高一数学第一册下册第五章平面向量人教版

用心 爱心 专心1 高一数学第一册下册第五章平面向量人教版高一数学第一册下册第五章平面向量人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 平面向量 二 教学重 难点 向量的加 减法 实数与向量的积 向量的数量积 向量与三角的综合 典型例题典型例题 例 1 1 已知ABC 的三个顶点 A B C 及平面内一点 P 且ABPCPBPA 则点 P 与ABC 的位置关系是 2 已知 2 a 5 3 b 且a与b的夹角为钝角 则 的取值范围为 解 解 1 APBPABPBABPCPA APPC2 故 P 在 AC 边上 2 ba ba cos且a与b的夹角 为钝角 0103 ba 即 3 10 且65 5 6 3 10 例 2 设a b c是两两不共线的三个向量 1 如果0 cba 试证 以向量a b c的模为边 必能构成一个三角形 2 如果向量a b c能构成一个三角形 问它们应该有怎样的关系 证明 证明 1 如图 作aBC bCA cAD 按向量加法的多边形法则有 CABCBD 0 cbaAD B 与 D 重合 故a b c可构成三角形 解 解 用心 爱心 专心2 2 设向量a b c构成三角形ABC 根据向量加法的三角形法则 有 ACBCAB 即0 CABCAB BCa 或BCa CAb 或CAb ABc 或ABc a b c的关系是下列八种的一个 0 cba 0 cba 0 cba 0 cba 0 cba 0 cba 0 cba 0 cba 实际上只有四种 括号内的式子与前面式子等价 A BC a c b D 例 3 已知向量 1 sin am cos2 1 bn 且nm 1 若 2 2 ba 求 2sin的值 2 若ab 2 2 且 2 0 求实数a的取值范围 解 解 nm 0cos2 1 1 sin ba 即0cos2sin ba 1 当 2 2 ba时 0cossin 2 2 2 2 cossin 2 1 cossin21 即 2 1 2sin 2 当ab 2 2 2 0 时 0cossin aa 用心 爱心 专心3 sin cos1 a 2 tan 2 cos2 2 cos 2 sin2 cos1 sin 2 a 2 0 4 0 2 从而 1 0 2 tan 即a的取值范围为 1 0 例 4 在ABC 中 AB 上有一点 P P 点不与 A B 重合 O 是 AB 所在直线外一点 且OByOAxOP x y为非零实数 求证 1 yx 且PB x y AP 证明 证明 设PBAP 0 则 OPOBOAOP 从而OBOAOP 11 1 又已知OByOAxOP 1 1 x 1 y 1 11 1 yx x y 即PB x y AP 例 5 如图所示 1 6 AB yxBC 3 2 CD 1 若DABC 求x与y间的关系 2 若有BDAC 求x y的值及四边形 ABCD 的面积 O BC AD 解 解 1 0 DACDBCAB即ADyx 3 2 1 6 2 4 yxAD 又DABC 0 4 2 xyyx 整理 得02 yx 2 由 1 6 3 2 2 4 yxyxDCADAC 3 2 2 4 1 6 yxyxADBABD 用心 爱心 专心4 又BDAC 0 1 3 6 2 yyxx 即 01524 22 yxyx 解 组成的方程组 得 3 6 y x 或 1 2 y x 四边形 ABCD 的面积 COBDAOBDS 2 1 2 1 ACBD 2 1 当 3 6 y x 时 0 8 BD 4 0 AC 1648 2 1 S 当 1 2 y x 时 4 0 BD 0 8 AC 1684 2 1 S 例 6 已知平面上三个向量a b c的模均为 1 它们相互之间的夹角均为 120 1 求证 cba 2 若1 cbak Rk 求实数k的取值范围 解 解 1 1 cba 且a b c之间的夹角均为 120 0120cos120cos cbcacbcacba cba 2 1 cbak 1 2 cbak 1 cbakcbak 1222 2 cbcakbakccbbaak 2 1 120cos cbcaba 02 2 kk 解得0 k或2 k 例 7 如图 已知ABC 顶点 A B C 的坐标分别为 7 2 2 14 10 13 用心 爱心 专心5 1 求边 AB 上的中线之长 2 求AC在AB上的射影 3 求ABC 的面积 A 2 7 y O 13 10 C 14 2 B D E 解 解 1 设 E 是 AB 的中点 由线段定比分点的中点公式 得 2 1 CBCACE 8 1 3 11 2 1 11 10 2 1 221 2 1 CE 2 设向量AC与AB的夹角为 则AC在BC上的射影是 9 169130 117 130cos AC 3 为求ABC 的面积 可求出 AB 边上的高 CD AD 等于AC在AB上的射影的绝对值 即9 AD 在CDARt 中 可求得 7 CD 2 91 137 2 1 2 1 ABCDS ABC 例 8 如图 一条河的两岸平行 河的宽度md500 一艘船从 A 出发航行到河对岸 船航行的速度hkmv 10 1 水流速度hkmv 4 2 设 1 v和 