高中数学 3.2.4函数模型的应用实例（二）全册精品教案 新人教A版必修1

用心 爱心 专心1 3 2 43 2 4 函数模型的应用实例 二 函数模型的应用实例 二 一 教学目标 1 知识与技能 掌握应用指数型 拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征 提升学生解决简单 的实际应用问题的能力 2 过程与方法 经历实际应用问题的求解过程 体验指数函数模型 拟合函数模型的题型特征 学会 运用函数知识解决实际问题 3 情感 态度与价值观 了解数学知识来源于生活 又服务于实际 从而培养学生的数学应用意识 提高学生 学习数学的兴趣 二 教学重点与难点 重点 指数函数模型 拟合函数模型的应用 难点 依据题设情境 建立函数模型 三 教学方法 师生合作探究解题方法 总结解题规律 老师启发诱导 学生动手尝试相结合 从而形 式应用指数函数模型 似合函数模型解决实际问题的技能 四 教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意图 复习引入 例 1 某桶装水经营部每天的房租 人员 工资等固定成本为 200 元 每桶水的进 价是 5 元 销售单价与日均销售量的关系 如表所示 销售单价 元 6789 日均销售量 桶 480 440 400360 销售单价 元 101112 日均销售量 桶 320 280 240 请据以上数据作出分析 这个经营部怎 样定价才能获得最大利润 师生合作回顾一元一次函数 一元二次函数 分段函数建模 实际问题的求解思路 审 建 解 检 生 尝试解答例 1 解 根据表 销售单价每增 加 1 元 日均销售量就减少 40 桶 设在进价基础上增加 x元后 日均销售利润为y 元 而在此情况下的日均销 售量就为 480 40 x 1 520 40 x 桶 由于x 0 且 520 40 x 0 即 0 x 13 于是可得 y 520 40 x x 200 40 x2 520 x 200 0 x 13 易知 当x 6 5 时 y有最 大值 所以 只需将销售单价定为 11 5 元 就可获得最大的利 润 以旧引新 激发兴趣 再现应用 技能 用心 爱心 专心2 师 帮助课本剖析解答过程 回顾反思上节课的学习成果 4 指数型函数模型的应用 例 1 人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题 认识人口数量的变化规律 可以 为有效控制人口增长提供依据 早在 1798 年 英国经济学家马尔萨斯 T R Malthus 1766 1834 就提出了自 然状态下的人口增长模型 y y0ert 其中t表示经过的时间 y0表示t 0 时 的人口数 r表示人口的年平均增长率 下表是 1950 1959 年我国的人口数据资 料 年份 19501951195219531954 人数 万 人 55196 56300 57482 58796 60266 年份 19551956195719581959 人数 万 人 61456 62828 64563 65994 67207 1 如果以各年人口增长率的平均值作 为我国这一时期的人口增长率 精确到 0 0001 用马尔萨斯人口增长模型建立 我国在这一时期的具体人口增长模型 并检验所得模型与实际人口数据是否相 符 2 如果按表的增长趋势 大约在哪一 年我国的人口达到 13 亿 例 2 某地区不同身高的未成年男性的体 重平均值如表 身高 cm 60708090100110 体重 kg 6 13 7 90 9 90 12 1515 0217 50 身高 cm 120130140150160170 体重 kg 20 9226 8631 1138 8547 2555 05 1 根据表提供的数据 能否建立恰当 的函数模型 使它能比较近似地反映这 个地区未成年男性体重ykg 与身高xcm 的函数关系 试写出这个函数模型的解 析式 2 若体重超过相同身高男性体重平均 值的 1 2 倍为偏胖 低于 0 8 倍为偏瘦 那么这个地区一名身高为 175cm 体重为 师 形如y bacx函数为指数 型函数 生产生活中以此函 数构建模型的实例很多 如 例 1 生 在老师的引导下审题 建模 求解 检验 尝试完 成此例 师生合作总结解答思路及题 型特征 师生 共同完成例 1 解答 1 设 1951 1959 年的人口 增长率分别为 r1 r2 r9 由 55196 1 r1 56300 可得 1951 年的人口增长率 r1 0 0200 同理可得 r2 0 0210 r3 0 0229 r4 0 0250 r5 0 0197 r6 0 0223 r7 0 0276 r8 0 0222 r9 0 0184 于是 1951 1959 年期间 我国人口的年均增长率为 r r1 r2 r9 9 0 0221 令y0 55196 则我国在 1950 1959 年期间的人口增 长模型为 y 55196e0 0221t t N N 根据表中的数据作出散点图 并作出函数 y 55196e0 0221t t N N 的图 象 由图可以看出 所得模型与 1950 1959 年的实际人口数 据基本吻合 2 将y 130000 代入 通过实例 求解 提 炼方法整 合思路提 升能力 用心 爱心 专心4 78kg 的在校男生的体重是否正常 例 2 解答 1 以身高为横坐标 体重为纵坐标 画出散点图 根据点的分布特征 可考虑 以y a bx作为刻画这个地区未成年男性 的体重与身高关系的函数模型 如果取其中的两组数据 70 7 90 160 47 25 代入y a bx得 70 160 7 