高中数学《合情推理与演绎推理》同步练习8 新人教A版选修1-2

用心 爱心 专心1 第二章第二章 推理与证明推理与证明 典型例题 例 1 观察下列数的特点 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 中 第 100 项是 A 10 B 13 C 14 D 100 解析 由规律可得 数字相同的数依次个数为 1 2 3 4 n 由 2 1 nn 100 n N 得 n 14 所以应选 C 例 2 对于平面几何中的命题 如果两个角的两边分别对应垂直 那么这两个角相等或互补 在立体几何中 类比上述命题 可以得到命题 解析 由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直 则这两个二面角相等或互补 例 3 观察以下各等式 202000 3 sin 30cos 60sin30 cos60 4 202000 3 sin 20cos 50sin20 cos50 4 202000 3 sin 15cos 45sin15 cos45 4 分析上述各式的共同特点 猜想出反映一般规 律的等式 并对等式的正确性作出证明 解析 猜想 2200 3 sincos 30 sincos 30 4 证明 000 2200 1 cos21 cos 602 sin 302 sin30 sincos 30 sincos 30 222 0 0 cos 602 cos211 1 sin 302 222 00 0 2sin 302 sin3011 1 sin 302 222 00 3113 sin 302 sin 302 4224 练习 一 选择题 1 观察下列数 1 3 2 6 5 15 14 x y z 122 中 x y z 的值依次是 A 42 41 123 B 13 39 123 C 24 23 123 D 28 27 123 2 在平面几何里 有勾股定理 设 ABC的两边AB AC互相垂直 则AB2 AC2 BC2 拓展到 空间 类比平面几何的勾股定理 设三棱锥A BCD 的三个侧面ABC ACD ADB 两两相互垂直 则可得 A AB2 AC2 AD2 BC2 CD2 BD2 B BCDADBACDABCSSSS 2222 C 2222 BCDADBACDABC SSSS D AB2 AC2 AD2 BC2 CD2 BD2 用心 爱心 专心2 3 已知 2 1 1 1 2 f x f xf f x xN 猜想 f x 的表达式为 A 4 22 x f x B 2 1 f x x C 1 1 f x x D 2 21 f x x 二 填空题 4 依次有下列等式 222 576543 3432 11 按此规律下去 第 8 个等式 为 5 在等差数列 n a中 若0 10 a 则有等式 n aaa 21 19 1921 Nnnaaa n 成立 类比上述性质 相应地 在等比数列 n b中 若 1 9 b 则有等式 成立 三 解答题 6 在 DEF 中有余弦定理 DFEEFDFEFDFDE cos2 222 拓展到空间 类比三 角形的余弦定理 写出斜三棱柱 ABC 111 CBA的 3 个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间 的关系式 并予以证明 7 已知数列 3021 aaa 其中 1021 aaa 是首项为 1 公差为 1 的等差数列 201110 aaa 是公差为d的等差数列 302120 aaa 是公差为 2 d的等差数列 0 d 1 若40 20 a 求d 2 试写出 30 a关于d的关系式 并求 30 a的取值范围 3 续写已知数列 使得 403130 aaa 是公差为 3 d的等差数列 依次类推 把 已知数列推广为无穷数列 提出同 2 类似的问题 2 应当作为特例 并进行研究 你能 用心 爱心 专心3 得到什么样的结论 参 考 答 案 2 1 合情推理与演绎推理 2 1 1 合情推理 一 选择题 1 A 观察各项我们可以发现 x 为前一项的 3 倍即 14 3 y 为前一项减 1 z 为前一项 的 3 倍 故应选 42 41 123 选 A 2 分析 关于空间问题与平面问题的类比 通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比 多面体 多边形 面 边 体 积 面 积 二面角 平面角 面 积 线段长 由此 可类比猜测本题的答案 2 ABC S 2 ACD S 2 ADB S 2 BCD S 故选 C 3 由归纳猜想可得选 B 二 填空题 4 由归纳猜想可得 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2 15 5 猜测本题的答案为 17 172121 Nnnbbbbbb nn 事实上 对等差数列 n a 如果0 k a 则 nknnkn aaaa 222121 0 kk aa 所以有 n aaa 21 2121 nnn aaaaa nknk aa 1222 12Nnkn 从而对等比数列 n b 如果1 k b 则有等式 12 122121 Nnknbbbbbb nkn 成立 三 解答题 6 分析 根据类比猜想得出 cos2 1111111111 222 BBCCAABBBBCCAABBCCAA SSSSS 其中 为侧面为 11A ABB与 11B BCC所成的二面角的平面角 证明 作斜三棱柱 111 CBAABC 的直截面 DEF 则DFE 为面 11A ABB与面 11B BCC所成 角 在DEF 中有余弦定理 cos2 222 EFDFEFDFDE 同乘以 2 1 AA 得 cos2 11 2 1 22 1 22 1 2 AAEFAADFAAEFAADFAADE 用心 爱心 专心4 即 cos2 1111111111 222 BBCCAABBBBCCAABBCCAA SSSSS 7 解 1 3 401010 10 2010 ddaa 2 0 11010 22 2030 ddddaa 4 3 2 1 10 2 30 da 当 0 0 d时 30 7 5 a 3 所给数列可推广为无穷数列 n a 其中 1021 aaa 是首项为 1 公差为 1 的等差数列 当1 n时 数列 1 1011010 nnn aaa 是公差为 n d的等差数列 12 分 研究的问题可以是 试写出 1 10 n a关