弹塑性力学基础翻译_第七章

冰蕊工作室 7 塑性 7 1 介绍 两个基本因素控制弹性的发展 一个是加载过程的完全可逆性 当一个使物体产生应 变的力消失 物体就立刻回到未加载力之前 第二个因素说明在荷载作用下物体的变形或 者应变只取决于最终的应力 与加载过程和路径无关 因此弹性行为可以视为一个点函数 因为任何产生的应变可以通过初始应力 终了应力以及特定的比例常数来确定 但是当塑 性或者永久变形产生时这两个因素就不明显了 为了产生塑性变形或者塑性流 应力必须超过屈服应力 如果大大超过屈服应力 许 多固体 比如延性金属 的变形或尺寸会一直打到一个很大的程度 另外 当最终应变形 成 一个应变元可以通过不同的加载方式使物体达到末状态 因此当荷载消失后不仅无法 观测到像弹性一样的完全可逆现象 末状态也取决于荷载的加载过程而不只是初应力和末 应力状态 这个发现意味着塑性变形是一个过程函数 需要增量应变在应变过程上的累积 来确定总的应变 在研究塑性的时候至少可以采取三种很明显的方式 1 在考虑应力应变分布满足规定的边界条件的情况下 通过材料的性质来建立理想模型 这个被称作宏观塑性理论 很类似于长久以来的弹性理论 2 应用于金属物理学的方法 在这种方法中 实际固体中单晶体变形方式建立于研究的基 础 通过一个物体内部联系从单晶体扩展到多晶体的聚集从而形成整个构件 这种方法通 常被工程师运用 这个叫做微观塑性理论 3 技术的方法 通过寻求某些现象学的规则 运用实验观察实际物体材料在宏观尺寸上的 数学表达式 这确保在一般意义上的设计上可以预测材料的属性 这可能被叫做宏观工程 塑性 这种方法在本章中是重点 7 2 弹性和塑性的比较 为了方便 许多上述的说明被总结成表格的形式 在这种方式有个直接的比较 很明 显的揭示了这两种性质的主要区别 由于屈服的开始和表现是我们优先考虑的 所以我们会用不同的模型来解释上述的物 理过程 对于下面的几个模型 我们做几个假设 1 固体是各向同性的并且是均质的 2 拉伸和压缩对屈服是等效的 没有把司机效应 3 体积改变是微小的 膨胀系数等于 0 泊松比为 1 2 尽管这个比是弹性常数 把这个 理论运用到塑性中来也没有什么含糊的 4 平均正应力的大小和静水效应的形成不影响屈服 5 忽略应变速率的影响 6 温度影响不考虑 注意到假设 3 和 4 通过铸铁上的实验很好验证 但是在许多聚合物上不成立 7 3 塑性变形的模型 纯塑性固体 完全塑性行为在许多分析研究上应用广泛 这种情况下当应力达到一个标准值变形就 会产生 弹性模量 E 无穷大 然后会产生无止境的变形只要有不断的应力流施加 然后什 么都不会出现直到固体发生破裂 图 7 1 所示是一个较合理的模型 注意以下的说明 1 只要施加的荷载一直在增加 没有任何位移产生直到某个特定的 F 值 一旦产生 位移 变形就会随时间持续不断的进行 力 F1直接决定屈服应力 Y 2 只要力 F1卸载 物体没有任何恢复 如 F 平面阴影面积所示 1产生的永久 冰蕊工作室 变形将会被保留 3 变形过程中物体不会硬化 这意味着没有应变硬化效应 线性应变硬化固体 线应变硬化固体在某种程度上比前面提到的模型更加符合实际情况 因为它包含 在固体 尤其是延性金属中观测到的应变硬化的影响 这种模型中塑性变形也必须到 达某个特定的应力值 但是不断的变形需要应力的不断增加 这在图 7 2 中反映出来 下面提到的效应需要被注意 1 只有当施加的力 F 到达某个固定的 F0值时并且产生初始的应力流 Y0才会产生位移 2 只有当施加的应力 Y 以 Y Y0 f 的形式增加时位移才会不断的增加 f 和线 的斜率有关 这和模量 E 很类似 在这个模型中 应力硬化产生 应力增加导致塑性 变形从而诱发了更深一度的变形 非线性的应变硬化固体 幂指数形式的变化性质更好地解释了许多固体应变硬化的现象 图 7 3 揭示了这个模 型 这里需要指出的是 除了应变硬化是以非线性的速率进行的 其他现象都和前面的那个模型相同 指数 0 n 1 最后 通过在变形的初始阶段增加一个直线段就可以把弹性效应的的影响归纳到以上 三个模型中去 这个斜率是一个定值的非无穷大的弹性模量 许多情况下要考虑塑性应变 因为塑性应变的量级要比弹性大 通过满足下面三个情况可以很容易的忽略弹性的影响 