高三数学 2011版《6年高考4年模拟》：第八章 立体几何 第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积

1 第八章第八章立体几何立体几何 第一节第一节 空间几何体的结构 三视图和直观图 表面积和体积空间几何体的结构 三视图和直观图 表面积和体积 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20102010 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 1 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 9 已知正四棱锥SABCD 中 2 3SA 那么当该棱锥的体 积最大时 它的高为 A 1 B 3 C 2 D 3 答案 C 命题意图 本试题主要考察椎体的体积 考察告辞函数的最值问题 解析 设底面边长为 a 则高所以体积 设 则 当 y 取最值时 解得 a 0 或 a 4 时 体积最大 此时 故选 C 2 2 20102010 陕西文 陕西文 8 若某空间几何体的三视图如图所示 则该几 何体的体积是 B A 2 B 1 C 2 3 D 1 3 答案 B 解析 本题考查立体图形三视图及体积公式 如图 该立体图形为直三棱柱 所以其体积为1221 2 1 2 2 1 2 3 3 20102010 辽宁文 辽宁文 11 已知 S A B C是球O表面上的点 SAABC 平面 ABBC 1SAAB 2BC 则球O的表面积等于 A 4 B 3 C 2 D 答案 A 解析 选 A 由已知 球O的直径为22RSC 表面积为 2 44 R 4 4 20102010 安徽文 安徽文 9 一个几何体的三视图如图 该几 何体的表面积是 A 372 B 360 C 292 D 280 答案 B 解析 该几何体由两个长方体组合而成 其表面积等 于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和 2 10 8 10 28 2 2 6 88 2 360S 方法技巧 把三视图转化为直观图是解决问题的关键 又三视图很容易知道是两个长方体 的组合体 画出直观图 得出各个棱的长度 把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积 加上面长方体的 4 个侧面积之和 5 5 20102010 重庆文 重庆文 9 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 A 只有 1 个 B 恰有 3 个 C 恰有 4 个 D 有无穷多个 答案 D 解析 放在正方体中研究 显然 线段 1 OO EF FG GH HE 的中点到两垂直异面直线 AB CD 的距离都相等 所以排除 A B C 选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB CD 的距离相等 3 6 6 20102010 浙江文 浙江文 8 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 A 352 3 cm3 B 320 3 cm3 C 224 3 cm3 D 160 3 cm3 答案 B 解析 选 B 本题主要考察了对三视图所表达示的 空间几何体的识别以及几何体体积的计算 属容易题 7 7 20102010 北京文 北京文 8 如图 正方体 1111 ABCD A B C D的棱长 为 2 动点 E F 在棱 11 A B上 点 Q 是 CD 的中点 动点 P 在棱 AD 上 若 EF 1 DP x 1 AE y x y 大于零 则三棱锥 P EFQ 的体积 A 与 x y 都有关 B 与 x y 都无关 C 与 x 有关 与 y 无关 D 与 y 有关 与 x 无关 答案 C 8 8 20102010 北京文 北京文 5 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的 正 主 视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该 集合体的俯视图为 答案 C 4 9 9 20102010 北京理 北京理 8 如图 正方体 ABCD 1111 ABC D的棱长为 2 动点 E F 在棱 11 AB上 动点 P Q 分别在棱 AD CD 上 若 EF 1 1 AE x DQ y D 大于零 则四面 体 PE 的体积 与 都有关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 答案 D 10 10 20102010 北京理 北京理 3 一个长方体去掉一个小长方体 所得几 何体的正 主 视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该几何 体的俯视图为 答案 C 11 11 20102010 广东理 广东理 6 如图 1 ABC 为三角形 AA BB CC CC 平面 ABC 且 3 AA 3 2 BB CC AB 则多面体 ABC A B C 的正视图 也称主视图 是 答案 D 12 12 20102010 广东文 广东文 5 13 13 20102010 