高中数学：《推理与证明》知识点串讲

用心 爱心 专心 高中数学高中数学 推理与证明推理与证明 知识点串讲知识点串讲 一 知识结构 二 考情分析及预测 推理与证明是中学数学的重要内容 是高考重点考查的内容之一 近几年从试题直观 上可以看到代数证明的份量加大了 预测 2007 年高考对本板块的考查 题型以解答题为主 选择 填空题均有可能出现 主要考查演绎推理与逻辑证明的能力 三 知识要点 一 合情推理与演绎推理 1 归纳推理 1 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象具有 这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 归纳推理是由 部分到整体 由个别到一般的推理 显然归纳的个别情况越多 越具有代表性 推广的一 般性命题也就越可靠 应用归纳推理可以获得新的结论 2 归纳推理的一般步骤 通过观察一系列情形发现某些相同的性质 从已知的相同的性质中推出一般性命题 2 类比推理 1 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出 另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 类比 的结论不一定为真 在一般情况下 如果类比的相似性越多 相似性之间越相关 那么类 比得到的结论也就越可靠 2 类比推理的一般步骤 找出两类事物之间的相似性或一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的结论 注 归纳推理与类比推理都属于合情推理 两种推理所得的结论未必是正确的 例如 费马猜想就被大数学家欧拉推翻了 但它们对于发现新的规律和事实却是十分有用的 3 演绎推理 1 从一个一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理方法叫做演绎推理 它是一种由一般到特殊的推理过程 是一种必然性推理 演绎推理的前提与结论之间有蕴 涵关系 因而 只要前提是真实的 推理的形式是正确的 那么结论必定是真实的 但是 错误的前提可能导致错误的结论 2 三段论 推理是演绎推理的一般模式 它包括 大前提 已知的一般性推理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 也可表示为 大前提 M是P 小前提 S是M 结论 S是P 用心 爱心 专心 用集合的知识可以理解为 若集合M的所有元素都具有性质P S是M的子集 那 么S中所有元素都具有性质P 例 指出下面三段论的大前提 小前提和结论 1 这两个正多边形的边数相同 2 凡相同边数的正多边形都是相似的 3 所以这两个正多边形也是相似的 解析 1 是 小前提 2 是 大前提 3 是 结论 点评 三段论的论断基础是这样一个公理 凡肯定 或否定 了某一类对象的全部 也就肯定 或否定 了这一类对象的各部分或个体 简言之 全体概括个体 4 合情推理与演绎推理的区别与联系 区别 从定义上看 合情推理 前提为真 结论可能为真的推理 演绎推理 根据一般性的真命题 或逻辑规则 导出特殊性命题为真的推理 从定义上可以看出 合情推理与演绎推理的区别是结论是否为真 合情推理的结论可 能为真 但演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下 其结论必定为真 故在数学论证 中 证明命题的正确性 都是用演绎推理 而合情推理不能用作证明 从推理形式上看 合情推理是由特殊到一般 归纳推理 或由特殊到特殊 类比推理 的认识过程 而 演绎推理是由一般到特殊的认识过程 联系 二者相辅相成 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的思维过程 但数学 结论 证明思路等的发现 主要靠合情推理 二 直接证明与间接证明 1 综合法 一般地 利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最 后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件 已有的定义 定理 公理等 Q表示所要证明的结论 则综合法 可用框图表示为 综合法的特点 从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 实际上是寻 找它的必要条件 2 分析法 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明 的结论归纳为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 这种证明的方 法叫做分析法 用Q表示要证明的结论 则分析法可用框图表示为 分析法的特点 从 未知 看 需知 逐步靠拢已知 其逐步推理 实际上是寻找它 的充分条件 3 反证法 用心 爱心 专心 1 定义 一般地 假设原命题的结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因 此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 2 用反证法导出的矛盾主要有 与假设矛盾 与数学公理 定理 定义 公式或与已被证明了的结论矛盾 与公认的简单事实矛盾 3 步骤 分清命题的条件和结论 作出命题结论不成立的假设 由假设出发 应用正确的推理方法 推出矛盾的结果 否定假设 从而间接的证明了结论 4 三种证明方法的总结 在解决问题时 经常把综合法和分析法结合起来使用 根据条件的结构特点去转化结 论 得到中