1 当弹性效应的 小于二分之一时来确定体积改变 通过忽略这个效应可以引进体 积守恒的概念 2 卸载后的变形恢复属于弹性恢复 因此 对这一结果做一临时考虑 以上的模型 无法解释这一现象 也要注意的是 这种情况符合弹性恢复 但连续不断的弹 性应变伴随不断增加的塑性流 3 如果弹性和塑性应变在同一个量级 那么上述的模型就无法成立除非弹性比例被 包含在上面提到的情况中 7 4 屈服轨迹和屈服表面 由于我们假定塑性流中物体是均质 各向同性 没有巴斯基效应 具有不可压缩性 并且不受静水应力的的影响 在所有的法则中必须有条件用来判定屈服的开始 二维应力平面图已经被用于预测上述的假设 我们假定单个应力是所有应力的组成部 分 在解决这类问题中应力被视为矢量 这就类似于相对于一个新的坐标轴的变形 也只 能这么理解 这种情况只适用于主应力并且其中有一个应力为 0 因为是平面应力情况 我们使用一个 1 2平面图来说明 因为拉伸和压缩是等效的 所以弹性范围 Y 1 Y 又由于各向同性 Y 2 2 3这一惯例 另外 这一惯 例在二维或者三位 应力空间中不能严格满足 我们可以回忆 莫尔圆中最大的半径是最大切应力 用代数符号可以表示为 max min 常数 1 3 如果 1 2 3 7 3 如果这一法则在施加不同应力状态时都很合理 那么这个常数可以通过简单标准测试 来确定 a 对于单轴拉伸 当 1到达单轴屈服应力 Y 时就会产生屈服 因此 1 Y 2 3 0 27 72ksi 带入式 7 3 可表示为 1 0 常数 Y b 对于纯剪切 1 3 max 2 0 通过莫尔圆可得出 为了方便 我们把最 大可允许切应力定位屈服切应力 K 代入式 7 3 我们得到 1 1 常数 2 1 2K 因此 特斯卡法则可以表示为 max min Y 2K 1 3 如果 1 2 3 7 4 如果物体都遵循这一法则 那么拉伸和剪切屈服应力将和一两个比值有关 这并不表 示这一比值一定可以被测出 而是说明可以通过这一法则来预测屈服 7 7 冯麦瑟斯法则 可能由于特斯卡法则只提出了屈服棱柱空间的一小部分 中间应力 2被忽略了 所 以冯麦瑟斯就提出了较合适的法则 尽管数学表达式缩减至 6J2 常数这么简洁 但是这一 法则也很难理解 几个物理解释必须要提出 它们叫做扭曲能和等八面体剪应力理论 我 们可以通过提出的数学表达式来理解 但是就使用法则而言 注重计算过程是没有意义的 这一法则最广泛使用的表达式中 冯麦瑟斯法则在主应力基础上提出 当满足下面条件时 将会发生屈服 1 2 2 2 3 2 1 3 2 常数 7 5 更广反应用的形式 x y 2 x z 2 y z 2 6 2xy 2max 2max 常数 7 6 上述等式的证明对有兴趣的读者是个习题 屁话 通过式 7 5 我们不需要了解开 始时主应力在数学上有什么关联 因为所有的都相等 我们需要注意到 在每个莫尔圆中 没两个应力之差就是一个切应力 和特斯卡法则一样 切应力关系到屈服的产生 为了确 定这一常数 我们使用类似 7 6 节的推倒过程 a 对于单轴拉伸 当 1 Y 2 3 0 时产生屈服 带入式 7 5 2 12 2Y2 b 对于纯剪切 1 3 K 2 0 时屈服产生 带入式 7 5 12 21 4 21 常数 6 21 6K2 因此 冯麦瑟斯法则可以表示为 1 2 2 2 3 2 1 3 2 6K2 2Y2 根据这一法则 拉伸和剪切屈服关系是 Y 3 冰蕊工作室 这是第一个暗示 这两个法则可能有不同的屈服预测结果 我们可以认为每个法则都是有效应力的函数 记为 也是施加应力的函数 当它 的值达到单轴拉伸屈服应力时 施加的应力状态就会使物体屈服 因此 冯麦瑟斯法则 1 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 2 2 特斯卡法则 max min 当的值因为 1 2和 3的大小变化到 Y 时 每个法则都显示物体已经屈服 然而 根据冯麦瑟斯法则 当到达k 时发生屈服而根据特斯卡准则到 2K 时才 3 会发生屈服 这两个法则可以通过许多方式来表示 但是我们要知道它们都不符合自然定律 因为 初始假设是根据数学方法而不是物理方法得出的 但是令人惊奇的是这两个假设和物理上 实际观测到的现象很接近 例题 7 2 