福建文 福建文 3 若一个底面是正三角形的三棱柱 的正视图如图所示 则其侧面积等于 A 3 B 2 C 2 3 D 6 答案 D 解析 由正视图知 三棱柱是以底面边长为 2 高为 1 的正三棱柱 所以底面积为 3 242 3 4 侧面积为3 2 16 选 D 命题意图 本题考查立体几何中的三视图 考查同学们识图的能力 空间想象能力等基 本能力 14 14 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 答案 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过球这 个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力 解析 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为h 则有 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 22 max 2 212 3h 故 6 max 4 3 3 V 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 上海文 上海文 6 已知四棱椎PABCD 的底面是边长为 6 的正方形 侧棱PA 底面 ABCD 且8PA 则该四棱椎的体积是 答案 96 解析 考查棱锥体积公式96836 3 1 V 2 2 20102010 湖南文 湖南文 13 图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm2的几何体的三视图 则 h cm 答案 4 3 3 20102010 浙江理 浙江理 12 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积 是 3 cm 解析 图为一四棱台和长方体的组合体的三视图 由卷中 所给公式计算得体积为 144 本题主要考察了对三视图所表达 示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算 属容易题 7 4 4 20102010 辽宁文 辽宁文 16 如图 网格纸的小正方形的边长是 1 在其上用 粗线画出了某多面体的三视图 则这个多面体最长的一条棱的 长为 解析 填2 3画出直观图 图中四棱锥PABCD 即是 所以最长的一条棱的长为2 3 PB 5 5 20102010 辽宁理 辽宁理 15 如图 网格纸的小正方形的边长是 1 在其上用粗线画出了某多面体的三视图 则这个多面体最 长的一条棱的长为 答案 2 3 命题立意 本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题 考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力 解析 由三视图可知 此多面体是一个底面边长为 2 的正方 形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥 所以最长棱长 为 222 2222 3 6 6 20102010 天津文 天津文 12 一个几何体的三视图如图所示 则这 个几何体的体积为 答案 3 解析 本题主要考查三视图的基础知识 和主题体积的计算 属于容易题 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形 则正视图和俯视图 可知该几何体的高为 1 结合三个试图可知该几何体是底面为 直角梯形的直四棱柱 所以该几何题的体积为 1 2 1 2 2 1 3 温馨提示 正视图和侧视图的高是几何体的高 由俯视图可 以确定几何体底面的形状 本题也可以将几何体看作是底面是长为 3 宽为 2 高为 1 的长 P D CB A 8 方体的一半 7 7 20102010 天津理 天津理 12 一个几何体的三视图如图所 示 则这个几何体的体积为 答案 10 3 解析 本题主要考查三视图的概念与柱体 椎体体 积的计算 属于容易题 由三视图可知 该几何体为一个底面边长为 1 高为 2 的正四棱柱与一个底面边长为 2 高为 1 的正四棱 锥组成的组合体 因为正巳灵珠的体积为 2 正四棱 锥的体积为 14 4 1 33 所以该几何体的体积 V 2 4 3 10 3 温馨提示 利用俯视图可以看出几何体底面的形状 结合正视图与侧视图便可得到几何 体的形状 求锥体体积时不要丢掉 1 3 哦 三 解答题三 解答题 1 1 20102010 上海文 上海文 20 20 本大题满分 本大题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分 如图所示 为了制作一个圆柱形灯笼 先要制作 4 个全等的矩 形骨架 总计耗用 9 6 米铁丝 再用S平方米塑料片制成圆柱 的侧面和下底面 不安装上底面 1 当圆柱底面半径r取何值时 S取得最大值 并求出该 最大值 结果精确到 0 01 平方米 2 若要制作一个如图放置的 底面半径为 0 3 米的灯笼 请作 出 用于灯笼的三视图 作图时 不需考虑骨架等因素 解析 1 设圆柱形灯笼的母线长为l 则l 1 2 2r 0 r 0 6 S 3 r 0 4 2 0 48 所以当r 0 4 时 S取得最大值约为 1 