重庆市2013届高三数学3月月考试题 文

1 秘密 启用前 20132013 年重庆一中高年重庆一中高 20132013 级高三下期第一次月考级高三下期第一次月考 数数 学学 试试 题题 卷 文科 卷 文科 数学试题共 4 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 选择题 每小题 5 分 共 50 分 1 已知i为虚数单位 若复数 2 1 ziai 为纯虚数 则实数a的值是 A 1 2 B 1 2 C 2 D 2 2 已知向量 1 ax 3 6 b 且a b 则实数x的值为 A 1 2 B 2 C 2 D 2 1 3 在数列 n a 中 0 n n acqq 且 0 c 是 n a 是等比数列 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 把函数 xxf2sin 的图象向左平移4 个单位 所得图像的解析式是 A 4 2sin xy B 4 2sin xy C xy2cos D xy2cos 5 已知 0 0ab 且 1 2 2 yab x 为幂函数 则ab的最大值为 A 1 8 B 1 4 C 1 2 D 3 4 6 已知动点 nmP 在不等式组 0 0 4 y yx yx 表示的平面区域内部及其边界上运动 则 5 3 m n z 的最小值是 A 4 B 3 C 3 5 D 3 1 7 已知某几何体的三视图 单位 dm 如图所示 44 4 2 第 7 题图 4 侧视图 俯视图 正视图 2 则该几何体的体积 3 dm 是 A 3 4 64 B 1664 C 464 D 432 8 已知流程图如图所示 该程序运行后 为使输出的b值为16 则的判断框内 处应填 A 2 B 3 C 4 D 5 9 已知集合 3 1 lg 032 2 x x yxBxxxA 在区 间 3 3 上任取一实数x 则 BAx 的概率为 A 4 1 B 8 1 C 3 1 D 12 1 10 已知关于x的方程 2 cos2 42 sin221 xtxtt 3 0 2 x 恰好有三个不等实根 则实数t的取值范围是 A 10t B 10t C 0 1t D 0 1t 二 填空题 每小题 5 分 共 25 分 11 已知函数 f x 为奇函数 且当 0 1 x 时 2 x f x 则 2 1 f 12 已知等差数列 n a 的前n项和为 n S 且 18 2 97 Sa 则 11 S 13 已知命题 p x eax 1 0 命题 q 04 2 axxRx 若命题 qp 是真命题 则实数a的取值范围是 14 下面图形由小正方形组成 请观察图 1 至图 4 的规律 并依此规律 写出第n个图形中 小正方形的个数是 3 15 点F为双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右焦点 以F为焦点的抛物线 2 2 0 ypx p 交双曲线于 BA 两点 且AF FB 则双曲线的离心率为 三 解答题 共 75 分 16 已知 cba 分别是 ABC 的三个内角 CBA 的对边 且满足 03sin2 bBa 求角A的大小 当 A 为锐角时 求函数 6 sinsin3 CBy 的值域 17 某车间为了规定工时定额 需要确定加工零件所花费的时间 为此作了四次实验 得到 数据如下 零件的个数x 个 2345 加工时间 y 小时 2 5344 5 作出散点图 求出 y 关于x的线性回归方程 abxy 预测加工 10 个零件需要多少小时 注 可能用到的公式 2 4 1 2 4 1 xnx yxnyx b i i i ii xbya ni n i 21 1 18 如图 正三棱柱 111 CBAABC 中 D是BC的 中点 aABAA 1 求证 DBAD 1 4 求证 DABCA 11 平面 求三棱锥 DABC 1 的体积 19 已知 0a 函数 232 12 1 33 f xa xaxg xax 当 1 a 时 求函数 f x 在 1 1 上的极值 若在区间 1 1 2 2 上至少存在一个实数0 x 使 00 f xg x 成立 求实数a的 取值范围 20 已知数列 n a 的前n项和为 n S 且 22 nn SanN 数列 n b 满足 1 1b 且 1 2 nn bb 求数列 n a n b 的通项公式 并求数列 nn ab 的前n项的和 n D 设 22 sincos 22 nnn nn cabnN 求数列 n c 的前2n项的和 2n T 21 设椭圆 E 22 22 xy ab 1 0a b 过 1 6 2 2NM 两点 O为坐标原点 求椭圆E的方程 是否存在圆心为原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 BA 且 5 OAOB 若存在 写出该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在 说明理由 2013 年重庆一中高 2013 级高三下期第一次月考 数 学 答 案 文科 2013 3 一 选择题 每小题 5 分 共 50 分 1 5 DBCCA 6 10 DCBCB 二 填空题 每小题 5 分 共 25 分 11 2 12 0 13 4 e 14 2 1 nn 15 21 三 解答题 共 75 分 16 03sin2 bBa 由正弦定理 得 0sin sin3sinsin2 BBBA 得 2 3 sin A 所以 3 2 3 AA或 3 2 3 CBA 得 3 2 0 B