高中数学 第九章第06课时两条异面直线所成的角教师专用教案 新人教A版

用心 爱心 专心1 两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角 一 素质教育目标一 素质教育目标 一 知识教学点 1 两异面直线所成角的定义及两异面直线互相垂直的概念 2 两异面直线的公垂线和距离的概念及两异面直线所成角及距离的求法 二 能力训练点 1 利用转化的思想 化归的方法掌握两异面直线所成角的定义及取值范围 并体现 了定义的合理性 2 利用类比的方法掌握两异面直线的公垂线和距离等概念 应用在证题中体现了严 格的逻辑思维 并会求两条异面直线所成角与距离 三 德育渗透点 进一步培养学生的空间想象能力 以及有根有据 实事求是等严肃的科学态度和品 质 二 教学重点 难点 疑点及解决方法二 教学重点 难点 疑点及解决方法 1 教学重点 两异面直线所成角的定义 两异面直线的公垂线及距离的概念 两异 面直线所成角和距离的求法 2 教学难点 两异面直线所成角及距离的求法 3 教学疑点 因为两条异面直线既不相交 但又有所成的角 这对于初学立体几何 的学生来说是难以理解的 讲解时 应首先使学生明了学习异面直线所成角的概念的必要 性 三 课时安排三 课时安排 1 课时 四 教与学的过程设计四 教与学的过程设计 一 复习提问引入课题 用心 爱心 专心2 师 上新课前 我们先来回忆 平面内两条相交直线一般通过什么来反映它们之间的 相互位置关系 生 通过它们的夹角 如图 1 46 a b 的位置关系与 a b 的位置关系是不一样 的 a b 的夹角比 a b 的夹角来的小 师 那么两条异面直线是否也能用它们所成的角来表示它们之间相互位置的不同状 况 例如要表示大桥上火车行驶方向与桥下轮船航行方向间的关系 就要用到两条异面直 线所成角的概念 二 异面直线所成的角 师 怎么定义两条异面直线所成的角呢 能否转化为用共面直线所成的角来表示呢 生 可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示 如图 1 47 异面直 线 a b 在空间中任取一点 O 过点 O 分别引 a a b b 则 a b 所成的锐角 或直角 叫做两条异面直线所成的角 师 针对这个定义 我们来思考两个问题 问题 1 这样定义两条异而直线所成的角 是否合理 对空间中的任一点 O 有无限制 条件 答 在这个定义中 空间中的一点是任意取的 若在空间中 再取一点 O 过点 O 作 a a b b 根据等角定理 a 与 b 所成的锐角 或直角 和 a 与 b 所成 的锐角 或直角 相等 即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线 它们所 用心 爱心 专心3 成的锐角 或直角 都是相等的 值是唯一的 确定的 而与所取的点位置无关 这表明 这样定义两条异面直线所成角的合理性 注意 有时 为了方便 可将点 O 取在 a 或 b 上 问题 2 这个定义与平面内两相交直线所成角是否有矛盾 答 没有矛盾 当 a b 相交时 此定义仍适用 表明此定义与平面内两相交直线所 成角的概念没有矛盾 是相交直线所成角概念的推广 师 在定义中 两条异面直线所成角的范围是 0 90 若两条异面直线所成的 角是直角 我们就说这两条异面直线互相垂直两条异面直线互相垂直 出示模型 正方体 例如 正方体上的 任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的 其中有的和这条棱相交 有的和这条棱 异面 三 两条异面直线的距离 师 出示模型 观察模型 思考问题 a 与 b a 与 b 所成角相等 但是否就表示 它们之间的相互位置也一样呢 生 不是 它们之间的远近距离不一样 从而得到两条异面直线的相互位置除了用它 们所成的角表示 还要用它们之间的距离表示 师 那么如何表示两条异面直线之间的距离呢 我们来回忆在平面几何中 两条平行 线间的位置关系是用什么来表示的 生 用两平行线间的距离来表示 师 对 如图 1 50 要知道它们的距离 先要定义它们的公垂线 如图 1 50 a b a b c a c a 则 a b 与 a b 的公垂线分别为 c c 且线段 AB A B 的长度分别是 a b 与 a b 之间的距离 对两条异面直线的距离 我们可以应用类似的方法先定义它们的公垂线 定义 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线两条异面直线的公垂线 用心 爱心 专心4 师 根据定义 思考问题 问题 1 和两条异面直线都垂直的直线有多少条 答 无数条 因为两条异面直线互相垂直时 它们不一定相交 所以公垂线的定义要 注意 相交 的含义 问题 2 两条异面直线的公垂线有几条 答 有且只有一条 出示正方体骨架模型 能和 AA B C 都垂直相交的只有 A B 一条 能和 AB 与面 A C 内过点 A 的直线都垂直相交的直线只有一条 AA 师 有了两条异面直线公垂线的概念 我们就可以定义两条异面生成的距离 定义 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度 叫做两条异面直线两条异面直线 的距离 的距离 如图 1 52 中的线段 AB 的长度就是异面直线 a b 间的距离 下面 我们来完成练习和例题 四 练习 例设图 1 53 中的正方体的棱长为 a 1 图中哪些棱所在的直线与直线 BA 成异 面直线 2 求直线 BA 和 CC 所成的角的大小 3 求异面直线 BC 和 AA 的距离 用心 爱心 专心5 解 l A 平面 BC 而点 B 直线 CC 都在平面 BC 直线 BA 与 CC 是异面直线 同理 直线 C D D D DC AD B C 都和直线 BA 成异面直线 2 CC BB BA 和 BB 所成的锐角就是 BA 和 CC 所成的角 A BB 45 BA 和 CC 所成的角是 45 3 AB AA AB AA A 又 AB BC AB BC B AB 是 BC 和 AA 的公垂线段 AB a BC 和 AA 的距离是 a 说明 本题是判定异面直线 求异面直线所成角与距离的综合题 解题时要注意书写 规范 练习 P 16 练习 1 3 1 1 两条直线互相垂直 它们一定相交吗 答 不一定 还可能异面 用心 爱心 专心6 2 垂直于同一直线的两条直线 有几种位置关系 答 三种 相交 平行 异面 3 画两个相交平面 在这两个平面内各画