高三导数经典例题

2 导数经典例题导数经典例题 1 导数的概念 2 导数的几何意义 3 物理意义 4 几种常见函数的导数 5 两个函数的和 差 积 商的导数 复合函数的导数 6 利用导数研究函数的单调性和极值 函数的最大值和最小值 例例 1 在处可导 则 1 1 2 xbax xx xfy1 x a b 例例 2 已知 f x 在 x a 处可导 且 f a b 求下列极限 1 2 0 3 lim 2 h f ahf ah h 2 0 lim h f ahf a h 例例 3 1 求曲线在点 1 1 处的切线方程 1 2 2 x x y 2 运动曲线方程为 求 t 3 时的速度 2 2 2 1 t t t S 2 例例 4 求下列函数单调区间 1 52 2 1 23 xxxxfy 2 x x y 1 2 3 x x k y 2 0 k 4 2 2lnyxx 例例 5 求证下列不等式 1 1 2 1ln 2 22 x x xx x x 0 x 2 x x 2 sin 2 0 x 例例 6 求满足条件的a 1 使为上增函数axxy sinR 2 使为上增函数aaxxy 3 R 3 使为上增函数5 23 xxaxxfR 2 例例 7 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 理工农医类 19 设 求函数的单调区间 0 a 0 ln xaxxxf 例例 8 已知抛物线与直线 y x 2 相交于 A B 两点 过 A B 两点的切线4 2 xy 分别为和 1 l 2 l 1 求 A B 两点的坐标 2 求直线与的夹角 1 l 2 l 例例 9 2001 年天津卷 设 是上的偶函数 0 a x x e a a e xf R I 求的值 a II 证明在上是增函数 xf 0 例例 10 2000 年全国 天津卷 设函数 其中 axxxf 1 2 0 a I 解不等式 1 xf II 证明 当时 函数在区间上是单调函数 1 a xf 0 2 练习题 1 设函数 f x 在处可导 则等于 0 x x xfxxf x lim 00 0 A B C D 0 xf 0 xf 0 fx 0 xf 2 若 则等于 1 3 2 lim 00 0 x xfxxf x 0 xf A B C 3 D 2 3 2 2 3 3 曲线上切线平行于 x 轴的点的坐标是 xxy3 3 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 或 1 2 4 若函数 f x 的导数为 f x sinx 则函数图像在点 4 f 4 处的切线的倾斜角为 A 90 B 0 C 锐角 D 钝角 5 函数在 0 3 上的最大值 最小值分别是 51232 23 xxxy A 5 15B 5 4C 4 15D 5 16 6 一直线运动的物体 从时间 t 到 t t 时 物体的位移为 s 那么为 t s t 0 lim A 从时间 t 到 t t 时 物体的平均速度 B 时间 t 时该物体的瞬时速度 C 当时间为 t 时该物体的速度 D 从时间 t 到 t t 时位移的平均变化率 7 关于函数 下列说法不正确的是 762 23 xxxf A 在区间 0 内 为增函数 xf B 在区间 0 2 内 为减函数 xf C 在区间 2 内 为增函数 xf D 在区间 0 内 为增函数 2 xf 8 对任意 x 有 f 1 1 则此函数为 3 4 xxf A B C D 4 xxf 2 4 xxf1 4 xxf 2 4 xxf 2 9 设 f x 在处可导 下列式子中与相等的是 0 x 0 xf 1 2 x xxfxf x 2 2 lim 00 0 x xxfxxf x lim 00 0 3 4 x xxfxxf x 2 lim 00 0 x xxfxxf x 2 lim 00 0 A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 1 2 3 4 10 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 上海卷理工农医类 16 f 是定义在区间 c c 上的奇函数 其图象如图所示 令 g af b 则下xxx 列关于函数 g 的叙述正确的是 x A 若 a 0 则函数 g 的图象关于原点对称 x B 若 a 1 2 b 0 则方程 g 0 有大于 2 的实根 x C 若 a 0 b 2 则方程 g 0 有两个实根 x D 若 a 1 b 2 则方程 g 0 有三个实根 x 11 若函数 f x 在点处的导数存在 则它所对应的曲线在点处的切线方程是 0 x 00 xfx 12 设 则它与 x 