51 平方米 2 当r 0 3 时 l 0 6 作三视图略 9 A B C D E F H 2 2 20102010 陕西文 陕西文 18 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形PA 平面ABCD AP AB BP BC 2 E F分 别是PB PC的中点 证明 EF 平面PAD 求三棱锥E ABC的体积 V 解 在 PBC中 E F分别是PB PC的中点 EF BC 又BC AD EF AD 又 AD 平面PAD EF 平面PAD EF 平面PAD 连接AE AC EC 过E作EG PA交AB于点G 则BG 平面ABCD 且EG 1 2 PA 在 PAB中 AD AB PAB BP 2 AP AB 2 EG 2 2 S ABC 1 2 AB BC 1 2 2 2 2 VE ABC 1 3 S ABC EG 1 3 2 2 2 1 3 3 3 20102010 安徽文 安徽文 19 本小题满分 13 分 如图 在多面体 ABCDEF 中 四边形 ABCD 是正方形 AB 2EF 2 EF AB EF FB BFC 90 BF FC H 为 BC 的中点 求证 FH 平面 EDB 求证 AC 平面 EDB 求四面体 B DEF 的体积 命题意图 本题考查空间线面平行 线面垂直 面面垂直的判断与证明 考查体积的计算等基础 10 知识 同时考查空间想象能力 推理论证能力和运算能力 解题指导 1 设底面对角线交点为 G 则可以通过证明 EG FH 得FH 平面EDB 2 利用线线 线面的平行与垂直关系 证明 FH 平面 ABCD 得 FH BC FH AC 进而 得 EG AC AC 平面EDB 3 证明 BF 平面 CDEF 得 BF 为四面体 B DEF 的高 进 而求体积 1 1 2 1 2 ACBDGGACEG GHHBC GHAB EFABEFGH EGFHEGEDBFHEDB 证 设与交于点 则为的中点 连 由于为的中点 故 又四边形为平行四边形 而平面 平面 规律总结 本题是典型的空间几何问题 图形不是规则的空间几何体 所求的结论是线 面平行与垂直以及体积 考查平行关系的判断与性质 解决这类问题 通常利用线线平行证 明线面平行 利用线线垂直证明线面垂直 通过求高和底面积求四面体体积 4 4 20102010 四川理 四川理 18 本小题满分 12 分 已知正方体ABCD A B C D 的棱长为 1 点 M是棱AA 的中点 点O是对角线BD 的中点 求证 OM为异面直线AA 和BD 的公垂线 求二面角M BC B 的大小 求三棱锥M OBC的体积 本小题主要考查异面直线 直线与平面垂直 二面角 正方体 三棱锥体积等基础知识 D AB C D M O A B C 11 并考查空间想象能力和逻辑推理能力 考查应用向量知识解决数学问题的能力 解法一 1 连结AC 取AC中点K 则K为BD的中点 连结OK 因为M是棱AA 的中点 点O是BD 的中点 所以AM 1 2 DDOK 所以MO AK由AA AK 得MO AA 因为AK BD AK BB 所以AK 平面BDD B 所以AK BD 所以MO BD 又因为OM是异面直线AA 和BD 都相交故OM为异面直线AA 和BD 的公垂线 2 取BB 中点N 连结MN 则MN 平面BCC B 过点N作NH BC 于H 连结MH 则由三垂线定理得BC MH 从而 MHN为二面角M BC B 的平面角 MN 1 NH Bnsin45 122 224 A 在Rt MNH中 tan MHN 1 2 2 2 4 MN NH 故二面角M BC B 的大小为arctan22 3 易知 S OBC S OA D 且 OBC和 OA D 都在平面BCD A 内 点O到平面MA D 距离h 1 2 VM OBC VM OA D VO MA D 1 3 S MA D h 1 24 解法二 以点D为坐标原点 建立如图所示空间直角坐标系D xyz 则A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 A 1 0 1 C 0 1 1 D 0 0 1 1 因为点M是棱AA 的中点 点O是BD 的中点 所以M 1 0 1 2 O 1 2 1 2 1 2 11 0 22 OM AA 0 0 1 BD 1 1 1 12 OM AA A 0 11 22 OM BD A 0 0 所以OM AA OM BD 又因为OM与异面直线AA 和BD 都相交 故OM为异面直线AA 和BD 的公垂线 4 分 2 设平面BMC 的一个法向量为 1 n x y z BM 0 1 1 2 BC 1 0 1 1 1 0 0 n BM n BC A A 即 1 0 2 0 yz xz 取z 2 则x 2 y 1 从而 1 n 2 1 2 取平面BC B 的一个法向量为 2 n 0 1 0 cos 12 12 12 11 3 9 1 n n n n nn A AA 由图可知 二面角M BC B 的平面角为锐角 故二面角M BC B 的大小为arccos 1 3 9 分 3 易知 S OBC 1 4 S BCD A 12 12 44 AA 设平面OBC的一个法向量为 3 n x1 y1 z1 BD 1 1 1 BC 1 0 0 3 1 0 0 n BD n BC A A 即 111 1 0 0 xyz x 取z1 1 得y1 1 从而 3 