探索勾股定理

探索勾股定理探索勾股定理 一 教学目标一 教学目标 1 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程 进一步 发展学生的合情推理意识 主动探究的习惯 进一步体会 数学与现实生活的紧密联系 2 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系 进 一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力 二 重点 难点二 重点 难点 重点 了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问 题 难点 勾股定理的发现 三 教学过程三 教学过程 一 创设问题的情境 激发学生的学习热情 出示 2002 年数学家大会的现场图片 由会徽引出 赵 爽弦图 引出这一节要研究的问题 勾股定理 二 讲解新课 1 观察图 1 一 2 正方形 A 中有 个小方格 即 A 的面积为个 面积单位 正方形 B 中有 个小方格 即 B 的面积为 个面积单位 正方形 C 中有 个小方格 即 C 的面积为 个面积单位 2 你是怎样得出上面结果的 在学生交流回答的基础 上教师接着提问 3 图 l 一 2 中 A B C 之间的面积之间有什么关系 在学生交流后形成共识老师板书 A B C 接着提 出图 1 一 1 中 A B C 的关系呢 在学生活动后 老师总结 以直角三角形两直角边为边的正方形面积和 等于以 斜边为边的正方形面积 4 图 1 一 1 1 一 2 1 一 3 中 你能用三角边的边长 表示正方形的面积吗 图 1 3 5 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗 在同 学的交流基础上 老师板书 直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方 也就是说 如果直角三角形的两直角边为 a b 斜边 为 c 那么 222 cba 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢 这就 需要我们对一个一般的直角三角形进行证明 到目前为止 对这个命题的证明方法已有几百种之多 下面我们就来看 一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的 c a b c a b c a b c a b 通过计算得到 大正方形的面积可以表示为c2 也可以表示为a2 b2 所以 a2 b2 c2 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾 较长的 直角边为股 斜边为弦 这就是勾股定理的由来 三 巩固练习 1 填空题 已知在 Rt ABC 中 C 90 1 若 a 3 b 4 则 c 2 若 a 40 b 9 则 c 3 若 a 6 c 10 则 b 4 若 c 25 b 15 则 a 2 例 飞机在空中水平飞行 某一时刻刚好飞到一个男孩 头顶正上方 15 千米处 过了 40 秒 飞机距离这个男孩头 顶 17 千米 飞机每时飞行多少千米 解 如所画示意图 BC2 AB2 一 AC2 BC2 172 152 64 BC 8 千米 v 8 40 3600 720 千米 时 答 飞机每小时飞行 720 千米 3 应用知识回归生活 1 受台风影响 一棵树在离地面 4 米处断裂 树的顶 部落在离树根底部 3 米处 这棵树折断前有多高 2 一个 3m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上 这时 AO 的距离为 2 5m 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0 5m 那么 梯子底端 B 也外移 0 5m 吗 四 布置作业 课本 p7 4 p11 2 3 p15 1 2 能得到直角三角形吗能得到直角三角形吗 一 教学目标一 教学目标 B B C C A 一 知识与技能 1 掌握直角三角形的判别条件 2 熟记一些勾股数 3 能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用 二 过程与方法 用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角 形 培养学生数形结合的思想 三 情感态度与价值观 1 通过介绍有关历史资料 激发学生解决问题的愿望 2 通过对勾股定理逆定理的综合应用 培养学生学习 数学的兴趣 克服困难的勇气 体验勾股定理及其逆定理 