误差、偏差、有效位数ppt课件.ppt

误差理论和数据处理简介 共4学时 1 2 1定量分析中的误差误差理论和数据处理是生产科研的一项很重要的基本功 它有一套专门的理论和实践 在此我们就本课程中要接触的几个问题进行简单的介绍 同学们在今后的物理等课程中还要继续学习 首先介绍数据处理中的几个基本概念 一 几个基本概念1 量和数所谓 量 即物理量的简称 它包括两部分 数值和单位 而数则是由物理量的数值抽象出来的 是没有单位的 2 量通常表示为数值乘单位 即量 数值 单位 如某个样品的质量为5克 某一溶液的体积为1 00升等 我们通常解的物理方程都是量方程 等式两端不仅数值要相等而且单位也要相等 所以 在量方程中 必须写出每个量的数值和单位 如1 01325 105Pa大气压力下 1 000mol理想气体的体积为22 40升 故根据理想气体状态方程 摩尔气体常数为 但在列表 绘图时 为了简便常常在表头 或坐标轴 用量除以单位 即量 单位 数值 于是表中 或图中 只需写出量的数值 运算时则只需计算数方程 不带单位 如 3 故R 8 314J mol 1 K 1 2 准确度和误差准确度 测定值与真实值的接近程度 一个量的准确度的大小可以通过误差来衡量 误差 绝对误差 测定值 真实值如 1 0002g 1 0000g 0 0002g 0 0012g 0 0010g 0 0002g相对误差 绝对误差 真实值如 0 0002g 1 0000g 0 02 0 0002g 0 0010g 20 显然 误差越小 测定的准确度就越高 注意 误差是有正负的 减数与被减数的顺序不能颠倒 正误差表示测定值比真实值偏大 负误差表示测定值比真实值偏小 4 3 精密度和偏差通常 很难知道某个量的真实值 因此常用多次平行测定结果的平均值来代替真实值 精密度 多次平行测定结果的重现性 精密度 精确度 可以通过偏差来衡量 如某一量的n次测定值依次为x1 x2 xn其平均值 则 单次测定的绝对偏差 单次测定值 平均值 即 绝对 偏差di xi 单次测定的相对偏差 绝对偏差 平均值 即相对偏差 di 5 整个测定的平均偏差 算术平均偏差 整个测定的相对平均偏差 为了更好的表示大偏差对测定的精密度比小偏差的影响大 人们常用标准偏差和相对标准偏差来表示整个测定的精密度 标准偏差 相对标准偏差 RSD 也称变动系数 CV 显然 偏差越小 测定的精密度就越高 6 真值真值真值真值 注意 精密度和准确度是两个不同的概念 精密度高不一定准确度高 但要想准确度高一般情况下必须首先提高精密度 两者通常有以下四种关系 IV 精密度低 准确度高 巧合 I 精密度和准确度都高 II 精密度高 准确度低 III 精密度和准确度都低 4 误差的分类 1 系统误差 固定因素引起的 方法误差 测定方法的不完善仪器 试剂误差 仪器不准或试剂不纯个人误差 操作者的长期不良习惯 如对某种颜色的色弱等 特点 结果总是偏高或偏低于真实值 平均值平均值平均值平均值 7 消除方法 找出原因加以克服 或校正 如将所用方法与标准方法比较 以改进或校正方法 校正仪器或作空白 以蒸馏水代替试液 试验 对照 以已知溶液代替试液 试验等 2 偶然误差 偶然因素引起的 如 读数的最后一位估计值有时估大 有时估小 特点 小误差多 有正有负 正态分布 消除方法 偶然误差是不可避免的 但用多次平行测定的方法可以抵消 一般平行测定3 5次 要求高的可测定5 9次 3 过失误差 错误操作产生的 如读错数 装置漏气 打倒溶液等 Y 平均值x测定值的正态分布曲线 消除方法 确认发生过失后 结果作废 重作 8 2 2有效数字及其运算规则总原则 在数据的记录 运算 作图 等整个过程中 保持测量的准确度基本不变 既不能降低 也不能提高 下面按数据处理的几个环节依次介绍 1 数据的记录 采用有效数字 1 有效数字的慨念 各种测量值都有一定的误差 这种误差的大小是由所用方法及仪器的准确度所确定的 因此记录的数据应能表示出相应的误差 不能改变测定的准确度 如 称量表皿的质量m 台称 21 6g 0 1g 天平 21 6321g 0 0001g 体积V 量筒 10ml的 8 1ml 0 1ml 滴定管 50ml的 8 15ml 0 05ml 这些数字都是有效数字 它是测量所得的数值 9 保留有效数字的原则是 除最后一位数字可疑 是估计的 通常有 1 5个单位的误差 外 其他数字都是准确可靠的 2 有效数字的位数 从最左面第一个非零的数字起到最右面含零的数字为止的所有的数字的位数 关键是 0 在其他数字前 不算 如0 0025g 2 5mg两位 在其他数字后 只有最后一位数字可疑 算 如2 500g四位 未定的 2500g 2 5 103g 2 5Kg两位 2 500 103g 2 500Kg四位 因此 记录数据必须用科学计数法 说明 i 表示 倍数 的数字是纯数 不是测定值 没有误差 无限多位 如 3倍 的3 ii 第一位数字 8时 可多算一位 如8 314可算成五位 1 10000的相对误差 10 4时舍去 6时进位 尾数尾数 5 若5以后的数字不为0 则一律进位 若5以后的数字为0 则 奇进偶舍 即5前面的数为奇数就将5进位 为偶数就将5舍去 2 数据的的修约和运算根据误差理论 运算结果的误差总比个别测量的误差大 