n 0 1 1 点M到平面OBC的距离 d 3 1 2 2 4 2 BM n A VM OBC 11221 334424 OBC Sd AAA 12 分 13 20092009 年高考题年高考题 一 选择题 1 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 圆柱的底面半径为 1 高为 2 体积为2 四棱锥的底面 边长为2 高为3 所以体积为 2 12 3 23 33 所以该几何体的体积为 2 3 2 3 答案 C 命题立意 本题考查了立体几何中的空间想象能力 由三视图能够想象得到空间的立体图 并能准确地 计算出 几何体的体积 2 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单位 c 2 m 为 A 48 122 B 48 242 C 36 122 D 36 242 2 2 侧 左 视图 2 2 2 正 主 视图 俯视图 14 3 正六棱锥 P ABCDEF 中 G 为 PB 的中点 则三棱锥 D GAC 与三棱锥 P GAC 体积之比为 A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 2 4 在区间 1 1 上随机取一个数 x cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 A 3 1 B 2 C 2 1 D 3 2 解析 在区间 1 1 上随机取一个数 x 即 1 1 x 时 222 x 0cos1 2 x 区间长度为 1 而cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的区间长度为 2 1 所以概率为 2 1 故选 C 答案 C 命题立意 本题考查了三角函数的值域和几何概型问题 由自变量 x 的取值范围 得到 函数值cos 2 x 的范围 再由长度型几何概型求得 5 如右图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形 且体积为 1 2 则该集合 体的俯视图可以是 答案 C 6 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上 下 东 南 西 北 现有沿该正方 体 的一些棱将正方体剪开 外面朝上展平 得到右侧的平面图形 则标 的面的方位 是 A 南 B 北 C 西 D 下 解解 展 折问题 易判断选 B 7 如图 在半径为 3 的球面上有 A B C三点 15 90 ABCBABC 球心O到平面ABC的距离是 3 2 2 则BC 两点的球面距离是 A 3 B C 4 3 D 2 答案 B 8 若正方体的棱长为2 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A 2 6 B 2 3 C 3 3 D 2 3 答案 C 9 如图 已知三棱锥的底面是直角三角形 直角边长分别为 3 和 4 过直角顶点的侧棱长 为 4 且垂直于底面 该三棱锥的主视图是 答案 B 二 填空题 10 图是一个几何体的三视图 若它的体积是3 3 则 a 答案 3 11 如图是一个几何体的三视图 若它的体积是3 3 则a 12 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 16 3 cm 答案 18 解析 该几何体是由二个长方体组成 下面体积为1 3 39 上面的长方体体积为 3 3 19 因此其几何体的体积为 18 13 设某几何体的三视图如下 尺寸的长度单位为 m 则该几何体的体积为 3 m 答案答案 4 14 直三棱柱 111 ABCABC 的各顶点都在同一球面上 若 1 2ABACAA 120BAC 则此球的表面积等于 解 在ABC 中2ABAC 120BAC 可得2 3BC 由正弦定理 可得 ABC 外接圆半径 r 2 设此圆圆心为 O 球心为O 在RT OBO 中 易得球半径5R 故此球的表面积为 2 420R 15 正三棱柱 111 ABCABC 内接于半径为2的球 若 A B两点的球面距离为 则正三 棱 柱的体积为 答案 8 16 体积为8的一个正方体 其全面积与球O的表面积相等 则球O的体积等于 答案 8 6 17 17 如图球 O 的半径为 2 圆 1 O是一小圆 1 2OO A B 是圆 1 O上两点 若 A B 两点间的球面距离为 2 3 则 1 AO B 答案 2 18 已知三个球的半径 1 R 2 R 3 R满足 321 32RRR 则它们的表面积 1 S 2 S 3 S 满足的等量关系是 答案 321 32SSS 19 若球 O1 O2表示面积之比4 2 1 S S 则它们的半径之比 2 1 R R 答案 2 三 解答题 20 本小题满分 13 分 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示 墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH 下半部分是长方体ABCDEFGH 图 5 图 6 分别是该标识墩的正 主 视图和俯视图 1 请画出该安全标识墩的侧 左 视图 2 求该安全标识墩的体积 3 证明 直线BD 平面PEG 解析 1 侧视图同正视图 如下图所示 18 