使用冯麦瑟斯准则重新预测例题 7 1 的屈服应力 使用式 7 7 解法 1 0 2 0 30 2 30 1 2 2 50 2 12 900 900 60 1 12 5000 12 30 1 1600 0 1 1 2 30 9006400 3085 44 22 解得 1 57 72 或者 27 72ksi 根据提议 27 72ksi 是正确解 负值 57 75ksi 如果是正确的就表示压应力 注意这儿的 max 等于 Y 例题 7 1 中 max等于 Y 2 3 通过图 7 7 我们可以知道这两个法则不受 m的影响 偏应力 作为切应力的函数 被认为是主导因素 假想在初始状态 每个应力分量都加 9 那么 1 48 2 17 3 13 新的平均应力 m 26 最大圆圆心在 30 5 处 max 17 5 注 意到应力偏量 1 22 2 9 3 13 那么 m的移动既不改变圆大小也不影响应 力偏量大小 记 2 3类似表示方法 1213 11 3 m 所以应力偏量是切应力的函数 如 1 2 2 12 许多实际问题可以简化到双轴问题上来解决 考虑一个问题 2 0 如果画 1 3 应力圆 图 7 8 是特斯卡法则的圆 圆 7 9 是冯麦瑟斯法则的应力圆 合并这两个图 就得 到图 7 10 图 7 10 所示 不同加载路径产生的不同常数应力比最大值在不同准则中在 1 纯剪切 或 1 2 或 2 我们也可以发现两个准则中某些点重合 椭圆形外接于六边 形 仅仅因为两个重合点上的值时式 7 8 和 7 9 中单轴拉伸和压缩屈服应力的值 Y 冰蕊工作室 7 8 扭曲能 一个队麦瑟斯法则的解释是弹性致使扭曲到某个特定值时发生屈服 在一般理论方法 上我们观察到 这个应变能等于总的弹性应变能减去膨胀应变能 单位体积总应变能可以 表示为 Wv 1 2 x xx y yy z zz xy xy yz yz zx zx 7 10 或者以主应力的形式 Wv 1 2 1 1 2 2 3 3 7 11 为了表示式 7 1 是切应力的函数 使用式 7 1 的胡克定律的形式可以表示为 Wv 1 2E 12 22 32 E 1 2 1 3 2 3 7 12 由于只有正应力引起体积变化 体积膨胀可表示为 1 2 3 1 2 E 1 2 3 3 E 1 2 m 7 13 m和正应力是等价的 因为 3 m m 1 2 E m 7 14 由于是膨胀做功 最终我们可以得到 Wd 1 2 6E 1 2 3 2 7 15 从式 7 12 中减去 7 15 就可以得到切应变能量 Ws 经过运算 Wd可表示为 Ws 1 12G 1 2 2 2 3 2 1 3 2 7 16 在单轴拉伸状态下切应变能 2 3 0 Ws 12 6G 7 17 发生屈服时必会产生一个特定的值 Wsc 此时 1 Y 设式 7 16 等于这一值 1 12G 1 2 2 2 3 2 1 3 2 Y 6G2 7 18 这式和 7 7 式一样 这解释了为什么麦瑟斯法则经常被叫做扭曲能理论 它的物理 意义是当弹性能使扭曲达到一个特定的值时就会发生屈服 7 9 正八面体切应力 对冯麦瑟斯法则的第二个物理解释已经被提出 为了简便 考虑一个以主应力方向定 义的坐标系 从原点发出的一条线的方向余弦相等 l m n 这里我觉得夹角应该都当做小 于 90 度 其他空间中和这条线以及其他等价的线相垂直的平面被叫做正八面体平面 这 八个等价平面的各个交点形成一个八面体 发挥一下想象力应该可以想出这个正八面体的 形状 虽然文字表述不怎么样 第二章已经翻译过这一情况 n 1l2 2m2 32 7 19 由于 l m n cos54 44 1 n 1 3 1 2 3 因此和这正八面体垂直的应力 3 等于 m 又因为 m不影响屈服 所以到达屈服时这个平面上的切应力一定会达到某个 值 虽然这儿没有完全导出 这个应力可以表示成如下方式 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 2 3 7 20 和 7 8 式相比就可得出 0 7 21 2 3 考虑到多种因素的影响 这只是麦瑟斯准则的另一个解释 这本书剩下的内容中 当 使用冯麦瑟斯法则时就会用到式 7 8 7 10 塑性应力应变流动准则 正如广义胡克定律在弹性阶段可以表示为 