有效数字的位数要受误差最大的测量值的限制 因此 对有效数字较多的 应将多余的数字舍弃 称为有效数字的修约 修约规则 四舍六入五成双 即 当多余尾数 例 将下列数字修约为四位有效数字 14 2442 14 24 14 2463 14 25 14 2451 14 25 14 2450 14 24 14 2350 14 24 注意 通用文献值 如R 8 314J mol 1 K 1 视为真值 没有误差 不修约 为确保最后结果的准确度 运算的中间结果应多保留一位 11 4 00601 40060 4 01 40两位 数量级相同 0000 4006 36 33640 0001 36 340 01 1 加减法 取决于绝对误差最大者 即结果的小数点后的位数与原数中小数点后位数最少者相同 2 乘除法 取决于数中相对误差最大者 即结果的有效数字位数与原数中有效数字位数最少者相同 例 乘除法相对误差20 031 2003 0 201 20两位 例 加减法绝对误差18 21540 00012 5630 00114 550 01 1 0080 001 改书 3 对数运算 取决于数中相对误差最大者 即对数的首数 整数部分 不算有效数字 尾数 小数部分 的有效数字位数与真数相同 12 例 3 作图有些测定结果还可能要用图解法求得 所以作图也必须保持准确度基本不变 与示意图不同 为此 1 坐标标度的选择 通常用直角坐标纸 坐标轴比例尺的选择有以下原则 i 能刚好表示出全部有效数字 图中读出的数据应与测定数据的准确度一致 测定值的最后一位是估计值 那么图中这个数也必须是估计的而不能准确看出来 13 一般测定值最后一位上的一个单位相当于坐标纸最小分格的一半 0 5mm 如温度计的最小分格是0 1 可估计到0 05 用坐标纸的1mm代表0 1 也可以估计到0 05 作图中降低了测定的准确度当然不好 但要想通过作图来人为地提高结果的准确度也是不可能的 甚至会造成误解 14 例 试验测得攀枝花钒钛磁铁矿中铁与伴生的铜的含量如下 根据以上数据 画出铜的含量与铁含量的相关图 解 TFe Cu TFe Cu 下图纵坐标的刻度正确 直线表示铜的含量与铁含量无关 图中把纵坐标的刻度扩大了十倍 得出的折线不说明问题 0 050 0 20 15 ii 坐标标度选取易读的分度值 通常每格代表1 2 5的倍数 不要取3 6 7等 iii 上述前提下 坐标值应能容纳所有的点 并尽可能注意美观 通常坐标原点不一定选取 0 0 点 点的分布应合理 整个图形常常是长方形 或正方形 2 点线描绘 i 点 用 等 中心表示读数 符号大小大致等于误差范围 ii 线 应平滑 尽可能靠近大多数点 并使曲线两边点数大致相等 iii 曲线的拐点 极值点附近应适当多取点 16 2 第三次测定的绝对偏差d3及相对偏差 3 整个测定的相对平均偏差 4 整个测定的标准偏差S及相对标准偏差RSD 例 下列数据为燃烧法测定碳原子量 部分 结果 求 1 测定的碳原子量的平均值 解 1 2 d3 12 0095 12 0094 0 0001 相对偏差 17 4 注意 一般 偏差或误差只取1 2位有效数字 其中 单次测定取1位 总测定取2位 18 3 d1 12 0080 12 0094 0 0014 d2 12 0090 12 0094 0 0004 d4 12 0101 12 0094 0 0007 d5 12 0106 12 0094 0 0012 整个测定相对平均偏差 19 课堂练习 下列关于偶然误差的叙述正确的是 B A 小误差出现的概率小B 正负误差出现的概率大致相等C 大误差出现的概率大D 大小误差出现的概率大致相等下列关于准确度与精密度之间的关系叙述错误的是 B A 准确度高一定要求精密度好B 精密度好准确度一定高C 精密度差准确度不大可能高D 精密度好是保证准确度高的前提条件 20 2 3分析数据的数据处理通过对随机样本进行有限次数的测定 用所得的结果来推断有关总体的情况 这就是对测定值进行统计处理的目的 一 置信度与 的置信区间日常分析中测定次数是有限的 总体平均值自然不为人们所知 但是随机误差的分布规律表明 测定位总是在以 为中心的一定范围内被动 并有着向 集中的趋势 因此 如何根据有限的测定结果来估计 可能存在的范围 称之为置信区间 是有实际意义的 该范围愈小 说明测定值与 愈接近 即测定的准确度愈高 但由于测定次数毕竟较少 由此计算出的置信区间也不可能以百分之百的把握将 包含在内 只能以一定的概率 此处称置信度 进行判断 以下的讨论是在消除了系统误差的前提下进行的 此时 即为真值 21 一 己知总体标准偏差 时对于经常进行测定的某种试样 由于已经积累了大量的测定数据 可以认为 是已知的 可得 x u 由随机误差的区间概率可知 测定值出现在 u 范围内的概率由u决定 例如 当u 1 96时 x在至区间出现的概率为0 950如果希望用单次测定值x来估计 可能存在的范围 则可以认为区间x 1 96 能以0 95的概率将真值包含在内 即有 x u 由于平均值较单次测定值的精密度更高 因此常采用样本平均值x来估计真值所在的范围 22 2 3分析数据的数据处理通过对随机样本进行有限次数的测定 用所得的结果来推断有关总体的情况 这就是对测定值进行统计处理的目的 一 置信度与 的置信区间日常