高中数学导数 32 导数的计算知识点分析湘教版选修1-1

1 3 23 2 导数的计算导数的计算 一 知识点归纳一 知识点归纳 知识点知识点 1 1 几个常用函数的导数几个常用函数的导数 1 若 f xc 则 fx 2 若 f xx 则 fx 3 若 2 f xx 则 fx 4 若 1 f x x 则 fx 知识点知识点 2 2 基本初等函数的导数基本初等函数的导数 1 若 f xc 则 fx 2 若 n f xx nQ 则 fx 3 若 sinf xx 则 fx 4 若 cosf xx 则 fx 5 若 x f xa 则 fx 0a 6 若 f x x e 则 fx 7 若 f x logx a 则 fx 0a 且1a 8 若 lnf xx 则 fx 思维拓展 1 以上几个常用函数的导数在求导数时 可直接应用不必再用定义去求导 2 有些式子不能直接应用导数的公式 可以变形之后应用导数公式 3 函数 f xx 2 f xx 1 1 f xx x 是函数 n f xx nQ 的特殊情况 它们的导数也是 n f xx nQ 的导数特殊情况 4 函数 x f xe 是函数 x f xa 的特殊情况 函数 lnf xx 是 log 0 1 a f xx aa 的特殊情况 在记忆或应用是要注意对照 从上面这一组公式来看 我们只要掌握幂函数 指对数函数 正余弦函数的求导就可以了 知识点知识点 3 3 导数运算法则导数运算法则 函数的差 积 商的求导法则 1 f xg xfxg x 2 cf xcf x 2 3 f x g xfx g xf x g x 4 2 0 f xfx g xf x g x g x g xg x 说明 牢记公式的形式 f x g xfx g x 避免与 f xg xfxg x 的 混淆 知识拓展 若两个函数可导 则它们的和 差 积 商 商的分母不为零 必可导 若两个函数不可导 则它们 的和 差 积 商不一定可导 如 设函数 11 sin cosf xxg xx xx 则 f x g x在 0 x 处均不可导 但它们的和 sincosf xg xxx 在0 x 处可导 思维技巧 求函数导数 必须熟记基本导数公式 并掌握各种求导法则 会化繁为简 用简单的方法求出复杂函 数的导数 在可能的情况下 求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则 所以在求导之前 应对函数进行 化简 然后再求导 这样可减少运算 二 练习二 练习 1 函数在点处的导数是 A B C D 2 若 则等于 A B C D 3 若函数在区间内可导 且则 的值为 A B C D 4 已知曲线的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为 A 4 B 3 C 2 D 5 08 年宁夏 海南卷文 设 若 则 A B C D 6 09 年宜昌一中 10 月月考文 已知二次函数的图象如图 1 所示 则其导函数 的图象大致形状是 3 7 曲线在点处的切线方程为 A B C D 8 04 年湖北卷文 已知函数的解析式可能为 A B C D 9 07 年北京卷文 是的导函数 则的值是 A 1 B 1 C 3 D 4 10 2009 江西卷理 设函数 曲线在点处的切线方程为 则曲线在点处切线的斜率为 A B C D 11 2009 江西卷文 若存在过点的直线与曲线和都相切 则 等于 A 或 B 或 C 或 D 或 12 设函数 其中 则导数的取值范围是 A B C D 13 已知 满足 则函数的图象在点 处的切线方程为 A B C D 14 曲线上的点到直线的最短距离是 4 A B C D 15 09 年湖北鄂州 5 月模拟文 曲线 y 4 23 xx在点 2 8 处的切线与两坐标轴所 围成的三角形的面积是 A 1 B 2 C 4 D 8 二 填空题 16 2008 年浙江文 15 曲线 32 242yxxx 在点 13 处的切线方程是 17 已知函数的图象在点处的切线方程是 则 三 解答题 18 求函数的导数 知识拓展知识拓展 1 常数函数的导数为 0 其几何意义为 f xc 在任意点的切线平行于x轴 其斜率为 零 2 若yc 表示路程关于时间的函数 则0y 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0 即一直处于静止状态 1y 表示函数yx 图象上每一点处的切线斜率都为 1 任意一点处的切线都是函数图 象本身 若yx 表示路程关于时间的函数 则1y 可以解释为某物体作瞬时速度为 1 的匀速 运动 3 2yx 表示函数 2 yx 图象上点 x y处切线的斜率为2x 说明随着x的变化 切 线的斜率也在变化 另一方面 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看 2yx 标明 当0 x 时 随着x的增加 函数 2 yx 减少得越来越慢 当0 x 时 随着x的增加 函数 2 yx 增加得越来越快 若函数 2 yx 表示路程关于时间的函数 则2yx 可以解释为某物体做变速运动 它 在时刻x的瞬时速度为2x 4 因为 1 y x 的图象是双曲线 所以图象上点 x y处的切线的斜率随着x的变化而变 化 5 当0 x 时 随着x的不断增加 切线的斜率由负值不断增大 函数 1 y x 的值减少得 越来越慢 随着x的不断减小 切线的斜率由负值不断减小 函数 1 y x 的值增加得越来越 快 当0 x 时 与上面情况正好相反 5 函数 f xx 2 f xx 1 1 f xx x 是函数 n f xx nQ 的特殊情况 它们的导数也是 n f xx nQ 的导数特殊情况