该安全标识墩的体积为 P EFGHABCD EFGH VVV 22 1 40604020320003200064000 3 2 cm 如图 连结 EG HF 及 BD EG 与 HF 相交于 O 连结 PO 由正四棱锥的性质可知 PO 平面 EFGH POHF 又EGHF HF 平面 PEG 又BDHFP BD 平面 PEG 19 20052005 20082008 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 20081 2008 广东 广东 将正三棱柱截去三个角 如图 1 所示ABC 分别是GHI 三边的中点 得到几何体如图 2 则该几何体按图 2 所示方向的侧视图 或称左视图 为 答案答案 A A 2 2 20082008 海南 宁夏理 海南 宁夏理 某几何体的一条棱长为7 在该几何体的正视图中 这条棱的 投影是长为6的线段 在该几何体的侧视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为a 和b的线段 则a b的最大值为 A 2 2 B 2 3 C 4 D 2 5 答案答案 C C 解析解析 结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算 如图 设长方体的高宽高分别为 m n k 由题意得 222 7mnk 22 6mk 1n 2 1ka 2 1mb 所以 22 1 1 6ab 22 8ab 22222 282816abaabbabab 4ab 当且仅当2ab 时取等号 3 3 20082008 山东 山东 下图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积是 A 9 B 10 C 11 D 12 E F D I A HG BC E F D A BC 侧视 图 1图 2 B E A B E B B E C B E D n m k 20 答案答案 D D 解析解析 考查三视图与几何体的表面积 从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个 圆柱组合而成的 其表面及为 22 411221 312 S 3 3 2007 2007 宁夏理宁夏理 8 8 已知某个几何体的三视图如下 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 3 4000 cm 3 3 8000 cm 3 3 2000cm 3 4000cm 答案答案 B B 4 4 20072007 陕西理陕西理 6 6 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上 其中底面的三 个顶点在该球的一个大圆上 则该正三棱锥的体积是 20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 21 A 4 33 B 3 3 C 4 3 D 12 3 答案答案 B B 5 5 20062006 安徽 安徽 表面积为2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上 则此球的体 积为 A 2 3 B 1 3 C 2 3 D 2 2 3 答案答案 A A 解析解析 此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形 所以由 2 3 82 3 4 a 知 1a 则此球的直径为2 故选 A 6 6 20062006 福建 福建 已知正方体外接球的体积是 3 32 那么正方体的棱长等于 A 22 B 3 32 C 3 24 D 3 34 答案答案 D D 解析解析 正方体外接球的体积是 32 3 则外接球的半径 R 2 正方体的对角线的长为 4 棱长等于 4 3 3 选 D 7 7 20062006 湖南卷 湖南卷 过半径为 2 的球O表面上一点A作球O的截面 若OA与该截面所成 的角是 60 则该截面的面积是 A B 2 C 3 D 32 答案答案 A A 解析解析 过半径为 2 的球O表面上一点A作球O的截面 若OA与该截面所成的角是 60 则截面圆的半径是 2 1 R 1 该截面的面积是 选 A 8 8 20062006 山东卷 山东卷 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 A 1 3 B 1 3 C 1 33 D 1 9 答案答案 C C 解析解析 设正方体的棱长为a 则它的内切球的半径为 1 2 a 它的外接球的半径为 3 2 a 22 故所求的比为 1 33 选 C 9 9 20052005 全国卷全国卷 一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 则球的表面积 为 A 28 B 8 C 24 D 4 答案答案 B B 10 10 20052005 全国卷全国卷 如图 在多面体 ABCDEF 中 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形 且 BCFADE 均为正三角形 EF AB EF 2 则该多面体的体积为 A 3 2 B 3 3 C 3 4 D 2 3 二 填空题二 填空题 11 11 20082008 