高中数学 三角函数 板块三 三角恒等变换完整讲义（学生版）

用心 爱心 专心1 学而思高中完整讲义 三角函数学而思高中完整讲义 三角函数 板块三板块三 三角恒等变换三角恒等变换 学生版学生版 典例分析 题型一 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 例 1 cos79 cos34sin79 sin34 A B C D 1 2 1 2 2 3 2 例 2 已知 则 4 cos 5 2 cos 4 A B C D 2 10 2 10 7 2 10 7 2 10 例 3 在平面直角坐标系中 已知两点 则 cos80 sin80 A cos20 sin20 B 的值是 AB A B C D 1 2 2 2 3 2 1 例 4 若 则 3 sinsin1 2 1 coscos 2 cos A B C D 1 2 1 2 3 2 3 2 例 5 已知 则 3 sin 30 5 60150 cos A B C D 34 3 10 34 3 10 43 3 10 43 3 10 例 6 sin15cos15 A B C D 1 2 2 2 3 2 6 2 例 7 若 为锐角 且满足 则的值是 4 cos 5 3 cos 5 sin A B C D 17 25 3 5 7 25 1 5 用心 爱心 专心2 例 8 已知 则是 1 sin 4 3 2 3 2 2 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 例 9 已知向量 那么的值为 cos75 sin75 a cos15 sin15 b ab A B C D 1 2 2 2 3 2 1 例 10 已知 则 3 4 1tan 1tan A B C D 22 11 例 11 sin163 sin223sin253 sin313 A B C D 1 2 1 2 3 2 3 2 例 12 已知 则 1tan 45 1tan tan 4 A B C D 45 45 45 45 例 13 已知 那么 2 tan 5 1 tan 44 tan 4 A B C D 13 18 13 22 3 22 1 6 例 14 已知 则 3 sincos 3 0 2 sincos A B C D 15 3 2 3 1 3 1 用心 爱心 专心3 例 15 在中 的取值范围是 ABCAsincosAA A B C D 1 2 22 22 2 2 2 1 1 例 16 则sin70 sin30cos70 cos30a cos71 cos30sin71 sin30b 的大小关系是 ab 例 17 若 则 coscoscos0 sinsinsin0 cos 例 18 3tan15 13tan15 例 19 则 3cos4sin5cos xxx sin cos 例 20 的值为 sin7cos15 sin8 cos7sin15 sin8 例 21 函数的最大值是 coscos 3 yxx 例 22 已知 且 求的值 0 2 3 sin 5 2cos 4 例 23 证明 3 cos sin 2 例 24 若为锐角 且满足 求的值 4 cos 5 3 cos 5 cos 例 25 设 求的值 1 coscos 2 1 sinsin 3 cos 用心 爱心 专心4 例 26 已知都是锐角 求的值 1 cos 7 11 cos 14 cos 例 27 若 求的值 3 sinsin 5 xy 4 coscos 5 xy cos xy 例 28 定义为集合相对 10200 cos cos cos n n 12 n 于常数的 余弦平均数 求集合相对于于常数的 余弦平 0 22 0 33 0 均数 例 29 已知 求的值 4 cos 5 2 sin 3 例 30 已知 求的值 tan 3 4 tan 例 31 已知 求的值 3 24 12 cos 13 3 sin 5 sin2 例 32 已知且 求的值 0 1 tan 2 1 tan 7 2 例 33 已知 求的值 2 sin 3 3 sin 4 tan tan 例 34 已知函数 1 当函数取得最大值时 求自变量3sincosyxx Rx y 的集合 2 该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩xsin Ryx x 变换得到 例 35 函数的定义域是 2 2 cos sin 2 sinsin2 sin cos cosf xaxxaxaxx R 用心 爱心 专心5 值域是 在区间上是单调递减函数 且 2 2 5 1212 0a 1 求的周期 2 求常数和角的值 0 2 f xa 例 36 已知都是锐角 且 求 5 sin 5 10 sin 10 例 37 求的值 tan tan 3tan tan 6666 例 38 已知 求的值 5 sin 413 x 0 4 x cos2 cos 4 x x 例 39 求证 tan tan tan tan tan tan xyyzzxxyyzzx 例 40 已知 求的值 3 sin sin 35 0 2 cos 例 41 已知与是方程的两根 tan tan 2 330 xx 求的值 22 sin 3sin cos 3cos 例 42 已知向量 且 1 若 cos 3 am 1 sin bn ab 1mn 