2 v的夹角为 0 1 当 多大时 船能垂直到达对岸 即船的实际速度 21 vvv 与河岸垂直 精确到 1 可利用计算器计算 2 当船垂直到达对岸时 航行所需时间最少吗 为什么 用心 爱心 专心6 解 解 1 船垂直到达对岸 即 21 vvv 与 2 v垂直 即0 2 21 vvv 0 2 221 vvv 即0cos 2 221 vvv 016cos410 故 5 2 cos 又 1800 由计算器计算得 114 当 144 时 船垂直到达对岸 2 设当 1 v与 2 v夹角为 1800 时 船航行到对岸所需的时间为t 则 sin20 1 sin10 5 0 sin 1 v d t 当 90 时 船的航行时间最短 而当船垂直到达对岸时 须有 114 这时所需时间不是最少 例 9 设平面内向量a与b互相垂直 且2 a 1 b k t是两个不同时为零的实数 若btax 3 2 btaky 且yx 求k关于t的函数关系式 tfk 解 解 ba 0 ba 又 yx 0 yx 即0 3 2 btakbta 0 3 3 2 22 2 bttbatktak 14 22 2 bbaa 3 4 2 ttk ttk 4 3 4 1 3 即tttfk 4 3 4 1 3 模拟试题模拟试题 答题时间 45 分钟 一 选择 1 有下列四个命题 22 2 baba baba 2 2 baba 若ba 则baba 其中真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 2 若向量 1 1 a 1 1 b 2 1 c 则c等于 用心 爱心 专心7 A ba 2 3 2 1 B ba 2 3 2 1 C ba 2 1 2 3 D ba 2 1 2 3 3 已知2 a 1 b a与b的夹角为 60 又bmac3 mbad 2 且 dc 则m的值为 A 0 B 6 或6 C 1 或6 D 6 或1 4 已知 ABCD 中 0 0 A 0 5 B 4 7 C 4 2 D 对角线 AC BD 交于 M 则DM的坐标为 A 4 3 B 4 3 C 2 2 3 D 2 2 3 5 设 1 2 1 P 5 0 2 P且 P 在 21P P的延长线上 使 21 2PPPP 则点P为 A 11 2 B 3 4 3 C 3 3 2 D 7 2 6 已知平面内三点 0 1 A 6 5 B 4 3 C 且CBAC 则 的值为 A 3 B 2 C 2 1 D 3 1 7 O 是平面上一定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足OAOP AC AC AB AB 0 则 P 的轨迹一定通过ABC A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 8 把函数 x y4 的图象按a平移到 F F 的函数解析式为24 2 x y 则a等于 A 2 2 B 2 2 C 2 2 D 2 2 二 填空 1 已知向量 2 2 a 向量b与a的夹角为 4 3 且2 ba 则向量 b 或 2 设4 ba a与b的夹角为 60 则 ba32 3 在ABC 中 4 3 2sin sin sin CBA 则 ABC 结果用反三角函 数值表示 4 已知向量 2 1 OA 3 mOB 若ABOA 则 m 用心 爱心 专心8 三 解答题 1 已知 sin cos a sin cos b 0 1 求证 ba 与ba 互相垂直 2 若ba 与ba 的长度相等 求 的值 为非零实数 2 判断下列各题中ABC 的形状 1 已知 O 为ABC 所在平面内一点 且OAOBOC2 与OBOC 垂直 2 已知 P 为ABC 所在平面上的一点 且0 PCPBPA PCPBPA 3 已知点 0 0 O 2 1 A 5 4 B及ABtOAOP 1 t为何值时 P 在x轴上 P 在y轴上 P 在第二象限 2 四边形 OABP 能否成为平行四边形 若能 求出相应的t值 若不能 请说明理 由 用心 爱心 专心9 试题答案试题答案 一 1 A 2 B 3 D 4 C 5 A 6 B 7 B 8 D 二 1 0 1 或 1 0 2 74 3 16 11 arccos 4 4 三 1 证明 1 按题意知ba 与ba 均为非零向量 且 sin cossincos 222222 bababa011 baba 解 2 sinsin coscos ba sinsin cos cos ba 1 cos 2 sinsin coscos 222 ba 同理 1 cos 2 2 ba 又 baba 由此得 cos 2 cos 2 0 0 cos 而 0 故 2 2 解 1 OAOBOC2 与OBOC 垂直 0 2 OBOCOAOBOC 而ABACOAOBOAOCOAOBOC 2 ABACBCOBOC 由此 2 ABACABACOBOCOAOBOC 0 22 ABAC 即ACAB ABC 为等腰三角形 2 0 PCPBPA P 是ABC 的重心 再由0 PCPBPA得 用心 爱心 专心10 PCPBPA PBPA PCPCPBPA 1211 PBPA PBPA 2 1 PBPA PBPA 故PA与PB的夹角为 120 同理可得