高三数学高考知识模块复习指导学案——平面向量

用心 爱心 专心 高考数学知识模块复习指导系列学案 平面向量平面向量 考点梳理考点梳理 一 考试内容 1 向量 向量的概念 向量的加法与减法 实数与向量的积 2 平面向量的坐标表示 线段的定比分点 3 平面向量的数量积 平面两点间的距离公式 4 平移及平移公式 二 考试要求 1 理解向量的概念 掌握向量的几何表示 了解共线向量的概念 2 掌握向量的加法与减法 3 掌握实数与向量积 理解两个向量共线的充要条件 4 了解平面向量的基本定理 理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐标运算 5 掌握平面向量的数量积及其几何意义 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度 角度和垂直的问题 掌握向量垂直的条件 6 掌握平面两点间的距离公式 掌握线段的定比分点和中点公式 并且能熟练运用 掌 握平移公式 三 考点简析 1 平面向量知识结构表 2 向量的概念 1 向量的基本概念 定义 既有大小又有方向的量叫做向量 向量的大小也即是向量的长度 叫做向量的模 特定大小或特定关系的向量 零向量 单位向量 共线向量 平行向量 相等向量 相反向量 表示法 几何法 画有向线段表示 记为 AB 或 坐标法 AB xi yj x y 用心 爱心 专心 AB x2 x1 y2 y1 其中 A x1 y1 B x2 y2 2 向量的运算 向量的加法与减法 定义与法则 如图 5 1 a b x1 x2 y1 y2 a b x1 x2 y1 y2 其中 a x1 y1 b x2 y2 运算律 a b b a a b C a b c a O O a a 向量的数乘 实数与向量的积 定义与法则 如图 5 2 a x y x y 运算律 a a a a a a b a b 平面向量的数量积定义与法则 如图 5 3 a b a b cos a 0 b 0 0 0 a 0 a b x1x2 y1y2 a x1 y1 b x2 y2 运算律 a b b a a b a b a b a b c a c b c 3 定理与公式 共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 使得 b a 平面向量基本定理 如果 e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面 内的 任一向量 a 有且只有一对实数 1 2使 用心 爱心 专心 a 1e1 2e2 两向量垂直的充要条件 i a b a b 0 ii a b x1 x2 y1 y2 0 a x1 y1 b x2 y2 三点共线定理 平面上三点 A B C 共线的充要条件是 存在实数 使OA OB OC 其中 1 O 为平面内的任一点 数值计算公式 两点间的距离公式 21P P 2 12 2 12 yyxx P1 11 y x P2 x2 y2 线段的定比分点坐标公式 1 1 21 21 yy y xx x P1 x1 y1 P2 x2 y2 P x y PP 1 2 PP 中点坐标公式 2 2 21 21 yy y xx x 两向量的夹角公式 cos ba ba 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 0 180 a x1 y1 b x2 y2 图形变换公式 平移公式 若点 P0 x y 按向量 a h k 平移至 P x y 则 kyy hxx 有关结论 i 平面内有任意三个点 O A B 若 M 是线段 AB 的中点 则OM 2 1 OA OB 一般地 若 P 是分线段 AB 成定比 的分点 即AP PB 1 则OP 1 1 OA 1 OB 此即线段定比分点的向量式 注意与例 7 1 表述方法的不同 例 7 1 用时很方便 用心 爱心 专心 ii 有限个向量 a1 a2 an相加 可以从点 O 出发 逐一作向量 1 OA a1 21A A a2 nn AA 1 an 则向量 n OA即这些向量的和 即 a1 a2 an 1 OA 21A A nn AA 1 n OA 向量加法的多边形法则 当 An和 O 重合时 即上述折线 OA1A2 An成封闭折线时 则和向量为零向量 注意 反用以上向量的和式 即把一个向量表示为若干个向量和的形式 是解决向量问 题的重要手段 3 向量的应用 1 向量在几何中的应用 2 向量在物理中的应用 四 思想方法 向量法 用向量证明或解题的方向称为向量法 向量法在处理物理学 几何学中有很大 的用处 例题解析例题解析 例 1 设 a0为单位向量 1 若 a 为平面内的某个向量 则 a a a0 2 若 a 与 a0平行 则 a a a0 3 若 a 与 a0平行且 a 1 则 a a0 上述命题中 假命题个数是 A 0B 1C 2D 3 解析 向量是既有大小又有方向的量 a 与 a a0模相同 但方向不一定相同 故 1 是 假命题 若 a 与 a0平行 则 a 与 a0方向有两种情况 一是同向二是反向 反向时 a a a0 故 2 3 也是假命题 综上所述 答案选 D 注 向量的概念较多 且容易混淆 故在学习中要分清 理解各概念的实质 注意区分 共线向量 平行向量 同向向量等概念 例 2 已知 a cos sin b cos sin a 与 b 之间有关系 ka b 3 a kb 其中 k 0 1 用 k 表示 a b 2 求 a b 的最小值 并求此时 a b 的夹角的大小 解 1 要求用 k 表示 a b 而已知 ka b 3 a kb 故采用两边平方 得 ka b 2 3 a kb 2 k2a2 b2 2ka b 3 a2 k2b2 2ka b 8k a b 3 k2 a2 3k2 1 b2 a b k kk 8 13 3 2222 ba a cos sin b cos sin a2 1 b2 1 a b k kk 8 133 22 k k 4 1 2 用心 爱心 专心 2 k2 1 2k 即 k k 4 1 2 