【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第13章 空间向量与立体几何13．2空间向量在立体几何中的应用教学案 苏教版

1 13 213 2 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用 考考纲纲要要求求 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 4 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解 向量方法在研究立体几何问题中的应用 1 直线的方向向量与平面的法向量 1 直线的方向向量 直线l上的向量e e e e 0 以及与e e共线的非零向量叫做直线l的 方向向量 2 平面的法向量 如果表示非零向量n n的有向线段所在直线垂直于平面 那么称 向量n n垂直于平面 记作n n 此时 我们把向量n n叫做平面 的法向量 注意 1 一条直线的方向向量与一个平面的法向量都有无穷多个 它们都是共线向 量 2 直线的方向向量与平面的法向量是用来刻画直线和平面的 方向 的 在判断和证 明线 面关系及求空间角中有着重要作用 因此要深刻理解这两个概念 2 利用空间向量判定线面关系的方法 我们通常利用直线的方向向量和平面的法向量判定线面关系 设空间两条直线l1 l2的方向向量分别为e e1 e e2 两个平面 1 2的法向量分别为 n n1 1 n n2 2 则有下表 平行垂直 l1与l2 l1与 1 1与 2 3 两条异面直线所成的角 1 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任意一点O 作直线a a b b 我们把直线a 与b 所成的 叫做异面直线a b所成的角 2 范围 两异面直线所成角 的取值范围是 3 向量求法 设两异面直线a b所成的角为 且其方向向量为a a b b 其夹角为 则有 cos cos a a b b a a b b 4 直线与平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的 叫做这条直线与这个平面 所成的角 一条直线垂直于平面 我们说它们所成的角是 一条直线与平面平行或在平 面内 我们说它们所成的角是 的角 2 范围 直线和平面所成角 的取值范围是 3 向量求法 设直线l的方向向量为a a 平面的法向量为n n 直线与平面所成的角为 a a与n n的夹角为 则有 sin cos a a n n a a n n 5 二面角 1 二面角的取值范围为 0 2 二面角的向量求法 若AB CD分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的大小 就是向量与的夹角 如图甲所示 AB CD 2 设n n1 n n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n n1与n n2的夹角 或其补角 的大小就是二面角的平面角的大小 如图乙 丙所示 1 直线l过点A 1 1 2 和B x y 0 l的方向向量为a a 1 2 3 则 x y 2 已知 2 2 1 4 5 3 则平面ABC的单位法向量是 AB AC 3 P是平行四边形ABCD所在平面外一点 2 1 4 4 2 0 AB AD 1 2 1 对于结论 AP AB AP AD 是平面ABCD的法向量 AP AP B 其中正确的是 AP D 4 如图 在正方体ABCDA1B1C1D1中 M N分别是CD CC1的中点 则异面直线A1M与 DN所成的角的大小是 5 已知向量m m n n分别是直线l和平面 的方向向量 法向量 若 cos m m n n 则l与 所成的角为 1 2 1 利用空间向量处理平行问题有哪些常用方法 提示 1 线线平行 证明两条直线平行 只需证明两条直线的方向向量是共线向量 2 线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量 利用共面向量定理 即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示 3 面面平行 证明两个平面的法向量平行 即是共线向量 转化为线面平行 线线平行问题 2 利用空间向量处理垂直问题有哪些常用方法 提示 1 线线垂直 证明两条直线垂直 只需证明两直线的方向向量垂直 即a a b b a a b b 0 a a b b均为非 零向量 2 线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有 证明直线的方向向量与平面的法向量平行 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题 3 面面垂直 证明两个平面的法向量互相垂直 转化为线面垂直 线线垂直问题 3 利用空间向量处理立体几何中角的问题有哪些常用方法 提示 在立体几何中 涉及的角有异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 3 等 关于角的计算 均可归结为两个向量的夹角 对于空间向量a a b b 有 cos a a b b 利用这一结论 我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题 a a b b a a b b 1 线线角 要求两条异面直线所成的角 