在生活实际中的实用性 3 通过对直角三角形判别条件的研究 培养学生大胆 猜想 勇于探索的创新精神 二 教学重 难点二 教学重 难点 重点 直角三角形的判别条件及其应用 难点 用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否 为直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题 三 教学方法三 教学方法 引导启发法 教师通过介绍古埃及人作直角的方法启发引导学生通 过已知数据作出三角形 并用测量的方法 探索 归纳用 三角形三边关系判定直角三角形的条件 四 教学过程四 教学过程 一 创设问题情境 引入新课 前面 我们刚学习了勾股定理 知道一个直角三角形 的两直角边a b 斜边c具有一定的数量关系即a2 b2 c2 我们是否也可以不用角 而用三角形三边的关系来判 定它是否为直角三角形呢 二 讲述新课 1 古代埃及人作直角 师 其实 古代埃及人就曾用三角形三边的关系作 出了直角 下面我们一同演示一下 我这儿有一根绳子 上面有 13 个等距的结 把这根绳 子分成等长的 12 段 下面我让一个同学同时握住绳子的第 1 个和第 13 个结 再让两个同学分别握住绳子的第 4 个结和第 8 个结 如下图所示 拉紧绳子 大家观察可以 发现什么 生 得到一个直角三角形 在第 4 个结处的角是直 角 师 我们再来看在第 1 个结到第 4 个结是 3 个单 位长度即AC b 3 同理BC a 4 AB c 5 因为 32 42 52 所 以a2 b2 c2 那么是不是三角形的三边满足a2 b2 c2 就可 以得到一个直角三角形呢 我们不妨再找几组数试一试 2 做一做 下面四组数分别是一个三角形的三边长a b c 5 12 13 7 24 25 8 15 17 1 这四组数都满足a2 b2 c2吗 2 分别以每组数为三边长作出三角形 用量角器量一 量 它们都是直角三角形吗 师生共析 1 52 122 169 132 72 242 625 252 82 152 289 172 所以这三组数满足a2 b2 c2 师 很好 下面同学们完成第 2 小题 让学生亲自动手作三角形 并用量角器量出各个内角 然后小组内交流 从而获得一个三角形是直角三角形三边 的条件 生 我们通过作三角形 测量三角形三个内角发现 前三组数满足a2 b2 c2 作出的三角形都是直角三角形 而 后一组数不满足a2 b2 c2 作出的三角形不是直角三角形 师 你能告诉我在你作出的直角三角形中 哪一边 是斜边吗 哪一个角是直角吗 生 前三组数中 较长的边是斜边 斜边所对的角 是直角 师 从 做一做 中你能猜想到什么结论呢 生 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那 么这个三角形是直角三角形 师 刚才 我们只是从特例中猜想出来上面的结论 可能有的同学会产生疑虑 果真如此吗 下面我用前面的 知识解释一下这个结论 大家就会知道 我们的猜想是正 确的 已知 在 ABC中AB c BC a CA b 并且a2 b2 c2 求证 c 90 证明 作 A B C 使 C 90 B C a A C b 那么A B 2 a2 b2 为什么 由已知条件a2 b2 c2 可得A B 2 c2 即 A B c A B 0 c 0 在 ABC和 A B C 中有 BC a B C CA b C A AB c A B 则 ABC A BDC A B C 所以 C C 90 现在大家没有疑虑了吧 同时也明白了古埃及人那样做 的道理 师 是的 如果三角形三条边满足a2 b2 c2的三个正 整数 称为勾股数 师 你能用说出一些勾股数吗 下面我们利用直角三角形判定的条件来看例题 3 小试牛刀 1 下列几组数据能否作为直角三角形的三边 A 9 12 15 B 15 36 39 B 12 35 36 D 12 18 22 2 一个三角形的三边的长分别是 15 20 25 则这个 三角形的面积是 A 250 B 150 C 200 D 不能 确定 3 如图 在 ABC 中 AD BC 于 D BD 9 AD 12 AC 20 则 ABC是 A 等腰三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 直角三角形 4 将直角三角形的三边同时扩大相同的倍数后 得 到的三角形是 A 直角三角形 B 锐角三角形 A B C D 12 13 4 3 C 钝角三角形 D 不能确定 4 例题讲解 例 1 一个零件的形状如下图所示 按规定这个零件中 A和 DBC都应为直角 工人师傅量出了这个零件各边尺 寸 那么这个零件符合要求吗 分析 