轴交点处的切线的方程为 x xxf 1 13 设 则 3 0 xf h hxfhxf h 3 lim 00 0 14 垂直于直线 2x 6y 1 0 且与曲线相切的直线的方程是 53 23 xxy 15 已知曲线 则 x xy 1 1 x y 16 y x2ex的单调递增区间是 17 曲线在点处的切线方程为 32 13 xy 4 1 3 18 P 是抛物线上的点 若过点 P 的切线方程与直线垂直 则过 P 点 2 xy 1 2 1 xy 处的切线方程是 19 在抛物线上依次取两点 它们的横坐标分别为 若抛物线上过 2 xy 1 1 x3 2 x 点 P 的切线与过这两点的割线平行 则 P 点的坐标为 2 20 曲线在点 A 处的切线的斜率为 3 求该曲线在 A 点处的切线方程 3 xxf 21 在抛物线上求一点 P 使过点 P 的切线和直线 3x y 1 0 的夹角为 2 xy 4 22 判断函数在 x 0 处是否可导 0 0 xx xx xf 23 求经过点 2 0 且与曲线相切的直线方程 x y 1 24 求曲线 y xcosx 在处的切线方程 2 x 25 设 f x x 1 x 2 x 100 求 f 1 26 求曲线在点处的切线方程 22 3 1 xx y 16 1 1 27 求证方程在区间内有且仅有一个实根1lg xx 3 2 28 1 求函数在 x 1 处的导数 xy 2 求函数 a b 为常数 的导数 baxxy 2 2 例 1 在处可导 必连续 1 1 2 xbax xx xfy1 x1 lim 1 xf x baxf x lim 1 1 1 f1 ba 2lim 0 x y x a x y x 0 lim2 a1 b 例 2 1 h hafafafhaf h hafhaf hh 2 3 lim 2 3 lim 00 bafaf h afhaf h afhaf h hafaf h afhaf hh hh 2 2 1 2 3 lim 2 1 3 3 lim 2 3 2 lim 2 3 lim 00 00 2 h h afhaf h afhaf hh 2 2 0 2 0 lim lim 00 lim lim 0 2 2 0 afh h afhaf hh 例 3 1 22 2 22 2 1 22 1 22 1 2 x x x xxx y 即曲线在点 1 1 处的切线斜率 k 00 4 22 1 x y 因此曲线在 1 1 处的切线方程为 y 1 1 2 2 x x y 2 2 1 2 2 t t t S t tt t t ttt 4 21 4 1 2 324 2 27 26 1112 27 2 9 1 3 t S 例 4 1 时23 2 xxy 1 23 xx 3 2 x 1 0 y 1 3 2 x0 y 3 2 1 1 3 2 2 2 2 1 x x y 0 0 2 3 2 2 1 x k y kx k 0 y 0 0 kkx 0 y k k 0 k 0 k 4 定义域为 x x x xy 141 4 2 0 2 1 0 x0 y 2 1 x0 y 例 5 1 2 1ln 2 x xxxf 0 0 f0 1 1 1 1 1 2 x x x x xf 为上 恒成立 xfy 0 0 x0 xf 2 1ln 2 x xx 1ln 1 2 2 x x x xxg 0 0 g 0 1 4 2 1 1 1 4 244 1 2 2 2 22 x x xx xxx xg 在上 恒成立 xg 0 0 x0 1ln 1 2 2 x x x x 2 原式 令 2sin x x xxxf sin 2 0 x0cos x0tan xx 2 tan cos x xxx xf 2 0 x0 x f 2 0 2 2 f x x 2 sin 例 6 1 axy cos1 a 时 也成立 1 axxy sin 1 a 2 时 也成立 axy 2 30 a0 a 3 xy 0 a 3 3 1 a 2 例 7 0 1 2 1 x axx xf 当时 0 0 xa0 42 0 22 axaxxf 0 42 0 22 axaxxf i 当时 对所有 有 1 a0 x0 42 22 aax 即 此时在内单调递增 0 x f xf 0 ii 当时 对 有 1 a1 x0 42 22 axax 即 此时在 0 1 内单调递增 又知函数在 x 1 处连续 因此 0 x f xf xf 函数在 0 内单调递增 xf iii 当时 令 即 10 a0 x f0 42 22 axax 解得 aaxaax 122 122或 因此 函数在区间内单调递增 在区间 xf 122 0 aa 122 aa 内也单调递增 令 0 42 0 22 axaxxf即 解得 aaxaa 122122 因此 函数在区间内单调递减 