可先求两条异面直线的方向向量的数量积 要求两向量的数量积 可以求得两向量的坐标 也可以把所求向量用一组已知模和夹角的 基向量表示出来进行求解 2 线面角 直线l与平面 的夹角为 直线l的方向向量l l与平面 的法向量 n n的夹角为 则 故有 sin cos 2 或 2 l l n n l l n n 3 二面角 设n n1 n n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则 n n1 n n2 与所求二面角的平面角相等或互补 一 利用空间向量处理平行问题 例 1 如图 在四棱锥OABCD中 底面ABCD是四边长为 1 的菱形 ABC OA 底面ABCD OA 2 M为OA的中点 N为BC的中点 证明直线MN 平面 4 OCD 方法提炼 用向量法证明直线l与平面 平行 一般有两种思路 一是在平面 内构造向量与 直线l的方向向量平行 二是设出平面 的法向量 证明直线的方向向量与平面的法向量 垂直 请做针对训练 1 二 利用空间向量处理垂直问题 例 2 如图所示 在四棱锥PABCD中 PA 底面 ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 证明 1 AE CD 2 PD 平面ABE 方法提炼 a a b b 0 a a b b是利用向量证明线线垂直的依据 通常是用一组基底把两个向量表示 出来 或建立空间直角坐标系求出两向量的坐标 再判断数量积是否为零 利用直线的方向向量与平面的法向量平行是证明线面垂直的有效方法 请做针对训练 2 三 利用空间向量求角 例 3 如图 在直三棱柱ABCA1B1C1中 AC 3 BC 4 AB 5 AA1 4 4 1 设 异面直线AC1与CD所成角的余弦值为 求 的值 AD AB 9 25 2 若点D是AB的中点 求二面角DCB1B的余弦值 方法提炼 利用空间向量求线线角 线面角 面面角的关键是转化为直线的方向向量之间的角 直线的方向向量与平面的法向量之间的角 及两平面的法向量之间的角 然后通过夹角公 式等向量的运算求解 请做针对训练 3 四 利用空间向量求距离 例 4 在三棱锥SABC中 ABC是边长为 4 的正三角形 平面SAC 平面 ABC SA SC 2 M N分别为AB SB的中点 如图所示 求点B到平面CMN的距离 3 方法提炼 空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离 点到线的距离 点到面的距 离 其中点到点 点到线的距离可用空间向量的模来求解 而点到面的距离则借助平面的 法向量求解 请做针对训练 4 利用空间向量证明平行与垂直 以及求空间角是近几年高考的热点 题型主要为解答 题 难度属中等偏高 主要考查向量的坐标运算 以及向量的平行与垂直的充要条件 如 何用向量法解决空间角问题等 同时注重考查学生的空间想象以及运算能力 1 如图所示 平面PAD 平面ABCD ABCD为正方形 PAD是直角三角形 且 PA AD 2 E F G分别是线段PA PD CD的中点 求证 PB 平面EFG 2 2012 江苏南京四校联考 如图 直三棱柱ABCA1B1C1中 底面是等腰直角三角形 AB BC BB1 3 D为A1C1的中点 F在线段AA1上 2 1 AF为何值时 CF 平面B1DF 2 设AF 1 求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 3 2012 苏州调研考试 如图 在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中 已知 ABC 90 SA 平面ABCD AB BC 2 AD 1 5 1 当SA 2 时 求直线SA与平面SCD所成角的正弦值 2 若平面SCD与平面SAB所成角的余弦值为 求SA的长 4 9 4 2012 江苏江都中学质检 如图 ABCD是菱形 PA 平面 ABCD PA AD 2 BAD 60 1 求点A到平面PBD的距离 2 求二面角APBD的平面角的余弦值 6 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 2 e e1 e e2 e e1 e e2 e e1 n n1 e e1 n n1 n n1 1 n n2 2 n n1 1 n n2 2 3 1 锐角 或直角 2 0 2 4 1 锐角 直角 0 2 0 2 基础自测基础自测 1 解析 解析 由 a a 得 a a 2 3 AB AB 所以x 1 y 1 2 2 3 所以x y x y 1 3 1 3 2 3 2 或Error Error 解析 解析 设n n x y z n n 1 1 3 2 3 2 3 2 3 则Error 可得Error 3 解析 解析 2 2 4 0 4 4 0 0 所以AB AP AP AD 正确 2 3 4 所以 不正确 BDBAAD 4 90 解析 解析 以D为原点 分别以DA DC DD1为x y z轴 建立空间直角坐标 系Dxyz 设正方体边长为 2 则D 0 0 0 N 0 2 1 M 0 1 0 A1 2 0 2 所以 0 2 1 2 1 2 DN MA1 所以 cos 0 故DN A1M 所以所求夹角为 90 DN MA1 DN MA1 DN MA1 5 30 解析 解析 设l与 所成的角为 则 sin cos m m n n 30 1 2 考点探究突破考点探究突破 例 1 证明 作AP CD于点P 如图 分别以AB AP