这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际 问题的例子 解 在 ABD中 AB2 AD2 9 16 25 BD2 所以 ABD是 直角三角形 A是直角 在 BCD中 BD2 BC2 25 144 169 132 CD2 所以 BCD 是直角三角形 DBC是直角 因此这个零件符合要求 变式练习 如图 一块四边形土地 测得边长如图所示 且 DAB 90 求这个四边形土地的面积 五 布置作业 课本 20 页习题 1 4 1 2 3 题 中心对称与中心对称图形中心对称与中心对称图形 一 教学目标 一 知识与能力 1 掌握中心对称图形的有关概念和基本性质 2 会判断一个图形是否为中心对称图形 掌握平行四 边形是中心对称图形 二 过程与方法 1 通过学生观察熟悉的图形 形成对中心对称图形的 感性认识 2 通过观察大量的中心对称图形 归纳出中心对称图 形的本质特征 三 情感 态度与价值观 1 经历观察 发现 探究的过程 积累一定的审美情 态 2 通过组织学生讨论交流 增强学生的合作交流意识 二 教学重难点 一 重点 1 中心对称图形的概念和性质 2 判断一个图形是否为中心对称图形 二 难点 1 中心对称图形的概念和性质 2 判断一个图形是否为中心对称图形 三 教学设计 一 情景引入 1 课件出示三幅日常生活当中的图片 并提问 1 这些图片有什么相同特征 2 你能将图片 2 中的零件绕其中一个点旋转 180 使旋转前后的图形完全重合吗 2 像刚才这类的图形就是我们今天主要学习的中心对 称和中心对称图形 1 中心对称 平面内 一个图形绕某个点旋转 180 如果旋转后能与另一个图形完全重合 那么这两个 图形就关于这一点中心对称 2 中心对称图形 平面内 一个图形绕某个点旋转 180 如果旋转前后的图形互相重合 那么这个图形叫做 中心对称图形 我们把这个点叫做它的对称中心 二 回顾与思考 1 什么是轴对称 什么是轴对称图形 轴对称 将一个图形沿某条直线折叠如果能狗与另一 个直线完全重合 那么这两个图形就关于这条直线成轴对 称 轴对称图形 将一个图形沿某条直线折叠 如果直线 两边的部分能够完全重合 这个图形就称为轴对称图形 2 轴对称与轴对称图形有什么不同 轴对称是指两个图形之间的位置关系 轴对称图形是 指一个具有特殊形状的图形 中心对称又与轴对称有什么不同 中心对称强调绕某点旋转 180 而轴对称强调沿某条 直线折叠 三 探索与发现 操作 1 将成中心对称的两个图形中的一个绕对称中心 旋转 180 发现这两个图形能够完全重合 定理 1 成中心对称的两个图形是全等形 操作 2 将成中心对称的两个图形的对应点一一连接起 来 发现对应点连线都交与一点且被这一点平分 定理 2 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过 对称中心 并且被对称中心平分 如何判断两个图形关于一点中心对称 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点平分 那么这两个图形关于这一点对称 四 实际应用 已知四边形 ABCD 和点 O 画四边形 A B C D 使 它与已知四边形关于点 O 对称 作法 1 连接 AO 并延长 在 AO 的延长线上截取 OA 2 连接 BO 并延长 在 BO 的延长线上截取 OB 3 连接 CO 并延长 在 CO 的延长线上截取 OC 4 连接 DO 并延长 在 DO 的延长线上截取 OD 5 连接点 A B C D 则四边形 A B C D 既为所求 A B C D 五 类比发现 中心对称与中心对称图形有何区别与联系 1 区别 1 中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系 这两个图形关于某一点对称 中心对称图形是指一个图形 本身成中心对称 2 成中心对称的两个图形中 其中一个图形上的所 有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上 而中心对 称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形的本 身上 2 联系 1 如果把成中心对称的两个图形看成一个整体 一 O 个图形 那么这个图形就是中心对称图形 2 一个中心对称图形 如果把对称的部分看成两个 图形 那么它们又是中心对称 六 图片欣赏 生活当中有许多美丽的中心对称图形 请欣赏 七 自我检测 1 下列说法 1 全等的两个图形成中心对称 2 成中心对称的两个图形必须重合 3 成中心对称的两个图形全等 4 旋转后能够重合的两个图形成中心对称 其中说法正确的序号是 2 下列几组几何图形中 既