xf 122 12 2aaaa 例 8 1 由方程组 2 4 2 xy xy 解得 A 2 0 B 3 5 2 由 y 2x 则 设两直线的夹角为 根据两直线的4 2 x y6 3 x y 夹角公式 23 10 6 4 1 64 tan 所以 23 10 arctan 2 例 9 I 依题意 对一切有 即 Rx xfxf x xx x ae aee a a e 1 对一切成立 0 1 1 x x e e a aRx 由此得到 0 1 a a1 2 a 又 0 a1 a II 证明 由 得 xx eexf xx eexf 1 2 xx ee 当时 有 此时 0 x0 1 2 xx ee0 x f 在上是增函数 xf 0 例 10 a x x xf 1 2 i 当时 有 此时 函数在区间上是1 aa x x 1 1 2 0 x f xf 单调递减函数 但 因此 当且仅当时 1 0 f0 x1 xf ii 当时 解不等式 得 在区间10 a0 x f 2 1a a x xf 上是单调递减函数 1 2 a a 解方程 得或 1 xf0 x 2 1 2 a a x 22 1 2 1 0 a a a a 当且仅当时 2 1 2 0 a a x 1 xf 综上 I 当时 所给不等式的解集为 10 a 2 1 2 0 a a xx 当时 所给不等式的解集为 1 a 0 xx II 当且仅当时 函数在区间上时单调函数 1 a xf 0 2 八 参考答案八 参考答案 1 5 CBDCA 6 10 BDBBB 11 12 y 2 x 1 或 y 2 x 1 000 xxxfxfy 13 6 14 3x y 6 0 15 2 1 16 2 与 0 17 012 3 yx 18 2x y 1 0 19 2 4 20 或320 xy 320 xy 21 或 22 不可导 23 11 4 16 1 1 20 xy 24 25 26 2 0 24 xy 99 15 1 1632 yx 27 略 28 1 2 1 2 2yxa 第二轮专题复习 导数的综合应用 教师版 第二轮专题复习 导数的综合应用 教师版 高考在考什么高考在考什么 考题回放考题回放 2 06 江西卷 江西卷 对于 R 上可导的任意函数 f x 若满足 x 1 f x 0 则必有 C A f 0 f 2 2f 1 B f 0 f 2 2f 1 C f 0 f 2 2f 1 D f 0 f 2 2f 1 解 解 依题意 当 x 1 时 f x 0 函数 f x 在 1 上是增函数 当 x 1 时 f x 0 f x 在 1 上是减函数 故 f x 当 x 1 时取得最小值 即有 f 0 f 1 f 2 f 1 故选 C 3 06全国全国II 过点 1 0 作抛物线y x2 x 1的切线 则其中一条切线为 A 2x y 2 0 B 3x y 3 0 C x y 1 0 D x y 1 0 解解 y 2x 1 设切点坐标为 x0 y0 则切线的斜率为 2x0 1 且 y0 x02 x0 1 于是切线方程为 y x02 x0 1 2x0 1 x x0 因为点 1 0 在切线上 可解得 x0 0 或 4 代入可验正 D 正确 选 D 4 06 四川卷 四川卷 曲线 y 4x x3在点 1 3 处的切线方程是 A y 7x 4 B y 7x 2 C y x 4 D y x 2 解解 曲线 y 4x x3 导数 y 4 3x2 在点 1 3 处的切线的斜率为 k 1 所以切线方程是 y x 2 选 D 5 06 天津卷 天津卷 函数 f x 的定义域为开区间 a b 导函数 f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数 f x 在开区间 a b 内有极小值点 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 a b x y xfy O a b x y xfy O 2 解析 解析 函数 f x 的定义域为开区间 a b 导函数 f x 在 a b 内的图象如图所示 函数 f x 在 开区间 a b 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点 其导数值为由负到正的点 只有 1 个 选 A 6 浙江卷 浙江卷 f x x3 3x2 2 在区间 1 1 上的最大值是 A 2 B 0 C 2 D 4 解 解 f x 3x2 6x 3x x 2 令 f x 0 可得 x 0 或 2 2 舍去 当 1 x 0 时 f x 0 当 0 x 1 时 f x 0 所以当 x 0 时 f x 取得最大值为 2 选 C 9 湖南卷 湖南卷 曲线和 y