AO所在直线为x y z轴 建立坐标系 则A 0 0 0 B 1 0 0 P D O 0 0 2 M 0 0 1 N 0 2 2 0 2 2 2 2 0 Error Error 1 2 4 2 4 0 MN OP 0 2 2 2 OD 2 2 2 2 2 设平面OCD的法向量为n n x y z 则n n 0 n n 0 OP OD 即Error 取z 解得n n 0 4 22 7 n n 0 4 0 MN 平面OCD MN 1 2 4 2 4 1 2 例 2 证明 AB AD AP两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 设 PA AB BC 1 则P 0 0 1 1 ABC 60 ABC为正三角形 C E 1 2 3 2 0 1 4 3 4 1 2 设D 0 y 0 由AC CD 得 0 即y 则D AC CD 2 3 3 0 2 3 3 0 CD 1 2 3 6 0 又 AE 1 4 3 4 1 2 0 AE CD 1 2 1 4 3 6 3 4 即AE CD AE CD 2 P 0 0 1 PD 0 2 3 3 1 又 1 0 即PD AE AE PD 3 4 2 3 3 1 2 PD AE 1 0 0 0 AB PD AB PD AB 又AB AE A PD 平面AEB 例 3 解 1 因为AC2 BC2 AB2 所以 ACB 90 以CA CB CC1为x y z轴建立如图所示空间直角坐标系 因为AC 3 BC 4 AA1 4 所以A 3 0 0 B 0 4 0 C 0 0 0 C1 0 0 4 所以 3 0 4 AC1 因为 AD AB 所以点D 3 3 4 0 所以 3 3 4 0 CD 因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为 9 25 8 所以 cos 解得 AC1 CD 9 9 5 3 3 2 16 2 9 25 1 2 2 由 1 得B1 0 4 4 因为D是AB的中点 所以D 3 2 2 0 所以 0 4 4 平面CBB1C1的法向量n n1 1 0 0 CD 3 2 2 0 CB1 设平面DB1C的一个法向量n n2 x0 y0 z0 由得Error 2 1 2 0 0 nCD nCB 令x0 4 则y0 3 z0 3 所以n n2 4 3 3 cos n n1 n n2 所以二面角DB1CB的 n n1 n n2 n n1 n n2 4 34 2 34 17 余弦值为 2 34 17 例 4 解 取AC的中点O 连结OS OB SA SC AB BC AC SO AC BO 平面SAC 平面ABC 平面SAC 平面ABC AC SO 平面ABC 又 BO 平面ABC SO BO 如图所示 建立空间直角坐标系Oxyz 则B 0 2 0 C 2 0 0 S 0 0 2 M 1 0 N 0 32332 3 0 1 0 1 0 CM 3 MN 2 MB 3 设n n x y z 为平面CMN的一个法向量 则取z 1 330 20 CM nxy MN nxz 则x y 26 n n 1 26 点B到平面CMN的距离 d n MB n 4 2 3 演练巩固提升演练巩固提升 针对训练针对训练 1 证明 平面PAD 平面ABCD且ABCD为正方形 AB AP AD两两垂直 以A为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 9 则A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 E 0 0 1 F 0 1 1 G 1 2 0 2 0 2 0 1 0 1 1 1 设 s t PB FE FG PB FE FG 即 2 0 2 s 0 1 0 t 1 1 1 Error 解得s t 2 2 2 PB FE FG 又 与不共线 FE FG 与共面 PB FE FG PB平面EFG PB 平面EFG 2 解 1 因为直三棱柱ABCA1B1C1中 以B点为原点 BA BC BB1分别为x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系 B 0 0 0 A 0 0 C 0 0 B1 0 0 3 A1 0 3 C1 0 3 D 2222 2 2 2 2 3 所以 3 CA1 22 设AF x 则F 0 x 2 x 0 x 3 CF 22 B1F 2 B1D 2 2 2 2 0 x 0 0 CF B1D 2 2 22 2 2 所以 CF B1D 要使CF 平面B1DF 只需CF B1F 由 2 x x 3 0 得x 1 或x 2 CF B1F 故当AF 1 或 2 时 CF 平面B1DF 2 由 1 知平面ABC的法向量为 n n1 0 0 1 设平面B1CF的法向量为n n x y z 则由 1 0 0 n CF n B F 得Error 令z 1 得n n 2 3 2 2 1 所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 cos n n n n1 1 1 2 9 2 1 30 15 10 3 解 由题意知AB AD AS两两互相垂直 以A为原点建立如图直角坐标系 1 当SA 2 时 A 0 0 0 S 0 0 2 则 0 0 2 AS 又D 0 1 0 C 2 2 0 所以 0 1 2 2 2 2 SD SC 设平面SCD的法向量为n n x y z 则Error 解得y 2x