k k 4 2 2 1 a b 的最小值为 2 1 又 a b a b cos a b 1 2 1 1 1 cos 60 此时 a 与 b 的夹角为 60 注 与代数运算相同 有时可以在含有向量的式子左右两边平方 且有 a b 2 a b 2 a2 b2 2a b 或 a 2 b 2 2a b 例 3 已知 a 1 b 1 a 与 b 的夹角为 60 x 2a b y 3b a 则 x 与 y 的夹角是多少 解 由已知 a b 1 a 与 b 的夹角为 60 得 a b a b cos 2 1 要计算 x 与 y 的夹角 需求出 x y x y 的值 x 2 x2 2a b 2 4a2 4a b b2 4 4 2 1 1 3 y 2 y2 3b a 2 9b2 6b a a2 9 6 2 1 1 7 x y 2a b 3b a 6a b 2a2 3b2 a b 7a b 2a2 3b2 7 2 1 2 3 2 3 又 x y x y cos 即 2 3 3 7cos cos 14 21 arccos 14 21 注 在计算 x y 的模长时 还可以借助向量加法 减法的几何意义获得 如图所示 设 AB b AC a AD 2a BAC 60 由向量减法的几何意义 得 BD AD AB 2a b 由余弦定理易得 BD 3 即 x 3 同理可得 y 7 用心 爱心 专心 例 4 讨论 a b 与 a b 的和或差的模的大小关系 解 如图 1 当 a 与 b 不平行时 a b 以及 a b 可以构成一个三角形 如图 于是 a b a b a b 2 当 a 与 b 平行时 如果 a 与 b 的方向相同 则有 a b a b 其中当 a b 时 有 a b a b 当 a 0 即 a b 2 a2 b2 a b 0 把 a b 3 a2 b2 a 2 b 2 2 9 11 代入得 3 2 11 3 0 解之得 6 8511 此即所求 的取值范围 用心 爱心 专心 例 6 如图所示 已知四面体 O ABC 中 M 为 BC 的中点 N 为 AC 的中点 Q 为 OB 的中点 P 为 OA 的中点 若 AB OC 试用向量方法证明 PM QN 证明 M 是 BC 的中点 连结 OM OM 2 1 OB OC 同理由 N 是 AC 的中点 得ON 2 1 OA OC PM PO OM 2 1 AO OB OC 2 1 OB OA OC 2 1 AB OC QN QO ON 2 1 BO OA OC 2 1 OA OB OC 2 1 BA OC 2 1 OC AB PM QN 2 1 OC AB 2 1 OC AB 4 1 2 OC 2 AB AB OC PM QN 0 即 PM QN 例 7 如图 设 G 为 OAB 的重心 过 G 的直线与 OA OB 分别交于 P 和 Q 已知 OP hOA OQ kOB OAB 与 OPQ 的面积分别为 S 和 T 求证 1 h 1 k 1 3 2 9 4S T 2 1 S 用心 爱心 专心 证明 1 连结 OG 并延长交 AB 于 M 则 M 为 AB 的中点 OM 2 1 OA OB OG 3 2 OM 3 1 OA 3 1 OB 设 G 分 PQ 所成比为 t 1 t 则OG 1 t OP tOQ 而OP hOA OQ kOB OG 1 t hOA tkOB 比较 得 1 t h 3 1 tk 3 1 即 h 1 3 1 t k 1 3t h 1 k 1 3 2 POQ AOB S T OBOA OQOP OA OP OB OQ hk 由题 1 知 k 13 h h 0 3h 1 0 S T 13 2 h h 又 S T 9 4 13 2 h h 9 4 13 9 23 2 h h S T 2 1 13 2 h h 2 1 13 2 12 1 h hh 且依题意 0 h 1 0 k 1 1 k 1 13 h h 13 12 h h 0 S T 9 4 S T 2 1 因此 9 4 S T 2 1 S 成立 注 解本题的关键是理解向量各种运算的定义 并能熟练应用运算法则 例 8 将函数 y 2x2进行平移 使得到的图形与抛物线 y 2x2 4x 2 的两个交点关于原 点对称 求平移后的函数解析式 解法一 设平移向量 a h k 则将 y 2x2按 a 平移之后得到的图像的解析式为 y 2 x h 2 k 设 M m n 和 M m n 是 y 2x2 4x 2 与 y 2 x h 2 k 的两个交点 则 2 4 2 242 2 2 mmn mmn 解得 4 1 n m 或 4 1 n m 点 1 4 和点 1 4 在函数 y 2 x h 2 k 的图像上 4 1 2 4 1 2 2 2 kh kh 4 1 k h 用心 爱心 专心 故所求解析式为 y 2 x 1 2 4 即 y 2x2 4x 2 解法二 将 y 2x2按向量 a h k 平移 设 P x y 为 y 2x2上任一点 按 a 平移之后的 对应点为 P x y 则 kyy hxx 故 kyy hxx y k 2 x h 2是平移之后的函数图像解析式 由 242 2 2 2 xxy khxy 消去 y 得 4x2 4 h 1 x 2h2 k 2 0 又 两交点关于原点对称 x1 x2 0 即 4 1 4 h 0 h 1 又 y1 y2 0 2x12 4hx1 2 k 2x22 4hx2 2 k 0 2 x12 x22 4 x1 x2 4 2k 2 x1 x2 2 4 x1 x2 4x1 x1 4 2k x1 x2 4 22 2 kh 0 21 xx 4 4 22 2 kh 4 2k k 4 y 2 x 1 2 4 即 y 2x2 4x 2 例 9 如图正方形 OABC 两边 AB BC 的中点分别为 D 和 E 求 DOE 的余弦值 解析 创造使用求角公式的条件 为此须求OD OE OD OA AD OA 2 1 AB OE OC CE OC 2 1 CB OD OE OA 2 1 AB OC 2 1 CB OA OC 2 1 AB OC OA CB 4 1 AB CB OA OC AB CB OA OC 0 AB CB