高中数学一轮复习 第5讲 空间中的垂直关系

用心 爱心 专心1 第第5 5讲讲 空间中的垂直关系空间中的垂直关系 随堂演练巩固 1 直线l不垂直于平面则内与l垂直的直线有 A 0条B 1条 C 无数条D 内所有直线 答案 C 解析 可以有无数条 2 设m n是两条不同的直线是三个不同的平面 给出下列四个命题 其中正确命题的序 号是 若 则 若 则 若m 则m n mn mn m m n 若则 A 和 B 和 C 和 D 和 答案 A 3 PA垂直于正方形ABCD所在平面 连接PB PC PD AC BD 则下列垂直关系正确的是 平面平面PBC 平面平面PAD 平面平面PCD 平面平PAB PAB PAB PAB 面PAC A B C D 答案 A 解析 易证平面PAB 则平面平面PBC BC PAB 又AD BC 故平面PAB 则平面平面PAB 因此选A AD PAD 4 如图 三棱锥P ABC中平面 PA AB 则直线PB与平面ABC所成的角PA 90ABCBAC 是 A 90B 60 C 45D 30 答案 C 解析 平面ABC PA PB在平面ABC上的射影是AB 是直线PB与平面ABC所成的角 PBA 又在 PAB中 PA AB 90BAP 45PBA 直线PB与平面ABC所成的角是45 课后作业夯基 1 设 是两个不同的平面 l是一条直线 以下命题正确的是 A 若则B 若 则 l l l l C 若l 则D 若l 则 l l 答案 B 解析 对于选项A C 可能l 所以A C均不正确 对于选项D 可能l 或所以D l 不正确 用心 爱心 专心2 2 命题 1 直线l垂直于平面内的无数条直线 则 命题 2 若则直线l垂直 l l 于平面内的无数条直线 则 A 1 是真命题 2 是真命题 B 1 是真命题 2 是假命题 C 1 是假命题 2 是真命题 D 1 是假命题 2 是假命题 答案 C 解析 直线l垂直于平面内的无数条直线 则l有可能与斜交 反之若则直线l垂直 l 于平面内的无数条直线 3 已知表示两个不同的平面 m为平面内的一条直线 则 是 的 m A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由平面与平面垂直的判定定理知 如果m为平面内的一条直线则反 m 过来则不一定 所以 是 的必要不充分条件 m 4 如图 已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形平面ABC PA 2AB 则下列结论正确的是 PA A PBAD B 平面平面PBC PAB C 直线BC 平面PAE D 直线PD与平面ABC所成的角为45 答案 D 解析 AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直 A不成立 又平面平面PAE 平面PAB 平面PBC也不成立 BC AD BC 平面PAD 直线BC 平面PAE也不成立 PAB 在Rt PAD中 PA AD 2AB D正确 45PDA 5 一直线和平面所成的角为则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是 3 A B 0 3 3 2 C D 33 3 答案 B 解析 由最小角定理 知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为最大角是当斜线与 3 平面内的一条直线垂直时所成的角 它为 2 6 已知A 1 2 7 B 3 10 9 则线段AB中点关于原点对称的点的坐标是 用心 爱心 专心3 A 4 8 2 B 4 2 8 C 4 2 1 D 2 4 1 答案 D 解析 线段 AB的中点M的坐标是即M 2 4 1 1 3 2 10 79 222 M关于原点对称的点为 2 4 1 7 正方体ABCD 中 M N分别是棱和AB上的点 若是直角 则 1111 ABC D 1 AA 1 B MN 1 C MN 答案 90 解析 在正方体中平面 11 C B 11 ABB A 而平面 MN 11 ABB A 11 C BMN 又是直角 即 1 B MN 1 MNMB 而 1111 MBC BB 平面 MN 11 MBC 即 1 MNMC 1 90C MN 8 是两个不同的平面 m n是平面及之外的两条不同直线 给出四个论断 以其中三个论断作为条件 余下一个论断作为结论 写mn n m 出你认为正确的一个命题为 