1123 1 e E 我们也需要在塑性阶段类似的公式 这些流动准则可以用一个简单的方式表示 如下所示 我们可以想到 塑性变形阶段 冰蕊工作室 判断是否变形决定于力的加载路径和过程 需要运用应变增量 考虑图 7 11 在单轴拉伸状态下的塑性流 123 1 1 33 m 现在 1 方向的偏应力在某个时刻应力状态如图 7 11 11m 112311 211 0 333 所以 123 22 由于体积守恒 总的塑性应变增量为 0 因此 123 0 ppp ddd 由于此例中力的对称性 因此 这使得 23 pp dd 123 22 ppp ddd 以上可以被写成如下形式 1212 2 pp dd 7 22 111 111 d ppp ddd 常数 这个常数不一定是 2 但是这个比值是个常数 上面的式子表明应变流增量和偏应力之比是一个常数 和数值大小无关 几个结论值 得注意 1 上面的流动准则推导过程很简洁 实际上 这些都是必要但不充分条件 因为没有 实际的证明可以说明其他应力状态是否会导致相同的结果 2 式 7 22 解释了布朗特 路易斯法则 但是弹性应变增量被忽略了 3 式 7 22 和里维 麦瑟斯等式相同 里维 麦瑟斯等式比这个等式更早提出 总的 应变增量被认为和塑性应变增量等价 因此 里维 麦瑟斯等式可以被视为布朗特 路易斯 准则的特殊形式 为了方便 流动准则可以被表示为多种形式而不仅仅是 7 22 它们是 a 7 23 12 12 pp dd d b 7 24 1123 21 32 p dd c 7 25 1123 1 2 p p d d 注意到 7 25 式和广义胡克定律很相似 式中 1 E 被代替 被 1 2 代替作为 p d 物体的不可压缩性 即体积守恒 系数不是常数但 E 是常数 它是一个比例因子 p d 等效应变增量 在这里的定义是下面的形式 1 p d 冰蕊工作室 7 26 222 1 2 121212 2 3 ppppppp ddddddd 注意到这个等效应力方程 7 8 很相似 这个系数定义为是因为 在单轴拉伸2 3 状态下 同样的 在单轴拉伸状态下 由于式 7 8 中的系数 使得 1 pp dd 1 2 因为 7 8 和 7 26 中和都是正的 所以式 7 25 的比也是正的 p d 通过塑性势能的概念 在任何屈服准则中都可以求偏微分 这种方法指出应变增量是 应力产生的 ij 7 27 p ij ij f dd 式中是屈服函数 如果使用麦瑟斯准则 f 然后可以推出 222 122331 ij f 常数 1231123 1 2242 f 但是 123 3 m 所以 123 3 m 带入上式 11 1 66 m f 最终我们得到 1 11 1 6 p p d ddd 或者 形如 7 22 流动准则和特斯拉准则之间没什么联系 我们已经获得塑性流动法则和任意的塑性功相符合的项 p ijj dd 或者 7 28 ppp ppp yxyyz xxzz xyzxyyzxz ddd ddd d 在这个式中应力应变关系被里维和麦瑟斯独立提出 他们用总的塑性应变增量代替总 的增量 这个被修改后的适用于弹性应变增量的式 7 28 布朗特提出了平面应变部分 冰蕊工作室 路易斯提出了任意的应变状态部分 根据式 7 28 由于塑性切应变增量随着切应力而改 变 应力主轴也随着塑性应变增量改变 式 7 28 也表明应力莫尔圆也可以被应用于塑 性应变增量 通过把原点在轴的方向移动一个静水应力的距离 对于弹塑性材料 总的布朗特路易斯等式可以表示为 ep ddd 11 1 3 ijijijkkijkkij dddd E 式中 对于不硬化的材料 被认为是一个基本未知量 式3 2 p dd d 7 29 由以下两个形式中的三个等式组成 121 32 xxyzxyz ddddd E 2 xy xyxy d dd G 在许多实际问题中 加载路径和弹性应变相对于 u 型应变流来说很小 布朗特 路易斯 等式可以被更具有实用价值的里维 麦瑟斯等式代替 它和 7 28 式类似 但是忽略上标 这就等价于假定材料是刚塑性的 注意 塑性应变和总的应力有关 弹性应变和应力增量的改变有关 图 7 12 阐明了这 一点 图 7 12 a 中 一个应力增量的改变导致了相对应的应力增量的改变 由于线性关 