x2在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积 1 y x 是 解析 解析 曲线和 y x2在它们的交点坐标是 1 1 两条切线方程分别是 y x 2 和 x y 1 y 2x 1 它们与 x 轴所围成的三角形的面积是 4 3 安徽卷 安徽卷 设函数 f x x3 bx2 cx x R 已知 g x f x f x 是奇函数 求 b c 的值 求 g x 的单调区间与极值 专家解答专家解答 f x x3 bx2 cx f x 3x2 2bx c 从而 g x f x f x x3 bx2 cx 3x2 2bx c x3 b 3 x2 c 2b x c 是一个奇函数 所以 g 0 0 得 c 0 由奇函数 定义得 b 3 由 知 g x x3 6x 从而 g x 3x2 6 由此可知 和是函数 g x 是单调递增区间 2 2 是函数 g x 是单调递减区间 2 2 g x 在时 取得极大值 极大值为 g x 在时 取得极小值 极2x 4 22x 小值为 4 2 高考要考什么高考要考什么 考点透视考点透视 从近几年的高考命题分析 高考对到导数的考查可分为三个层次 第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景 求导公式和求导法则 第二层次是导数的简单应用 包括求函数的极值 求函数的单调区间 证明函数的增 减性等 第三层次是综合考查 包括解决应用问题 将导数内容和传统内容中有关不等式和函 数的单调性 方程根的分布 解析几何中的切线问题等有机的结合在一起 设计综合试题 热点透析热点透析 导数综合试题 主要有以下几方面的内容 1 函数 导数 不等式综合在一起 解决单调性 参数的范围等问题 这类问题涉及到 含参数的不等式 不等式的恒成立 能成立 恰成立的求解 2 函数 导数 方程 不等式综合在一起 解决极值 最值等问题 这类问题涉及到求极 2 值和极值点 求最值 有时需要借助于方程的理论解决问题 3 利用导数的几何意义 求切线方程 解决与切线方程有关的问题 4 通过构造函数 以导数为工具 证明不等式 5 导数与其他方面的知识的综合 高考将考什么高考将考什么 范例范例 1 设函数 f x ax3 2bx2 cx 4d a b c d R 的图象关于原点对称 且 x 1 时 f x 取极小值 3 2 1 求 a b c d 的值 2 当 x 1 1 时 图象上是否存在两点 使得过此两点的切线互相垂直 试证明你的 结论 3 若 x1 x2 1 1 时 求证 f x1 f x2 3 4 解答 1 函数 f x 图象关于原点对称 对任意实数 x 都有 f x f x ax3 2bx2 cx 4d ax3 2bx2 cx 4d 即 bx2 2d 0 恒成立 b 0 d 0 即 f x ax3 cx f x 3ax2 c x 1 时 f x 取极小值 f 1 0 且 f 1 3 2 3 2 即 3a c 0 且 a c 解得 a c 1 3 2 3 1 2 证明 当 x 1 1 时 图象上不存在这样的两点使结论成立 假设图象上存在 两点 A x1 y1 B x2 y2 使得过这两点的切线互相垂直 则由 f x x2 1 知两点处的切线斜率分别为 k1 x12 1 k2 x22 1 且 x12 1 x22 1 1 x1 x2 1 1 x12 1 0 x22 1 0 x12 1 x22 1 0 这与 相矛盾 故假设不成立 3 证明 f x x2 1 由 f x 0 得 x 1 当 x 1 或 1 时 f x 0 当 x 1 1 时 f x 0 f x 在 1 1 上是减函数 且 fmax x f 1 fmin x f 1 3 2 3 2 在 1 1 上 f x 3 2 于是 x1 x2 1 1 时 f x1 f x2 f x1 f x2 3 2 3 2 3 4 故 x1 x2 1 1 时 f x1 f x2 3 4 点晴点晴 若 x0点是 y f x 的极值点 则 f x0 0 反之不一定成立 在讨论存在性问题时常用反证法 利用导数得到 y f x 在 1 1 上递减是解第 3 问的关键 文文 设函数 1 0 32 3 1 223 abxaaxxxf 1 求函数的单调区间 极值 xf 2 2 若当时 恒有 试确定 a 的取值范围 2 1 aaxaxf 解答 1 22 43fxxaxa 3 xa xa 令得 0fx 12 3xa xa 列表如下 x a a a 3a 3a 3a fx 0 0 f x A 极小A极大A 在 a 3a 上单调递增 在 a 和 3a 上单调递减 f x 时 时 xa 3 4 3 fxba 极小 3xa fxb 极小 2 22 43fxxaxa 0 