答案 或 解析 根据线面 面面垂直的定义 判定定理和性质可知 正确的有 或 9 球O与正方体ABCD 各面都相切 P是球O上一动点 AP与平面ABCD所成的角为则 1111 ABC D 最大时 其正切值为 答案 2 2 解析 过正方体的对角面作截面 如图所示 11 ACC A M N为切点 当AP与平面ABCD所成的角最大时 AP为圆O的切线 设正方体的棱长为2 则tantantan 12OMAM 2 2 OAM 2 OAM 2 2tan 1tan OAM OAM 2 2 10 设 为彼此不重合的三个平面 l为直线 给出下列命题 若 则 若且则 l l 若直线l与平面内的无数条直线垂直 则直线l与平面垂直 若内存在不共线的三点到的距离相等 则平面平行于平面 上面命题中 真命题的序号为 写出所有真命题的序号 答案 用心 爱心 专心4 解析 由题可知 中无数条直线不能认定为任意一条直线 所以 错 中的不共线的三点 有可能是在平面的两侧 所以两个平面可能相交也可能平行 故填 11 如图所示 在长方体ABCD 中是侧棱的中点 1111 ABC D 1 12ABBCAAE 1 BB 1 求证 平面ADE 1 AE 2 求三棱锥 ADE的体积 1 A 解 1 证明 由勾股定理知 1 1 121 12AEAE 则 222 11 A AAEAE 1 AEAE 平面平面 AD 111 AAB B AE 11 AAB B 1 AEAD 而 平面ADE ADAEA 1 AE 1 1 2 221 2 AA E S A 1 111 11 1 33 AADED A AEAA E VVSAD A 1 3 12 2012山东临沂沂水 在直平行六面体中 四边形ABCD是菱形 1 AC60DAB 1 ACBDO ABAA 1 求证 平面 1 C O 11 AB D 2 求证 平面平面 11 AB D 11 ACC A 证明 1 连接交于连接 11 AC 11 B D 1 O 1 AO 用心 爱心 专心5 在平行四边形中 11 AAC C 11 C O 11 AO C OAO 四边形为平行四边形 11 AOC O 1 C O 1 AO 平面 1 C O 11 AB D 平面 1 AO 11 AB D 平面 1 C O 11 AB D 2 在直平行六面体中平面 1 AC 1 A A 1111 ABC D 111 A AB D 四边形为菱形 1111 ABC D 1111 B DAC 平面平面 111111 ACAAA AC 111 ACC A AA 11 ACC A 平面 11 B D 11 ACC A 平面 11 B D 11 AB D 平面平面 11 AB D 11 ACC A 13 如图 在四棱锥E ABCD中 ADE是等边三角形 侧面底面ADE ABCD AB DC BD 2DC 4 AD 3 AB 5 1 若F是EC上任一点 求证 平面平面ADE BDF 2 求三棱锥C BDE的体积 解 1 证明 在 ABD中 BD 4 AD 3 AB 5 222 ABADBD BDAD 又平面平面ABCD 平面平面ABCD AD 平面ADE ADE ADE BD 平面BDF BD 平面平面ADE BDF 2 取AD的中点H 连接EH 由 ADE为等边三角形得 EHAD 平面平面ABCD 平面ABCD ADE EH 1 3 C BDEE BCDBCD VVSEH A 用心 爱心 专心6 又 在 ADE中在 ABD中 AB边上的高为 3 3 2 EH 3 412 55 BCDABCD SS A梯形 112 25 25 ABD S A 1 2 12 3 4 5 3 36 3112 3525 C BDE V 三棱锥C BDE的体积为 6 3 5 拓展延伸 14 如图 在棱长为2的正方体ABCD 中 E F分别为 DB的中点 1111 ABC D 1 DD 1 求证 EF 平面 11 ABC D 2 求证 1 EFBC 3 求三棱锥 EFC的体积 1 B 解 1 证明 连接在 中 E F分别为 DB的中点 则EF 1 BD 1 DD B 1 D D 1 D B 又平面平面 EF 111 ABC D D B 11 ABC D EF 平面 11 ABC D 2 证明 由题易得 111 BCAB BCBC AB 1 BCB 平面 又平面 1 BC 11 ABC D 1 BD 11 ABC D 11 BCBD 又EF 1 BD 1 EFBC 3 11 CFBD CFBB BDBBB 平面即平面 CF