高中数学《函数与方程》学案5 苏教版必修1

用心 爱心 专心1 函数与方程函数与方程 一 学习目标 一 学习目标 1 了解函数零点的概念 结合二次函数的图像 了解函数的零点与方程根的联系 2 理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法 能利用函数的图象和性质 判别函数零点的个数 二 命题走向二 命题走向 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点 特别是 二分法 求方程的近 似解也一定会是高考的考点 从近几年高考的形势来看 十分注重对三个 二次 即一元 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 的考察力度 同时也研究了它的许多重要的 结论 并付诸应用 高考试题中有近一半的试题与这三个 二次 问题有关 预计高考对本讲的要求是 以二分法为重点 以二次函数为载体 以考察函数与方程 的关系为目标来考察学生的能力 1 题型可为选择 填空和解答 2 高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题 同时考察函数方程的 思想 三 要点精讲三 要点精讲 1 方程的根与函数的零点 1 函数零点 概念 对于函数 把使成立的实数叫做函数 Dxxfy 0 xfx 的零点 Dxxfy 函数零点的意义 函数的零点就是方程实数根 亦即函数 xfy 0 xf 的图象与轴交点的横坐标 即 方程有实数根函数的 xfy x0 xf xfy 图象与轴有交点函数有零点 x xfy 二次函数的零点 0 2 acbxaxy 方程有两不等实根 二次函数的图象与轴有两个交0 2 cbxaxx 点 二次函数有两个零点 方程有两相等实根 二重根 二次函数的图象与轴0 2 cbxaxx 有一个交点 二次函数有一个二重零点或二阶零点 方程无实根 二次函数的图象与轴无交点 二次函0 2 cbxaxx 数无零点 零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线 xfy ba 用心 爱心 专心2 并且有 那么函数在区间内有零点 既存在 使0 bfaf xfy ba bac 得 这个也就是方程的根 0 cfc 2 二分法 二分法及步骤 对于在区间 上连续不断 且满足 的函数 通过不a b af bf0 xfy 断地把函数的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得 xf 到零点近似值的方法叫做二分法 给定精度 用二分法求函数的零点近似值的步骤如下 xf 1 确定区间 验证 给定精度 a b af bf0 2 求区间 的中点 a b 1 x 3 计算 1 xf 若 则就是函数的零点 1 xf0 1 x 若 则令 此时零点 af 1 xf0b 1 x 10 xax 若 0 f x 在区间 p q 上的最大值 M 最小值 m 令 x0 p q 2 1 用心 爱心 专心3 若 p 则 f p m f q M a b 2 若 p x0 则 f m f q M a b 2a b 2 若 x0 q 则 f p M f m a b 2a b 2 若 q 则 f p M f q m a b 2 3 二次方程 f x ax2 bx c 0 的实根分布及条件 方程 f x 0 的两根中一根比 r 大 另一根比 r 小a f r 0 二次方程 f x 0 的两根都大于 r 0 2 04 2 rfa r a b acb 二次方程 f x 0 在区间 p q 内有两根 0 0 2 04 2 pfa qfa q a b p acb 二次方程 f x 0 在区间 p q 内只有一根f p f q 0 或 f p 0 检验 或 f q 0 检 验 检验另一根若在 p q 内成立 四 典例解析四 典例解析 题型 1 函数零点的判定 例 1 判断下列函数在给定区间是否存在零点 若存在 判断零点的个数 2 1 318 1 8 f xxxx 2 2 log 2 1 3 f xxx x 变式 判断函数上零点的个数 32 318 1 8 f xxxx 小结 函数零点的判定方法 1 解方程 2 用零点存在性定理 如果判定零点个数 还必修结合函数的图象和性质才能确 定 3 利用函数图象的交点 题型 2 函数零点的应用 例 2 m 为何值时 2 234f xxmxm 1 有且仅有一个零点 变式 在 2 2 有且仅有一个零点 2 有两个零点且均比 1 大 用心 爱心 专心4 练习 09 山东 14 若函数有两个零点 则实数的 0a1 x f xaxa a 且a 取值范围是 例 3 06 浙江 16 设 f x f 0 0 f 1 0 求证 2 32 0axbxcabc 若 a 0 且 2 1 b a 方程 f x 0 在 0 1 内有两个零点 证明 I 因为 0 0 1 0ff 所以 0 320cabc 由条件 消去 得0abc b 0ac 由条件 消去 得0abc c 0ab 20ab 故 21 b a II 抛物线的顶点坐标为 2 32f xaxbxc 2 3 33 bacb aa 在的两边乘以 得21 b a 1 3 12 333 b a 又因为 0 0 1 0