海南 宁夏理科 海南 宁夏理科 一个六棱柱的底面是正六边 形 其侧棱垂直底面 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 且该六棱柱的体积为 9 8 底面周长为 3 则这个球的体积为 答案答案 3 4 解析解析 令球的半径为R 六棱柱的底面边长为a 高为h 显然有 22 2 h aR 且 2 1 39 6 2 48 363 a Vah ha 1R 3 44 33 VR 12 12 20082008 海南 宁夏文 海南 宁夏文 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直底面 已知该六棱 柱 的顶点都在同一个球面上 且该六棱柱的高为3 底面周长为 3 那么这个球的体积 为 答案答案 4 3 23 解析解析 正六边形周长为 得边长为 1 2 故其主对角线为 从而球的直径 2 2 2312R 1R 球的体积 4 3 V 13 13 20072007 天津理天津理 1212 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 且一个顶点上的三条 棱 的长分别为 1 2 3 则此球的表面积为 答案答案 14 14 14 20072007 全国全国 理理 15 15 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上 如果正 四 棱柱的底面边长为 1 cm 那么该棱柱的表面积为 cm2 答案答案 24 2 15 15 20062006 辽宁辽宁 如图 半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF 则此正六棱 锥的侧面积是 答案答案 6 7 解析解析 显然正六棱锥PABCDEF 的底面的外接圆是球的一个大圆 于是可求得底 面边长为 2 又正六棱锥PABCDEF 的高依题意可得为 2 依此可求得6 7 A B C P D E F 24 第二部分第二部分 四年联考汇编四年联考汇编 20102010 年联考题年联考题 题组二题组二 5 5 月份更新 月份更新 1 池州市七校元旦调研 在三棱柱 111 ABCABC 中 各棱长相等 侧掕垂直于底面 点D是侧面 11 BBC C 的中心 则AD与平面 11 BBC C 所成角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 取 BC 的中点 E 则AE 面 11 BBC C AEDE 因此AD与平面 11 BBC C 所成 角即为 ADE 设 3 2 AEa 2 a DE 即有 0 tan3 60ADEADE 2 安徽六校联考 如图是一个简单的组合体的 直观图与三视图 下面是一个 棱长为 4 的正方体 正上面放 一个球 且球的一部分嵌入正 方体中 则球的半径是 A 1 2 B 1 C 3 2 D 2 答案 B 3 如图 动点P在正方体 1111 ABCDABC D 的对角线 1 BD上 过点P作垂直于平面 11 BB D D的直线 与正方体表面相交于MN 设BPx MNy 则函数 yf x 的图象大致是 俯视图 正视图侧视图 1 直观图 25 答案 B 4 三明市三校联考 已知某几何体的三视图如右图所 示 则该几何体的体积为 答案 2 3 5 昆明一中三次月考理 四面体 ABCD 中 共顶点 A 的三条棱两两相互垂直 且其长分别 为361 若四面体的四个顶点同在一个球面上 则这个球的表面积为 答案 16 6 池州市七校元旦调研 若某几何体的三视图 单位 cm 如图 所示 则此几何体的体积是 3 cm 答案 18 解析 该几何体是由二个长方体组成 下面体积为1 3 3 9 上 面的长方体体积为3 3 1 9 因此其几何体的体积为 18 7 哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 一个几何体的三 视图如图所示 其中 主视图中大三角形的边长是 2 的正三角形 俯 视图为正六边形 那么该几何体几的体积为 答案 3 2 俯视图 正视图 侧视图 主视图俯视图 左视图 AB C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A O y x B O y x C O y x D O 26 EC1 B1 A1 C B A 8 安庆市四校元旦联考 本题满分 14 分 如图 在四棱锥ABCDP 中 ABCD 是矩 形 ABCDPA平面 3 1 ABADPA 点F是PD的中点 点E在CD上移动 求三棱锥PABE 体积 当点E为CD的中点时 试判断EF与平面PAC的关系 并说明理由 求证 AFPE 解 1 ABCDPA平面 6 3 131 2 1 3 1 3 1 PASVV ABEABEPPABE 2 当点E为BC的中点时 PACEF平面 理由如下 点FE 分别为CD PD 的中点 PCEF PACPC平面 PACEF平面 PACEF平面 3 ABCDPA平面 ABCDCD平面 PACD 是矩矩形ABCD ADCD AADPA PADCD平面 PADAF平面 DCAF ADPA 点F是PD的中点 PDAF 又DPDCD PDCAF平面 PDC PE平面 AFPE 9 哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 