系的存在 然而 在图 7 12 b 中 一个相等的应力增量改变并不产生相对应的应变增量 的改变 这和线的斜率有关 所以 在给定的题目中 特定的增量取决于总的应力 例题略 几点必须注意 1 当遇见大的塑性应变时 忽略弹性应变几乎不会产生误差 2 许多实际问题必须寻求近似的方法 因为变形并不一定遵循一个简单路径 3 许多类型的关系必须已知 如果想知道想计算出定量的解 4 上述的积分中较小的约束被认为是 0 物理上可以解释为外部压力为 0 并且在施加应力 的时候没有弹塑性应变的存在 7 11 正交性和屈服表面 对于流动法则的物理解释是 主应力应变轴是一致的 为了阐明这一观点 把这些分 量看作是矢量并且画在三维或二维平面内对理解这一观点是有帮助的 再次强调这种方式 和张力的移动无关 在图中 应力分量的方向和大小被定义为矢量 几个解决正交性的方法已经被提出 它们说明了总的应变矢量垂直于屈服表面 最直 接的证明归功于杜克 这证明建立在塑性功是正值这一基础上 证明结果是 任何可接受 的屈服表面一定围绕原点并且凸出 或者穿过这一表面的直线与它相交不超过两个交点 两个简单的物理学例子将会帮助我们理解 首先考虑图 7 13 假定是正应力 材料 1 是各向同性的 两个可能发生的形状改变如图所示 凭直觉判读 a 中形状改变较之 b 更可能发生 应力应变方向应该是一致的 现在考虑静止在平面上的物块 如图 7 14 所示 表面摩擦系数如图中标明 b 图中 表示 F 的方向与图 a 中的方向有个夹角 F 必须克服摩擦阻力 物块移动所做的功最 冰蕊工作室 大值时等于 0 这是关于功的最大准则 导致了能量的最大流失 从而降低了系统的总 能量 在热力学概念中 外部系统做功为正值 我们可以推出 最大的塑性变形使材料产 生变形 为了使这一推论成立 应力矢量必须和屈服表面正交 现在可以谨慎的指出 在可接受的范围内三维应力空间中屈服表面的增大 和正应力 一致的坐标系如图 7 15 主应力的合力产生 P 的应力状态 其中 是应力空间中应力的总的合力 112232 OPOPOP OP 在坐标系中 OH 与三个坐标轴夹角余弦相同 l m n 1 3 55 44 将 op 投影到 OH 线上 角 ONP 90 123123 222 222 123123 222222 123123122313 222 222 123122313122313 1 3 3 1 2 3 221 333 ONlmn NPOPON 根据冯麦瑟斯准则 当时产生屈服 所以 2 2 12 2Y 因此 屈服路径可以被表示成一个半径为 2 2 32 2 3NPYNPY 的圆 在正应力空间中是一个空心圆柱 它的轴线穿过原点并与三个坐标轴2 3NPY 等倾角 图 7 16 展示了这个三维的图形 图中既有冯麦瑟斯准则的 圆柱 也有特斯卡准则 的 等六面体 注意平面切出的平面是我们很熟悉的描述两个屈服准则的屈服轨 2 0 迹 通过在同一个坐标系中叠加正应变 应变增量的和为 如图所示 它和屈服表面 p v d 垂直 由和组成 和轴和和的轴相同 因此 p d 1 p d 2 p d 3 p d 1 p d 2 p d 3 p d 1 2 3 总的应变矢量大小取决于屈服表面的形状 只要 P 点落在这个平面内就不会发生屈服 p v d 但是当 P 逐渐逼近屈服表面 屈服就渐渐发生 注意 ON 代表静水压力 并且沿着 ON 移 动 增加或者减少 不影响屈服发生 NP 代表应力分量 它决定屈服与否 m 如果应力状态投影面穿过 O 垂直于 OH 的平面上 即沿着平行于 OH 的轴从上往下看 这个圆柱 就产生了图 7 17 如前面提到的 这被称为 平面 并且满足等式 0 即 0 与原坐标系有 120 的夹角 任何静水应力都与 平面垂直 123 m 所以它产生了塑性功 因为屈服表现扩大 再回看图 7 14 当总的应变矢量 图 7 16 中的 垂直于屈服表面并且和总的应力增量共线时 所做的功最大 p v d 冰蕊工作室 现在就图 7 18 屈服轨迹考虑上述式子的物理意义 注意 虽然 但是在绝大多 2 0 数例子中应变增量不等于 0 正如图 7 18 所示 同时也注意代表的矢量和 2 p d 13 和 也可以分解成和偏应力 m 正交性有它的价值是应为它的屈服表面和轨迹的发现