BBCBy 2 sinsin3 6 sinsin3 6 sin2cossin3 BBB 1 2 1 6 sin 6 5 66 3 2 0 BBB 所以 所求函数的值域为 2 1 6 17 1 作出散点图如下 2 5 3 4 5 4435 2 5 3 4 5432 yx 545432 2222 4 1 2 i i x 5 525 4544335 22 4 1 i iiy x 所以 7 0 5 3454 5 35 345 52 2 2 4 1 2 4 1 xnx yxnyx b i i i ii 故 05 15 37 05 3 xbya 所以回归方程为 05 1 7 0 xy 3 当 10 x 时 05 8 05 1 107 0 y 所以加工10个零件大约需要 05 8 个小时 18 证明 111 CBAABC 是正三棱柱 ABCBB平面 1 BD是 DB1 在平面ABC上的射影 在正 ABC 中 D是BC的中点 BDAD 根据三垂线定理得 DBAD 1 连接 BA1 设 EABBA 11 连接DE ABAA 1 四边形 11ABB A 是正方形 7 E是 BA1 的中点 又D是BC的中点 CADE 1 DABDE 1 平面 DABCA 11 平面 DABCA 11 平面 3 1 24 3 3 1 11 aBBSVV ADCADCBDABC 19 当 1 a 时 22 3 2 3 1 223 xxxxxfxxxf 当 01 x 时 0 x f 当 10 x 时 0 x f 故 3 2 0 fxf 极大值 xf 无极小值 设 2 1 2 1 3 1 3 1 232 xaxaxxaxgxfxF 则 xaxaaaxxaxF212 2222 0 0 2 1 2 1 xFax 故 xF 在区间 2 1 2 1 上为增函数 2 1 max FxF 依题意 需 0 max xF 即 0 3 1 2 1 4 1 8 1 3 1 2 aaa 086 2 aa 解得 173173 aa或 0 a a 的范围为 173 20 当 1 n 2 1 a 当 2 n 时 11 22 nnnnn aSSaa 1 2 nn aa n a 是等比数列 公比为 2 首项 1 2a 2n n a 8 由 1 2 nn bb 得 n b 是等差数列 公差为 2 又首项 1 1 b 21 n bn 21 2n nn abn 1231 1 23 25 2 23 2 21 2 nn n Dnn 2 得 2341 21 23 25 2 23 2 21 2 nn n Dnn 得 1231 1 22 22 22 2 21 2 nn n Dn 1 1 4 1 2 22 21 2 1 2 n n n 1 2 32 6 n n 1 23 26 n n Dn 2 21 n n c n 为偶数 为奇数 n n 321 222 37 41 n n Tn 21 2 22 2 3 n nn 21 1 因为椭圆 E 22 22 1 xy ab 0 ba 过 1 6 2 2NM 两点 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆E的方程为 22 1 84 xy 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 BA 且 OAOB 设该圆的切线方程为 ykxm 解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2 8xkxm 即 222 12 4280kxkmxm 9 则 222222 164 12 28 8 84 0k mkmkm 即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 2 2121 2 2121 mxxkmxxkmkxmkxyy 2 22 2 2 22 2 22 21 8 21 4 21 82 k km m k mk k mk 要使OA OB 需使 1212 0 x xy y 即 222 22 288 0 1212 mmk kk 所以 22 3880mk 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km 所以 2 2 2 38 m m 所以 2 8 3 m 即 2 6 3 m 或 2 6 3 m 因为直线 ykxm 为圆心在原点的圆的一条切 线 所以圆的半径为 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 2 6 3 r 所求的圆为 22 8 3 xy 此时圆的切线 ykxm 都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m 而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 满足OA OB 综上 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 BA 且OA OB 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 所以 222 222 121212 2222 4288 84 4 4 1212 12 kmmkm xxxxx x kkk 10 22 2 2222 121212 22 8 84 1 1 12 km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk 当 0