9 47 25 a b a b 用计算器算得 a 2 b 1 02 这样 我们就得到一个函数模型 y 2 1 02x 将已知数据代入上述函数解析式 或作 出上述函数的图象 可以发现 这个函 数模型与已知数据的拟合程度较好 这 说明它能较好地反映这个地区未成年男 性体重与身高的关系 2 将x 175 代入y 2 1 02x得 y 2 1 02175 由计算器算得y 63 98 由于 78 63 98 1 22 1 2 所以 这个男生偏胖 归纳总结 通过建立函数模型 解决实际实际问题 的基本过程 y 55196e0 0221t 由计算器可得t 38 76 所以 如果按表的增长趋势 那么大约在 1950 年后的第 39 年 即 1989 年 我国的 人口就已达到 13 亿 由此可 以看到 如果不实行计划生 育 而是让人口自然增长 今天我国将面临难以承受的 人口压力 用心 爱心 专心5 巩固练习 练习 1 已知 1650 年世界人口为 5 亿 当 时人口的年增长率为 0 3 1970 年世界 人口为 36 亿 当时人口的年增长率为 2 1 1 用马尔萨斯人口模型计算 什么时 候世界人口是 1650 年的 2 倍 什么时候 世界人口是 1970 年的 2 倍 2 实际上 1850 年以前世界人口就超 过了 10 亿 而 2003 年世界人口还没有 达到 72 亿 你对同样的模型得出的两个 结果有何看法 解答 1 已知人口模型为 y y0en 其中y0表示t 0 时的人口 数 r表示人口的年增长率 若按 1650 年世界人口 5 亿 年增长率为 0 3 估计 有 y 5e0 003t 当y 10 时 解得t 231 所以 1881 年世界人口约为 1650 年的 2 倍 同理可知 2003 年世界人口 数约为 1970 年的 2 倍 2 由此看出 此模型不太 适宜估计跨度时间非常大的 人口增长情况 固化能力 强化技巧 应用举例 4 拟合函数模型 例 3 某皮鞋厂从今年 1 月份开始投产 并且前 4 个月的产量分别为 1 万双 1 2 万双 1 3 万双 1 37 万双 由于产品质 量好 款式新颖 前几个月的销售情况 良好 为了推销员在推销产品时 接受定 单不至于过多或过少 需要估计以后几 个月的产量 厂里分析 产量的增加是由 于工人生产熟练和理顺了生产流程 厂里 也暂时不准备增加设备和工人 假如你是 厂长 就月份x 产量y 给出四种函数 模型 y ax b y ax2 bx c 1 2 yaxb y abx c 你将利用哪一种模 型去估算以后几个月的产量 归纳总结 所以y 0 8 0 54 1 4 1 35 本题是对数据进行函数模拟 选择最符 合的模拟函数 一般思路要画出散点图 然后作出模拟函数的图象 选择适合的 几种函数类型后 再加以验证 函数模型 的建立是最大的难点 另外运算量较大 必须借助计算机进行数据处理 函数模 型的可靠性与合理性既需要数据检验 又必须与具体实际结合起来 生 动手实践解题此例学生 四个代表分别板书四种函数 模型 师 点评学生解答 总结 回答问题 解析 本题是通过数据验证 确定系数 然后分析确定函 数的变化情况 最终找出与 实际最接近的函数模型 由题知A 1 1 B 2 1 2 C 3 1 3 D 4 1 37 1 设模拟函数为 y ax b 将B C两点的坐标 代入函数式 有 31 30 1 21 21 aba abb 得得 所以得y 0 1x 1 2 设y ax2 bx c 将 A B C三点代入 有 1 421 2 931 3 0 05 0 35 0 7 abc abc abc a b c 得得 所以y 0 05x2 0 35x 0 7 3 设ya xb 将 用已学函 数模型综 合求解问 题 提升 综合应用 模型的能 力 用心 爱心 专心6 A B两点的坐标代入 有 1 0 48 0 52 21 2 ab a b ab 得得 所以0 480 52yx 4 设y abx c 将 A B C三点的坐标代入 得 2 3 1 0 8 1 2 0 5 1 4 1 3 abc a abcb c abc 得得 巩固练习 练习 2 某地区今年 1 月 2 月 3 月患某 种传染病的人数分别为 52 61 68 为了 预测以后各月的患病人数 甲选择了模 型y ax2 bx c 乙选择了模型y pqx r 其中y为患病人数 x为月份数 a b c p q r都是常数 结果 4 月 5 月 6 月份的患病人分别为 74 78 83 你认 为谁选择的模型较好 学生口述解题思路 老师借助电脑解答问题 1 列表 2 画散点图 3 确定函数模型 甲 y1 x2 12x 41 乙 y2 52 07 0 778x 92 5 4 做出函数图象进行比较 固化解题 技巧 用心 爱心 专心1 计算x 6 时 y1 77 y2 80 9 可见 乙选择的模型较好 归纳总结 1 数学模型 所谓数学模型是指对客观实际的特征 或数量关系进行抽象概括 用形式化的 数学语言表述的一种数学结构 数学模型 剔除了事物中一切与研究目标无本质联 系的各种属性 在纯粹状态下研究数量 关系和空间形式 函数就是最重要的数 学模型 用函数解决方程问题 使求解 变得容易进行 这是数学模型间的相互 转换在发挥作用 而用函数解决实际问题 则体现了数学模型是联系数学与现实世 界的桥梁 2 关于数学建模中的假设 就一般的数学建模来说 是离不开假设 的 如果在问题的原始状态下不作任何 假设 将所有的变化因素全部考虑进去 对于稍复杂一点的问题就无法下手了 假 设的作用主要表现在以下几个方面 1 进一步明确模型中需要考虑的因素 和它们在问题中的作用 通常 初步接触 一个问题 会觉得围绕它的因