高中数学《任意角的三角函数-定义及应用》文字素材9 苏教版必修4

用心 爱心 专心1 三角函数的定义及应用三角函数的定义及应用 三角函数的定义不仅是中学数学中重要的基本概念之一 也是推证三角函数的诱导公 式 同角三角函数的关系式 两角和与差的三角函数公式的基础和工具 更是解答数学问 题的方法和思想 应用它可将许多三角问题转化为代数式的运算 解方程等代数问题来处 理 现举例解析如下 例 1 若0cossin 则 是 A 第一 二象限角 B 第一 三象限角 C 第一 四象限角 D 第二 四象限角 解析 依据三角函数的定义 r x r y cos sin可将问题转化为 的终边上任意一点 yxP的纵 横坐标yx 的积0 xy问题 由0 xy可知x与y同号 故应选答案B 例 2 1990 年全国高考试题 若 2 Zk k 则 cotcos tansin 的值的符号是A 恒 正 B 恒负 C 恒为非正 D 恒为非负 解析 依据三角函数的定义 r x r y cos sin 可将问题转化为 2 2 yrrx xrry yxrx xyry 由 于yyrxxr 故0 0 ryrx 所以0 cotcos tansin 故应选答案A 例 3 2002 年全国高考试题 在 2 0 内 使xxcossin 成立的x的取值范围是 A 4 5 2 4 B 4 C 4 5 4 D 2 3 4 5 4 解析 依据三角函数的定义 r x r y cos sin 可将问题转化为求不等式xy 的解集 结合图形满足xy 的角终边上的点 yx终边应在 4 5 4 内才符合题意 故应选答案C 例 4 若2 1cos 4sin 2 求 2 cos2 sin 的值 解析 依据三角函数的定义 r x r y cos sin 可将问题转化为已知 2 2 4 2 rx ry 求 r x r y cos sin的问题 由rxry22 22 及 222 ryx 所以rxrx3 设去 1cos 0sin 故6 2 cos2 sin 例 5 若2tan 求 22 cos2sin3 的值 解析 由2tan 得 cos2sin 依据三角函数的定义 r x r y cos sin 可得xy2 则 22 4xy 将其代入 222 ryx 得 5 22 xr 故 5 14 5 21223 cos2sin3 2 22 2 22 22 x xx r xy 例 6 求证 2266 cossin3 cos sin1 解析 依据三角函数的定义 cos sin 222 ryx r x r y 故原式的左边 6 66322 6 666 6 66 1 r xyyx r xyr r xy 6 222 6 2222 3 3 r ryx r yxyx 右边 即原 式成立 通过以上几例的解析可以看出 依据三角函数的定义解答三角函数的有关问题 不仅 能深化三角函数定义的理解 而且能开拓学生的思维视野 提高学生的应用意识和智能素 用心 爱心 专心2 质 你问我答 同角三角函数的基本关系式 问 如何理解同角三角函数的基本关系式 答 1 同角三角函数的关系式均为恒等式 是对使它们有意义的角而言的 如 tancot1 2 xk 且 xk 即 2 k xk Z时成立 2 要根据解题的需要 灵活地将基本关系式变形和逆用 如 22 sin1cos sin cos tan 等 问 同角三角函数的基本关系式有哪些应用 答 同角三角函数的关系式主要用于 1 已知一个角的某个三角函数值 求它的其他的三角函数值 求值问题 2 化简三角函数式 化简问题 3 证明三角恒等式 证明问题 问 利用同角三角函数的基本关系式求值有几种类型 答 求值的问题一般有三种类型 1 已知某角的某一三角函数值 且知角所在的象限 例如 已知 4 sin 5 并且 是第二象限角 求costan 右值 2 已知某角的某一三角函数值 且不知角所在的象限 例如 已知 8 cos 17 求sintan 右的值 3 已知某角的某一三角函数值为字母 且不知角所在的象限 例如 已知tanm 求sincos 右的值 问 化简问题对化简结果有什么要求 答 化简结果的一般要求 1 函数种类尽可能的少 2 式子项数尽可能的少 3 项的次数尽可能的低 4 尽量使分母或根号内不含三角函数式 5 尽可能求出数值 问 有哪些证明三角恒等式的形式和方法呢 答 1 证明恒等式的基本形式 用心 爱心