如图 在三棱柱 111 ABCABC 中 已知 1 1 2 BCBB 1 3 BCC 学 网 AB 侧面 11 BBC C A B C D P E F 27 E O G F A1 B1 C1 C B A 1 求直线 C1B 与底面 ABC 所成角正切值 2 在棱 1 CC 不包含端点 1 C C上确定一点E的位置 使得 1 EAEB 要求说明理由 3 在 2 的条件下 若2AB 求二面角 11 AEBA 的大小 解 1 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1 C CABC 平平 1 C B 在平面ABC上的射影 为CB 1 C BC 为直线 1 C B与底面ABC所成角 2 11 2 1CCBBBC 1 tan2C BC 即直线 1 C B与底面ABC所成角正切值为 2 4 2 当 E 为中点时 1 EAEB 111 1 1CEECBCBC 11 45BECB EC 1 90BEB 即 1 B EBE 6 又 11 ABBBC C 平面 111 EBBBC C 平面 1 ABEB BEABB 1 EBABE 平平 ABEEA平面 1 EAEB 8 3 取 1 EB的中点G 1 AE的中点F 则FG 11 AB 且 11 1 2 FGAB 1111 ABEBFGEB 连结 11 AB AB 设 11 ABABO 连结 OF OG FG 则OG AE 且 1 2 OGAE 11 AEEBOGEB OGF 为二面角 11 AEBA 的平面角 10 11 11212 1 22222 OGAEFGABOFBE 45OGF 二面角 11 AEBA 的大小为 45 12 28 题组一题组一 1 1 月份更新 月份更新 一 选择题 1 2009 滨州一模 设 是两个不同的平面 ml 为两条不同的直线 命题 p 若 平面 l m 则ml 命题 q l lm m 则 则下列命题为真命题的是 A p 或 qB p 且 q C p 或 q D p 且 q 答案 C 2 2009 玉溪市民族中学第四次月考 若球O的半径为 1 点 A B C 在球面上 它们任意两点的球面距离都等 于 2 则过 A B C 的小圆面积与球表面积之比为 A 12 1 B 8 1 C 6 1 D 4 1 答案 C 3 2009 聊城一模 某个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 A 32B 3 C 4 33 D 2 33 答案 B 4 2009 临沂一模 一个几何体的三视图及长度数据如图 则该几何体的表 面积与体积分别为 A 72 3 B 82 3 C 3 72 2 D 3 82 2 答案 C 5 2009 青岛一模 如右图 一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为 2的正三角形 其俯视图轮廓为正方形 则其体积是 俯视图 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 29 A 3 6 B 4 2 3 C 4 3 3 D 8 3 答案 C 6 2009 上海闸北区 右图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积 是 A 10 B 11 C 12 D 13 答案 C C 7 2009 泰安一模 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的 体积等于 A 4 B 6 C 8 D 12 答案 A 8 2009 枣庄一模 一个几何体的三视图如右图所示 则该几何体外接球的表面积为 A 3B 2 C 3 16 D 以上都不对 答案 C 9 2009 番禺一模 一个几何体的三视图如右图所示 其中正视图中 ABC 是边长为 2 的 正三角形 俯视图为正六边形 那么该几何体的侧视图的面积为 俯视图 正 主 视图侧 左 视图 2 3 2 2 30 A 12 B 3 2 C 2 3 D 6 答案 C 二 填空题 1 2009 上海八校联考 已知一个球的球心O到过球面上A B C三点的截面的距离等于 此球半径的一半 若3ABBCCA 则球的体积为 答案 32 3 2 2009 上海青浦区 如图 用一平面去截球所得截面的面积为 2cm2 已知 球心到该截面的距离为 1 cm 则该球的体积是 cm3 答案 34 三 解答题 1 2009 上海普陀区 已知复数 1 coszxi 2 1 sinzx i i是虚数单位 且 12 5zz 当实数 2 2x 时 试用列举法表示满足条件的x的取值集 合P 解 如图 设BC中点为D 联结AD OD 由题意 2OBOC 60BOC 所以 OBC 为等边三角形 故2BC 且3OD 又 1 33 2 ABC SBC ADAD 所以 22 6AOADOD 而圆锥体的底面圆面积为 2 4SOC 理第 11 题 A O C B 第第 1919 题题 图图 A O C B 第第 1919 题题 图图 D 31 所以圆锥体体积 14 6 33 ABC VSAO 2 2009 上海奉贤区模拟考 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ABC 90 AB BC 1 1 求异面直线 B1C1与 AC 所成角的大小 2 