【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值第2课时目标导学 新人教A版必修1

1 第第 2 2 课时课时 函数的最大值 最小值函数的最大值 最小值 一 利用函数的图象求最值 活动与探究 1 求函数y x 1 x 2 的最大值和最小值 迁移与应用 1 如图是函数y f x 在 4 7 上的图象 则函数f x 的最小值为 最大 值为 2 已知函数y x 1 2 画出函数的图象 确定函数的最值情况 并写出值 域 函数图象在给定区间上最高点的纵坐标为函数的最大值 最低点的纵坐标为函数的最 小值 因此 如果已知函数的图象 可直接写出函数的最大值与最小值 二 利用函数的单调性求最值 活动与探究 2 已知函数f x 3 2x 1 1 证明函数f x 在上是减函数 1 2 2 求函数f x 在 1 5 上的最值 迁移与应用 1 函数f x 2 3x 当x 2 3 时的最小值为 最大值为 2 求函数f x 在区间 2 5 上的最大值与最小值 x x 1 若函数f x 在 a b 上是单调增 或减 函数 则函数f x 在 a b 上的最大值为f b 或f a 最小值为f a 或f b 因而 运用函数单调性求最值是求函数最值的重要 方法 三 二次函数在给定区间上的最值 活动与探究 3 求函数f x x2 4x 3 在下列各区间上的最值 1 x 3 5 2 x 2 1 3 x 1 4 迁移与应用 1 函数f x x2 2x 1 在区间 0 2 上是 函数 填 增 或 减 则f x 的最小值为 最大值为 2 函数f x x2 2x 1 在区间 4 2 上是 填 增 或 减 函 数 则f x 的最小值为 最大值为 3 函数f x x2 2x 1 在 2 0 上的最大值为 最小值为 求二次函数在给定区间上的最值 应看图象的对称轴与区间的关系 若区间在对称轴 2 的一侧 则直接应用函数的单调性写出函数的最值 若对称轴在区间内 则应先弄清函数 的单调区间 再求出函数的最值 活动与探究 4 求二次函数f x x2 2ax 2 在 2 4 上的最小值 迁移与应用 1 已知函数y x2 2ax在 0 1 上的最大值为a2 则实数a的取值范围是 2 求二次函数f x x2 2x 3 在 t t 1 上的最小值g t 若所给二次函数或区间含有参数 求最值时 应先讨论对称轴与区间的关系 确定函 数在所给区间上的单调性 再根据单调性写出函数的最值 讨论时一般分以下三种情况 对称轴在区间的左边 对称轴在区间的右边 对称轴在区间内 提示 用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分 和基本技能的要领部分写下来并进行识记 当堂检测当堂检测 1 函数f x 在 2 2 上的图象如图所示 则此函数的最小值 最大值分别是 A f 2 0 B 0 2 C f 2 2 D f 2 2 2 函数f x x2 6x 8 在 2 1 上的最大值是 A 8 B 13 C 17 D 8 3 已知函数y 在 2 4 上的最大值为 1 则k的值为 k x A 2 B 4 C 2 或 4 D 4 4 函数f x 在 6 0 上的最大值为 最小值为 2 x 1 5 函数f x x2 2ax a 1 a 0 在 4 4 上的最大值为 答案 答案 课前预习导学课前预习导学 预习导引 1 f x M f x0 M 2 1 f x M f x0 M 预习交流预习交流 1 提示 函数的最大值在函数图象的最高点取得 最小值在函数图象的最 低点取得 预习交流预习交流 2 f a f b f a f b 最小值是f b 没有最大值 f b f a 预习交流预习交流 3 提示 函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素和最大元 素 任何一个函数 其值域必定存在 但最值不一定存在 课堂合作探究课堂合作探究 问题导学 3 活动与探究活动与探究 1 思路分析 思路分析 对于含绝对值的函数 常通过讨论去绝对值 转化为分段 函数进行研究 分段函数的图象注意分段作出 解 解 y x 1 x 2 Error 作出函数的图象 由图象可知 y 3 3 所以函 数的最大值为 3 最小值为 3 迁移与应用迁移与应用 1 2 3 2 解 解 y x 1 2 