湖南省湘中名校2015届高三11月联考数学（理）试题

2015 届湘中名校届湘中名校 11 月联考理数试题月联考理数试题 本卷共本卷共 150 分 时量 分 时量 120 分钟分钟 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 22 y 1 y AxyByx BA A B C D 2222 2222 22 22 1 1 1 1 2 下列命题是真命题的是 A 22 bcacba 是 的充要条件 B 11 1 是 abba的充分条件 C 0 0 0 x eRx D 若qp 为真命题 则qp 为真 3 已知 9 a1 a2 a3 1 成等差数列 9 b1 b2 b3 1 成等比数列 则 13 2 aa b A B C D 4 3 2 3 4 3 4 3 4 设曲线在点处的切线与直线垂直 则 1 1 x y x 3 2 10axy a A 2 B C D 2 1 2 2 1 5 若 ax2 bx c 0 的解集为 2 4 则对 f x ax2 bx c 有 A f 5 f 2 f 1 B f 2 f 5 f 1 C f 1 f 2 f 5 D f 2 f 1 f 5 6 已知点 在第二象限 则的一个变化区间是 cos sin P 2 A B C D 2 2 4 3 4 4 4 3 2 7 已知函数 将图象上每一点的纵坐标保持不变 横坐标扩大到原 xfy xf 来的 2 倍 然后把所得到的图象沿轴向左平移个单位 这样得到的曲线与x 4 的图象相同 那么的解析式为 xysin3 xfy A B 42 sin 3 x xf 4 2sin 3 xxf C D 42 sin 3 x xf 4 2sin 3 xxf 8 设 Sn为等差数列 an 的前项和 那么1 1 n a a S 10 11 1n 若 NS nn n 当 Sn 取得最小正值时 n 等于 A 11 B 17 C 19 D 21 9 的 cbcbcababcb 则满足已知向量 0 2 2a a 最小值为 A B C D 2 1 3 2 37 2 3 2 7 10 已知函数 f x g x x2 4x 4 设 b 为实数 若存在实数 2 211 2 1 ln 1 2 x x xx x a 使 f a f b 0 则 b 的取值范围 A 1 5 B 1 5 C D 5 1 5 1 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 分 11 的值为 3 10 sin 12 0 2 2 4x dx 13 在等比数列中 已知前 n 项和 则的值为 n a n S 1 5na a 14 x y 满足约束条件Error 若 z y ax 取得最大值的最优解不唯一 则实数 a 的值为 15 已知各项均为正数的等比数列 an 若 2a4 a3 2a2 a1 8 则 2a8 a7的最小值为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证分 解答应写出文字说明 证 明过程或演算步骤 明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 在中 角所对的边分别是 已知 ABC CBA cba 3 2 Cc 1 若的面积等于 求 ABC 3ba 2 若 求的面积 AABC2sin2 sin sin ab 且ABC 17 本小题满分 12 分 如图 在直三棱柱中 A BC 中 AB AC 111 ABC AB AC 2 4 点 D 是 BC 的中点 1 AA 1 求异面直线与所成角的余弦值 1 AB 1 C D 2 求平面与所成二面角的正弦值 1 ADC 1 ABA 18 本小题满分 12 分 已知 an 是单调递增的等差数列 首项 a1 3 前 n 项和为 Sn 数列 bn 是等比数列 首项 b1 1 且 a2b2 12 S3 b2 20 求 an 和 bn 的通项公式 令 Cn Sncos an n N 求 cn 的前 n 项和 Tn 19 本小题满分 13 分 在四边形 ABCD 中 12 5 10 在方向上的投影为 8 1 求 BAD 的正弦值 2 求 BCD 的面积 20 本小题满分 13 分 已知函数 22 69816f xxxxx 求的解集 4 fxf 设函数 若对任意的都成立 3 g xk x k R f xg x x R 求 的取值范围 k 21 本小题满分 13 分 设函数 f x x2 a 2 x alnx 1 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 f x 有两个零点 求满足条件的最小正整数 a 的值 3 若方程 f x c 