若直线 A1C 与平面 ABC 所成角为 45 求三棱锥 A1 ABC 的体积 1 因为 11 BCBCA 所以 BCA 或其补角 即为异面直线 11 BC与AC所成角 3 3 分分 ABC 90 AB BC 1 所以 4 BCA 2 2 分分 即异面直线 11 BC与AC所成角大小为 4 1 1 分分 2 直三棱柱 ABC A1B1C1中 1 A AABC 平面 所以 1 ACA 即为直线 A1C 与平面 ABC 所成角 所以 1 4 ACA 2 2 分分 Rt ABC 中 AB BC 1 得到2AC 1 Rt AAC 中 得到 1 2AAAC 2 2 分分 所以 1 12 36 ABCABC SAA A 1 A V 2 2 分分 3 2009 冠龙高级中学 3 月月考 在棱长为 2 的正方体 1111 DCBAABCD 中 如图 E是棱 11D C的中点 F是侧面DDAA 11 的中心 1 求三棱锥EFDA 11 的体积 求EF与底面 1111 DCBA所成的角的大小 结果用反三角 函数表示 1 3 1 11 3 1 1111 FDAEEFDA VV 2 取 11D A的中点G 所求的角的大小等于GEF 的大小 GEFRt 中 2 2 tan GEF 所以EF与底面 1111 DCBA所成的角的大 A B C D A1 B1 C1 F ED1 D1C1 A1 B1 A B C D E 32 M A B D C O 小是 2 2 arctan 4 2009 闸北区 如图 在四棱锥OABCD 中 底面ABCD是边长为 2 的正方形 OAABCD 平平 2OA M为OA的中点 求四棱锥OABCD 的体积 求异面直线 OB 与 MD 所成角的大小 解 解 由已知可求得 正方形ABCD的面积4 S 2 分 所以 求棱锥ABCDO 的体积 3 8 24 3 1 V 4 分 方法一 综合法 方法一 综合法 设线段AC的中点为E 连接ME 则EMD 为异面直线 OC 与MD所成的角 或其补角 1 分 由已知 可得5 3 2 MDEMDE 222 5 3 2 DEM 为直角三角形 2 分 3 2 tan EM DE EMD 4 分 3 23 arctan EMD 所以 异面直线 OC 与 MD 所成角的大小 3 23 arctan 1 分 方法二方法二 向量法向量法 33 以 AB AD AO 所在直线为 x y z轴建立坐标系 则 0 2 0 1 0 0 0 2 2 2 0 0 DMCO 2 分 2 2 2 OC 1 2 0 MD 2 分 设异面直线 OC 与 MD 所成角为 5 15 cos MDOC MDOC 3 分 OC 与 MD 所成角的大小为 5 15 arccos 1 分 5 2009 东莞一模 如图 在长方体1 1 11111 ABAAADDCBAABCD中 点 E 在棱 AB 上移动 小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1 所爬的最短路程为22 1 求证 D1E A1D 2 求 AB 的长度 3 在线段 AB 上是否存在点 E 使得二面角 4 1 的大小为DECD 若存在 确定 点 E 的位置 若不存在 请说明理由 解一 1 证明 连结 AD1 由长方体的性质可知 AE 平面 AD1 AD1是 ED1在 平面 AD1内的射影 又 AD AA1 1 AD1 A1D D1E A1D1 三垂线定理 4 分 2 设 AB x 四边形 ADD1A 是正方形 小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到 点 C1可能有两种途径 如图甲的最短路程为 4 2 1 xAC 如图乙的最短路程为 34 221 1 22 1 xxxAC 1 x 42222 222 xxxx 2224 2 xx 9 分 3 假设存在 平面 DEC 的法向量 1 0 0 1 n 1 2 0 1 CD 设平面 D1EC 的法向量 2 zyxn 则 yax yz 2 2 2 1 2 2 an 12 分 由题意得 2 2 21 2 2 cos 222 21 a nn 解得 3232 aa或 舍去 4 3 1 的大小为二面角时为离即当点DEDD BE 14 分 20092009 年联考题年联考题 一 选择题选择题 1 1 20092009 枣庄市二模 枣庄市二模 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积等于 A 3 6 1 aB 3 2 1 a 35 C 3 3 2 a D 3 6 5 a 答案答案 D D 2 2 20092009 天津重点学校二模 天津重点学校二模 如图 直三棱柱的主视图面积为 2a2 则左视图的面积为 A 2a2 B a2 C 2 3a D 2 4 3 a 答案答案 C C 3 3 20092009 青岛二模 青岛二模 如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图 则组成此几何体的长方体木块块数共有 A 3 块 B 4 块 C 5 块 D 6 块 答案答案 B B 4 4 20092009 台州二模 台州二模 如图 一个空间几何体的正视图 侧视图都是面积为 3 2 且一个 内角为60 的菱形 俯视图为正方形 那么这个几何体的表面积为 A 2 3 B 4 3 C 4 D 8 答案答案 C C 5 5