求的值 2 若 且 求实数的取值范围 sin 6 3m 0 2 n 题型二 二倍角的正弦 余弦 正切公式 例 43 下列各式中 值为的是 1 2 用心 爱心 专心6 A B sin15 cos15 2 2cos 151 C D 1cos30 2 2 tan22 5 1tan 22 5 例 44 已知 则 0 2 x 4 cos 5 x tan2x A B C D 7 24 7 24 24 7 24 7 例 45 的值为 22 cos 75sin 75cos75 cos15 A B C D 6 2 3 2 5 4 3 1 4 例 46 函数的最大值为 2sin sincos yxxx A B C D 12 21 22 例 47 若是二次方程的一个根 则 3 3 2 1 tan 10 tan xx tan1 tan2 A B C D 3 3 3 3 3 3 例 48 函数的最小正周期是 sin23cos2f xxx A B C D 2 4 8 例 49 已知 则的值为 3 sin 45 x cos 2 2 x A B C D 19 25 16 25 14 25 7 25 例 50 若 则 tan2 1 sin2 2 A B C D 1 2 2 3 2 5 1 例 51 如果且 那么 1 sin2 4 42 cossin A B C D 3 2 3 4 3 4 3 2 用心 爱心 专心7 例 52 若 则 2 2sin1 2 2tan sincos 22 f 8 f A B C D 022 4 例 53 已知 则的值等于 1 cos cos 444 44 sincos 例 54 则 sincos1 2cossin3 tan2 例 55 化简的值是 2 cos 75 例 56 已知 则 3 tan 35 tan 22 sincos 3cos2sin 例 57 已知 求的值 3 sin cos 10 xx 4sin sin 44 xx 例 58 求证 1 2 2 2tan sin2 1tan x x x 2 2 1tan cos2 1tan x x x 例 59 已知 且 求的值 3 cos 5 2 cos 2 0 2 tan2 例 60 求的值 22 sin 20cos 50sin20 cos50 例 61 已知 求的值 sincossincos sin2 用心 爱心 专心8 例 62 已知 1 求的最小正周期 2 求 44 cos2sin cossinf xxxxx f x 在区间上的最大值和最小值 f x 0 2 例 63 设 求的值 2 sin 2sin2 coscos21 0 2 sin tan 例 64 已知 求的值 33 cos 45 22 cos 2 4 例 65 已知 求的值 2 sincos 0 2 cos2 例 66 求函数的最小正周期 66 sincosyxx 例 67 求的最小值 并求出取 22 7 5 3cos3sin4sin cos 424 f xxxxxx 得最小值时的值 x 例 68 化简 42 2 1 2cos2cos 2 2tan sin 44 xx xx 例 69 若 求的值 4 cos 45 225315 5 xx 2 sin2sin 1tan xx x 例 70 已知矩形的长 宽 试求其外接矩形面积的最ABCDABa ADb EFGH 大值与对角线长的最大值 HG F E D C B A 用心 爱心 专心9 题型三 简单的三角恒等变换 例 71 化简的结果是 2 2cos2sin 1 A B C D cos1 cos13cos13cos1 例 72 的值是 tancot 88 A B C D 1 2 12 例 73 若 则的值为 24 sin2 25 2cos 4 A B C D 1 5 7 5 1 5 7 5 例 74 设在第二象限 且 则的值为 31 sin 222 1sin cossin 22 A B C 或D 不能确定11 1 1 例 75 若 则 2 2sin1 sin4 f 12 f 例 76 等腰三角形的顶角的正弦值为 则它的底角的余弦值为 5 13 例 77 已知是的内角 且 求的值 AABC 1 sincos 5 AA tan A 例 78 求证 sincos1 sincos1 tan sin22 例 79 已知函数 3sin23cos2yxx 1 求函数的增区间 2 说出此函数与之间的关系 sinyx 例 80 2002 年 8 月 在北京召开了国际数学大会 大会会标如图所示 它是由四个 相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 若直角三角形中较小 用心 爱心 专心10 的锐角为 大正方形的面积是 1 小正方形的面积是 求的值 1 25 22 sincos 例 81 求证 22 12sincos tan cossin4 例 82 已知函数 2 3sinsin cosf xxxx 1 求的值 2 设 求 25 6 f 0 13 242 f sin 例 83 如图 有一块以点为圆心的半圆形空地 要在这块空地上划出一个内接矩O 形辟为绿地 使其一边落在圆的直径上 另两点落在半圆的圆周ABCDAD B C 上 已知半圆的半径长为 如何选择关于点对称的点的位置 可以使矩aO A D 形的面积最大 ABCD D CB A O 例 84 已知 求的值 1 tan 2 1