3 1 1 1 x x xx 图象如图所示 由图象知 函数y x 1 2 的最大值为 2 没有最小值 所以其值域为 2 活动与探究活动与探究 2 1 证明 设x1 x2是区间上的任意两个实数 且 1 2 x2 x1 1 2 f x1 f x2 3 2x1 1 3 2x2 1 6 x2 x1 2x1 1 2x2 1 由于x2 x1 所以x2 x1 0 且 2x1 1 2x2 1 0 所以f x1 f x2 0 即 1 2 f x1 f x2 所以函数f x 在区间 上是减函数 3 2x 1 1 2 2 解 解 由 1 知函数f x 在 1 5 上是减函数 因此 函数f x 在区间 1 5 3 2x 1 的两个端点上分别取得最大值与最小值 即最大值为f 1 3 最小值为f 5 1 3 迁移与应用迁移与应用 1 7 8 解析 解析 函数f x 2 3x在 2 3 上是减函数 函数f x 2 3x的最小值为f 3 2 3 3 7 最大值为f 2 2 3 2 8 2 解 解 任取 2 x1 x2 5 则f x2 f x1 x2 x2 1 x1 x1 1 x1 x2 x2 1 x1 1 2 x1 x2 5 x1 x2 0 x2 1 0 x1 1 0 f x2 f x1 0 4 f x2 f x1 f x 在区间 2 5 上是减函数 x x 1 f x max f 2 2 2 2 1 f x min f 5 5 5 1 5 4 活动与探究活动与探究 3 思路分析 思路分析 利用函数在所给区间上的单调性求解 解 解 f x x2 4x 3 x 2 2 1 其对称轴为直线x 2 且抛物线开口向上 1 函数f x 在区间 3 5 上是增函数 函数f x 的最小值为f 3 0 最大值为f 5 8 2 函数f x 在区间 2 1 上是减函数 函数f x 的最小值为f 1 0 最大值为 f 2 15 3 函数f x 在 1 2 上是减函数 在 2 4 上是增函数 所以f x 的最小值为f 2 1 又f 1 0 f 4 3 所以f x 的最大值为 3 迁移与应用迁移与应用 1 减 7 1 2 增 7 1 3 2 1 解析 解析 f x x2 2x 1 x 1 2 2 的图象的对称轴为直线 x 1 函数f x 在 2 1 上是增函数 在 1 0 上是减函数 f x 的最大值 为f 1 2 又f 2 1 f 0 1 所以f x 的最小值为 1 活动与探究活动与探究 4 思路分析 思路分析 讨论二次函数图象的对称轴跟区间的关系 从而确定函数 在 2 4 上的单调性 再根据单调性求出函数的最小值 解 解 函数图象的对称轴是直线x a 当a 2 时 f x 在 2 4 上是增函数 f x min f 2 6 4a 当a 4 时 f x 在 2 4 上是减函数 f x min f 4 18 8a 当 2 a 4 时 f x min f a 2 a2 f x min Error 迁移与应用迁移与应用 1 1 0 解析 解析 y x2 2ax x a 2 a2 0 x 1 函数图象是开口向下的抛物线 且对称轴x a 又 ymax a2 且 0 x 1 0 a 1 1 a 0 实数a的取值范围是 1 0 2 解 解 f x x2 2x 3 x 1 2 2 函数f x 图象的对称轴为直线x 1 当t 1 时 f x 在 t t 1 上单调递增 所以当x t时 f x 取得最小值 此时g t f t t2 2t 3 当t 1 t 1 即 0 t 1 时 f x 在区间 t t 1 上先减后增 故当x 1 时 f x 取得最小值 此时g t f 1 2 当t 1 1 即t 0 时 f x 在 t t 1 上单调递减 所以当x t 1 时 f x 取得最小值 此时g t f t 1 t2 2 综上得g t Error 当堂检测当堂检测 1 C 5 2 B 解析 解析 f x x2 6x 8 x 3 2 17 函数f x 在 2 1 上是增函数 f x 的最大值为f 1 13 3 A 解析 解析 当k 0 时 函数y 在 2 4 上是减函数 k x 1 k 2 k 2 当k 0 时 函数y 在 2 4 上是增函数 k x 1 k 4 k 4 k 0 k无解 综上所述k 2 4 2 解析 解析 易知函数f x 在 6 0 上是减函数 2 7 f x 的最大值为f 6 2 7 最小值为f 0 2 5