高中数学备课精选 3.5.2《简单线性规划》教案 新人教B版必修5

1 3 5 23 5 2 简单线性规划简单线性规划 教案教案 教学目标教学目标 1 了解线性规划的意义 了解可行域的意义 2 掌握简单的二元线性规划问题的解法 3 巩固图解法求线性目标函数的最大 最小值的方法 4 会用画网格的方法求解整数线性规划问题 5 培养学生的数学应用意识和解决问题的能力 教学重教学重点 难点点 难点 二元线性规划问题的解法的掌握 教学过程教学过程 一 问题情境一 问题情境 1 问题 在约束条件 410 4320 0 0 xy xy x y 下 如何求目标函数2Pxy 的最大值 二 建构数学二 建构数学 首先 作出约束条件所表示的平面区域 这一区域称为可行域可行域 如图 1 所示 其次 将目标函数2Pxy 变形为2yxP 的形式 它表示一条直线 斜率为 且在y轴上的截距为P 平移直线2yxP 当它经过两直线410 xy 与4320 xy 的交点 5 5 4 A时 直线在y轴上的截距最大 如图 2 所示 因此 当 5 5 4 xy 时 目标函数取得最大值 5 257 5 4 即当甲 乙两种产品 分别生产 5 4 t和5t时 可获得最大利润7 5万元 这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 通常称为线性规划线性规划问 题 其中 5 5 4 使目标函数取得最大值 它叫做这个问题的最优解最优解 对于只含有两个变量的 简单线性规划问题可用图解法来解决 说明 平移直线2yxP 时 要始终保持直线经过可行域 即直线与可行域有公共点 三 数学运用三 数学运用 2 例1 设2zxy 式中变量 x y满足条件 43 3525 1 xy xy x 求z的最大值和最小值 解 由题意 变量 x y所满足的每个不等式都表示一个平面区域 不等式组则表示这些平面 区域的公共区域 由图知 原点 0 0 不在公共区域内 当0 0 xy 时 20zxy 即点 0 0 在直线 0 l 20 xy 上 作一组平行于 0 l的直线l 2xyt tR 可知 当l在 0 l的右上方时 直线l上的点 x y 满足20 xy 即0t 而且 直线l往右平移时 t随之增大 由图象可知 当直线l经过点 5 2 A时 对应的t最大 当直线l经过点 1 1 B时 对应的t最小 所以 max 2 5212z min 2 1 13z 例 2 设610zxy 式中 x y满足条件 43 3525 1 xy xy x 求z的最大值和最小值 解 由引例可知 直线 0 l与AC所在直线平行 则由引例的解题过程知 当l与AC所在直线35250 xy 重合时z最大 此时满足条件的最优解有无数多个 当l经过点 1 1 B时 对应z最小 max 61050zxy min 6 1 10 116z 例 3 已知 x y满足不等式组 230 2360 35150 xy xy xy 求使xy 取最大值的整数 x y 解 不等式组的解集为三直线 1 l 230 xy 2 l 2360 xy 3 l 35150 xy 所围成的三角形内部 不含边界 设 1 l与 2 l 1 l与 3 l 2 l与 3 l交点分别为 A B C 则 A B C坐标分别为 15 3 84 A 0 3 B 7512 1919 C 作一组平行线l xyt 平行于 0 l 0 xy 当l往 0 l右上方移动时 t随之增大 当l过C点时xy 最大为 63 19 但不是整数解 又由 75 0 19 x 知x可取1 2 3 当1x 时 代入原不等式组得2y 1xy 当2x 时 得0y 或1 2xy 或1 O y x A C B 430 xy 1x 35250 xy A B Cx y O 1 l 3 l 2 l 3 当3x 时 1y 2xy 故xy 的最大整数解为 2 0 x y 或 3 1 x y 例 4 投资生产 A 产品时 每生产 100 吨需要资金 200 万元 需场地 200 平方米 可获利润 300 万元 投资生产 B 产品时 每生产 100 米需要资金 300 万元 需场地 100 平方米 可获 利润 200 万元 现某单位可使用资金 1400 万元 场地 900 平方米 问 应作怎样的组合投 资 可使获利最大 分析 这是一个二元线性规划问题 可先将题中数据整理成下表 以方便理解题意 资 金 百万元 场 地 平方米 利 润 百万元 A 产品 223 B 产品 312 限 制 149 然后根据此表数据 设出未知数 列出约束条件和目标函数 最后用图解法求解 解 设生产 A 产品x百吨 生产 B 产品y米 利润为S百万元 则约束条件为 2314 29 0 0 xy xy x y 目标函数为32Sxy 作出可行域 如图 将目标函数变形为 3 22 S yx 它表示斜率为 3 2 在y轴上截距为 2 S 的直线 平移直 线 3 22 S yx 当它经过直线与29xy 和2314xy 的交点 13 5 42 时 2 S 最大 也即S最大 此时 135 3214 75 42 S 因此 生产 A 产品3 25百吨 生产 B 产品2 5米 利润最大为 1475 万元 说明 1 解线性规划应用题的一般步骤 设出未知数 列出约束条件 要注意考虑 数据 变量 不等式的实际含义及计量单位的统一 建立目标函数 求最优 解 2 对于有实际背景的线性规划问题 可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形 区域 此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点 四 回顾小结 四 回顾小结