有两个不相等的实数根 x1 x2 求证 f 0 12 2 xx 湘中名校湘中名校 11 月联考理数试题答案月联考理数试题答案 CBDBD CDCBA 11 12 13 5 14 2 或 1 15 54 2 3 16 由余弦定理及已知条件得4 22 abba 又 得 3 分3sin 2 1 Cab 4 ab 联立 解得 5 分 4 4 22 ab abba 2 2 ba 由题意得 AAABABcossin4 sin sin 即 又AAABcossin2cossin SinABA2sin 0cos 且ab 9 分 3 32 3 34 6 2 0cos baBAA 的面积 12 分ABC 3 32 2 1 bcS 17 1 以为单位正交基底建立空间直角坐标系 1 AAACABxyzA 则 0 0 0 A 0 0 2 B 0 2 0 C 4 0 0 1 A 0 1 1 D 4 2 0 1 C 4 0 2 1 BA 4 1 1 1 DC 10 103 1820 18 cos 11 11 11 DCBA DCBA DCBA 异面直线与所成角的余弦值为 6 分 BA1DC1 10 103 2 是平面的的一个法向量 设平面的法向量为 0 2 0 AC 1 ABA 1 ADC zyxm 0 1 1 AD 4 2 0 1 AC 由 得 取 得 ADm 1 ACm 042 0 zy yx 1 z2 y2 x 所以平面的法向量为 设平面与所成二面角为 1 ADC 1 2 2 m 1 ADC 1 ABA 得 3 2 32 4 coscos mAC mAC mAC 3 5 sin 所以平面与所成二面角的正弦值为 12 分 1 ADC 1 ABA 3 5 18 解 设 an 的公差为 d bn 的公比为 q 则 a2b2 3 d q 12 S3 b2 3a2 b2 3 3 d q 9 3d q 20 即 3d q 11 变形可得 q 11 3d 代入 可得 3 d 11 d 33 2d 3d2 12 3d 7 d 3 0 又由 an 是单调递增的等差数列 有 d 0 则 d 3 q 11 3d 2 an 3 n 1 3 3n bn 2n 1 6 分 8 分 当 n 是偶数 Tn c1 c2 c3 cn S1 S2 S3 S4 Sn 1 Sn 10 分 当 n 是奇数 综上可得 12 分 19 解 1 以为邻边做平行四边形 DAEC 的对角线相等 即为矩形 ADC 90 1 分 在 Rt ADC 中 3 分 在方向上的投影为 8 5 分 CAB 0 sin BAD sin DAC CAB sin DACcos CAB sin CABcos DAC 7 分 2 39 30 sin BAD 11 分 S BCD S ABC S ACD S ABD 13 分 20 22 69816f xxxxx 6 分 22 3 4 3 4 xxxx 21 4 3 4 7 43 21 3 xx f xxxx xx 即 4 f xf 3 4 xx 9 或 或 4 349 x xx 43 349 x xx 3 349 x xx 解得不等式 无解 5x 4x 所以的解集为或 9 分 4 f xf 5x x 4 x 即的图象恒在 f xg x 3 4 f xxx 图象的上方 3 g xk x 图象为恒过定点 且斜率变化的一条直 3 g xk x P 3 0 k 线作函数图象如图 其中 yf xyg x 2 PB k 4 7 A 1 PA k 由图可知 要使得的图象恒在图象的上方 f x g x 实数的取值范围为 13 分k12k 21 1 解 f x 2x a 2 x 0 2 2221axaxaxax xxx 当 a 0 时 f x 0 函数 f x 在 0 上单调递增 函数 f x 的单调增区间为 0 当 a 0 时 由 f x 0 得 x 由 f x 0 得 0 x0 且 f x 的最小值 f 0 即 a2 4a 4aln 0 所以 a 4ln 4 0 令 h a a 4ln 4 显然 h a 在 0 上为增函 2 a 2 a 数 且 h 2 20 所以存在 a0 2 3 h a0 0 3 2 81 16 当 a a0时 h a 0 当 0 a a0时 h a 0 不妨设 0 x1 x2 则 a 2 x1 alnx1 c a 2 x2 alnx2 c 2 1 x 2 2 x 两式相减得 a 2 x1 alnx1 a 2 x2 alnx2 0 2 1 x 2 2 x 即 2x1 2x2 ax1 alnx1 ax2 alnx2 a x1 lnx1 x2 lnx2 2 1 x 2 2 x 所以 a 因为 f 0 22 1122 1122 22 lnln xxxx xxxx 2 a 当 x 时 f x 0 0 2 a 2 a 故只