a 1 对称轴 21xaa 在 a 1 a 2 上单调递减 fx 22 1 4 1 321 Max faa aaa 22 min 2 4 2 344faa aaa 依题 fxa Max fa min fa 即 21 44 aaaa 解得 又 0 a 1 4 1 5 a a 的取值范围是 4 1 5 范例范例 2 已知 32 2 23 3 f xxaxxaR 1 当时 求证 f x 在 1 1 内是减函数 1 4 a 2 若 y f x 在 1 1 内有且只有一个极值点 求 a 的取值范围 解答 1 x3ax2x 3 2 x f 23 3 ax4x2 x f 2 2 4 1 a 0 4 1 a 4 1 f 0 4 1 a 4 1 f 又 二次函数 f x 的图象开口向上 在内 f x 0 在内 f x 0 f x 在定义域内递增 即 k f af a 1k aa n k 1 时 命题成立 由 知 对任意 均 nN n aa 2 解 令 则 递减 F xf xx 1fx 0F x F x 时 即 1 aa 1 0F aF a 11 f aa 21 aa 猜测 下证之 1nn aa n 1 时 成立 12 aa 假设 n k 时 成立 1kk aa 则 n k 1 时 由于递增 即 f x 1 kk f af a 12kk aa n k 1 时 命题成立 由 知 对任意 均 nN 1nn aa 点晴点晴 由导数研究函数的单调性 再由单调性来证明不等式 数列有关的综合问题 必将会成为今后高考的重点内容 在复习中要足够地重视 文文 已知平面向量 1 a 3b 2 1 2 3 1 证明 a b 2 若存在不同时为零的实数 k 和 t 使 t2 3 k t 试求函x a b y a b x y 2 数关系式 k f t 3 据 2 的结论 讨论关于 t 的方程 f t k 0 的解的情况 解答 1 1 0 a b 3 2 1 2 3 a b 2 0 即 t2 3 k t 0 x y x y a b a b 整理后得 k t k t2 3 t t2 3 0 2 a a b 2 b 0 4 1 a b 2 a 2 b 上式化为 4k t t2 3 0 即 k t t2 3 4 1 3 讨论方程t t2 3 k 0 的解的情况 可以看作曲线 f t t t2 3 与直线 y k 的交点 4 1 4 1 个数 于是 f t t2 1 t 1 t 1 4 1 4 3 令 f t 0 解得 t1 1 t2 1 当 t 变化时 f t f t 的变化情况如下表 t 1 1 1 1 1 1 f t 0 0 F t 极大值 极小值 当 t 1 时 f t 有极大值 f t 极大值 2 1 当 t 1 时 f t 有极小值 f t 极小值 2 1 函数 f t t t2 3 的图象如图 13 2 1 所示 4 1 可观察出 1 当 k 或 k 时 方程 f t k 0 有且只有一解 2 1 2 1 2 当 k 或 k 时 方程 f t k 0 有两解 2 1 2 1 3 当 k 时 方程 f t k 0 有三解 2 1 2 1 点晴点晴 导数的应用为作函数的草图提供了新途径 方程根的个数与极值的正负有关 范例范例 4 已知双曲线与点 M 1 1 0 m C ym x 1 求证 过点 M 可作两条直线 分别与双曲线 C 两支相切 2 设 1 中的两切点分别为 A B 其 MAB 是正三角形 求 m 的值及切点坐标 解答 1 证明 设 要证命题成立只需要证明关于 t 的方程 m Q tC t 2 有两个符号相反的实根 x t MQ yk 且 t 0 t 1 x t MQ yk 2 2 1 20 1 m m t tmtm tt 设方程的两根分别为 t1与 t2 则由 t1t2 m 0 知 t1 t2是符号相反的 2 20tmtm 实数 且 t1 t2均不等于 0 与 1 命题获证 2 设 由 1 知 t1 t2 2m t1t2 m 从而 12 12 mm A tB t tt 即线段 AB 的中点在直线上 2 1212 121 2 1 2 2222 ttmmm ttm mm ttt tm yx 又 AB 与直线垂直 1221 212 121 1 AB mm m tttt k ttt t tt yx 故 A 与 B 关于对称 yx 设 则 0 m A tt t m Bt t 有 t2 2mt m 0 由及夹角公式知 2 2 60 MAMB mt kkAMB tm 即 2 2 2 2 tan60 1 tm mt tm m t 2 2 2 3 mt tm 由 得 2 21 t m t 从而 2 2 14 1 21 0 2121 mttt t tmtt 由 知 代入 知 2 22 2 3 32 mtm