0 xfRx 04 0 2 ab a 0 1 4 2 bb1a 2b 22 1 12 xxxxf 0 1 0 1 2 2 xx xx xF 2 则1 2 12 22 xkxkxxxkxxfxg 4 2 1 2 2 2 2 kk x 当或时 即或时 是单调函数 2 2 2k 2 2 2k 6k 2k x g 3 是偶函数 xf 1 2 axxf 0 1 0 1 2 2 xax xax xF 设则 又 0nm nm 0n 0 0 nmnm n m mF nF 用心 爱心 专心 能大0 1 1 2222 nmaanamnfmf m F n F 于零 20 1 因为对任意 x R 有 f f x x2 x f x x2 x 所以 f f 2 22 2 f 2 22 2 又由 f 2 3 得 f 3 22 2 3 22 2 即 f 1 1 若 f 0 a 则 f a 02 0 a 02 0 即 f a A 2 因为对任意 x R 有 f f x x2 x f x x2 x 又因为有且只有一个实数 x0 使得 f x0 x0 所以对任意 x R 有 f x x2 x x0 在上式中令 x x0 有 f x0 x x0 x0 又因为 f x0 x0 所以 x0 2 0 x 0 故 x0 0 或 x0 1 2 0 若 x0 0 则f x x2 x 0 即f x x2 x 但方程x2 x x 有两上不同实根 与 题设条件矛质 故 x2 0 若 x2 1 则有 f x x2 x 1 即 f x x2 x 1 易验证该函数满足 题设条件 综上 所求函数为 f x x2 x 1 xR 21 1 2 方程的解分别是和5 xf 4 0 142 142 由于在和上单调递减 xf 1 5 2 在和上单调递增 因此 2 1 5 142 4 0 142 A 由于 AB 2142 6142 3 解法一 当时 5 1 x54 2 xxxf 54 3 2 xxxkxg 53 4 2 kxkx 4 3620 2 4 2 2 kkk x 又 2k 1 2 4 k 51 x 当 即时 取 1 2 4 1 k 62 k 2 4k x min xg 6410 4 1 4 3620 2 2 k kk 用心 爱心 专心 则 064 10 64 10 16 22 kk 0 min xg 当 即时 取 1 2 4 k 6 k1 x min xg02 k 由 可知 当时 2 k0 xg 5 1 x 因此 在区间上 的图像位于函数图像的上方 5 1 3 xky xf 解法二 当时 5 1 x54 2 xxxf 由 得 54 3 2 xxy xky 0 53 4 2 kxkx 令 解得 或 0 53 4 4 2 kk2 k18 k 在区间上 当时 的图像与函数的图像只交于一点 5 1 2 k 3 2 xy xf 8 1 当时 的图像与函数的图像没有交点 18 k 3 18 xy xf 如图可知 由于直线过点 当时 直线是由直线 3 xky 0 3 2 k 3 xky 绕点逆时针方向旋转得到 因此 在区间上 的 3 2 xy 0 3 5 1 3 xky 图像 位于函数图像的上方 xf 22 1 要使 有意义 必须且 即xxt 11t01 x01 x 11 x 且 的取值范围是 4 2 122 22 xt0 tt 2 2 由 得 1 2 1 1 22 txttatm 1 2 1 2 atat 2 2 1 2 2 t