tmt 31 2 t 因此 131313131 22222 mAB 点晴点晴 本题的关键在于实现了导数的几何意义和曲线切线的斜率和谐的沟通 应深 2 切领会导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用 文文 设抛物线 y x2与直线 y x a a 是常数 有两个不同的交点 记抛物线在两交点处 切线分别为 l1 l2 求值 a 变化时 l1与 l2交点的轨迹 解答 将 y x a 代入 y x2整数得 x2 x a 0 为使直线与抛物线有两个不同的交点 必须 1 2 4a 0 所以 a 4 1 设此两交点为 2 2 由 y x2知 y 2x 则切线 l1 l2的方程 为 y 2 x 2 y 2 x 2 两切线交点为 x y 则 y x 2 因为 是 的解 由违达定理可知 1 a 由此及 可得 x y a 2 1 4 1 从而 所求的轨迹为直线 x 上的 y 的部分 2 1 4 1 自我提升自我提升 1 设曲线 y 和曲线 y 在它们交点处的两切线的夹角为 则 tan C 1 x2 1 x A 1 B C D 1 2 1 3 2 3 2 函数 y f x 的图象关于直线 x 1 对称 则导函数 y f x 的图象 C A 关于直线 x 1 对称B 关于直线 x 1 对称 C 关于点 1 0 对称D 关于点 1 0 对称 3 函数 y f x 在定义域内可导 其图象如图所示 记 y f x 的导函数为 y f x 3 3 2 则不等式 f x 0 的解集为 A A 1 1 2 3 3 B 14 8 1 23 3 C 3 1 1 2 2 2 D 31 48 1 3 22 33 4 如果函数 f x ax3 x2 x 5 在 上单调递增 则实数 a 的取值范围是 D A 0 B C D 0 1 3 1 3 5 设 f x x3 bx2 cx d 又 k 是一个常数 已知当 k 4 时 f x k 0 只有 一个实根 当 0 k 4 时 f x k 0 有三个相异实根 现给出下列命题 1 f x 4 0 和 f x 0 有一个相同的实根 2 f x 0 和 f x 0 有一个相同的实根 y x O 1 2 1 1 3 3 3 2 1 2 4 3 8 3 yf x 2 3 f x 3 0 的实根大于 f x 1 0 的任一实根 4 f x 4 0 的实根小于 f x 2 0 的 任一实根 其中 错误命题的个数是 D A 4 B 3 C 2 D 1 6 设 f x g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 当 x0 且则不等式 f x g x 0 的解集是 0 2 1 g 2 1 0 2 1 7 文 如果 f x x2 1 g x f f x 设 F x g x f x 问是否存在适当的 使 F x 在 上是减函数 在上是增函数 若存在 求出 的值 若不存在 说明 2 2 0 2 2 理由 3 8 理 已知函数 2 47 2 x f x x 01x 求的单调区间和值域 f x 设 函数 若对于任意 总存在1a 22 3201g xxa xax 1 01x 使得成立 求的取值范围 0 01x 01 g xf x a 解 对函数 f x 求导 得 2 2 4167 2 xx fx x 2 2127 2 xx x 令 f x 0 解得 或 1 1 2 x 2 7 2 x 当变化时 f x f x 的变化情况如下表 x x0 1 0 2 1 2 1 1 2 1 fx 0 f x 7 2 A 4 A 3 所以 当时 f x 是减函数 当时 f x 是增函数 1 0 2 x 1 1 2 x 当时 f x 的值域为 01x 43 2 对函数 g x 求导 得 22 3gxxa 因此 当时 1a 01x 2 3 10gxa 因此当时 为减函数 从而当时有 01x g x 01x 10g xgg 又 即当时有 2 11 23gaa 02ga 1x 0 2 1232g xaaa 任给 存在使得 则 1 1x 0 1 43f x 0 01x 01 g xf x 2 123243aaa 即 2 1 2341 232 aa a 解式得 或1 1a 5 3 a 解式得 2 3 2 a 又 1a 故 的取值范围为a 3 1 2 a 9 已知函数 F x 2x t x3 x 1 x R t 为常数 t R 1 写出此函数 F x 在 R 上的单调区间 2 若方程 F x k 0 恰有两解 求实数 k 的值 解 解 1 2 1 2 13 1 2 3 3 3 t xtxx t xtxx xxtxxF 2 13 2 33 2 2 t xx t xx xF 由 3x2 3 0 得